福建省福州市第十五中学等五校2023-2024学年高二下学期期中联考试题数学

20232024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算的值是（）A.62 B.102 C.152 D.5402.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.若图象的顶点在第二象限，则函数的图象是（）A. B.C. D.5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B. C. D.6.现有完全相同甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462 B.630 C.672 D.8828.已知函数，若，，则实数k的最大值是（）．A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知展开式中常数项是，则的值为（）.A.3 B.4 C.5 D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（）A. B. C. D.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且P，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数，且．（1）求的值；（2）设，求过点的切线方程．16.已知在展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．（1）求的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线.（1）求函数的单调递增区间；（2）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于，求实数的取值范围.20232024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算的值是（）A.62 B.102 C.152 D.540【答案】A【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】故选：A2.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B、C的真假，利用积的导数的运算法则判断D的真假，利用商的导数的运算法则判断A的真假.【详解】∵，故A错误；∵，故B正确；∵，故C错误；∵，故D错误.故选：B3.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别令与代入计算，即可得到结果.【详解】当时，；当时，所以，故选：C4.若的图象的顶点在第二象限，则函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为，所以函数的图象是直线，斜率；又因为函数的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以的零点小于零，结合直线的特征可得C符合.故选：C5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】，设切线的倾斜角为，则，即，故选：A．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则，由全概率公式得．故选：B．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462 B.630 C.672 D.882【答案】C【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有种涂色方法；若用三种颜色涂色，有种涂色方法；所以有种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数，若，，则实数k的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值，求k的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，使成立，令，则，∴当时，则递增；当时，则递减；∴，故即可，所以k的最大值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知展开式中常数项是，则的值为（）.A.3 B.4 C.5 D.6【答案】AD【解析】【分析】根据二项式展开式得到，再令，则得到，解出即可.【详解】展开式的通项为，若要其表示常数项，须有，即，又由题设知，或，或.故选：AD．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A：由，则，故A正确；对B：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B错误；对C：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有种不同的选考科目组合，故C正确；对D：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D错误.故选：AC.11.若不等式在时恒成立，则实数的值可以为（）A. B. C. D.2【答案】BCD【解析】【分析】构造函数，将恒成立问题转化为恒成立问题，求导，研究单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由得，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，当时，恒成立，所以图象如下：，，即，，对于A：当时，，根据图象可得不恒成立，A错误；对于B：当时，，根据图象可得恒成立，B正确；对于C：当时，，根据图象可得恒成立，C正确；对于D：当时，，又，因为，且，即，所以，即，根据图象可得恒成立，D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为，通过整体结构相同从而构造函数来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则___________.【答案】【解析】【分析】利用条件概率的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：，，，由条件概率公式可得，故答案为：.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且P，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X近似服从正态分布，且P，求得即可.【详解】因为X近似服从正态分布，且P，所以，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数，且．（1）求的值；（2）设，求过点的切线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为，，而，而已知，可得，解得，故的值为，【小问2详解】，设切点为，设切线斜率为，而，故切线方程为，将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，故切线方程为，16.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）；（3），，.【解析】【分析】（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，可得；（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．（2）令，得，所以含项的系数为．（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．（1）求的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件属于全概率事件，分别计算出和，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：,而由全概率公式可得：【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：,其概率为,“小明取出球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：,其概率为,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：,其概率为.综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个