（江苏专用）2020-2021学年高二数学下学期期末试卷一

卷01-期末全真模拟卷一

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.复数言的共趣复数是（）

B.D--2+2l

22

【答案】A

2+i(2+i)(l+01,3.

【解析】：——=-----二一+一I

1-i(l-i)(l+i)22

所以复数笠的共规复数是:-

l-lLN

故选A.

2.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念,

甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（）

A.12种B.24种C.48种D.120种

【答案】B

【解析】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有四掰种排法，

甲乙相邻且在两端有6心掰种排法，

故甲乙相邻且都不站在两端的排法有用心-6幽掰=24（种），

故选&

3.已知曲线G：f（x）=Inx+1x2+：和。2：9（%）=~ax2+bx+1在交点处具有相同的切线方程,

则ab的值为（）

A.—1B.0C.—6D.6

【答案】D

【解答】

解：f'W=^+x-l,g'（x）=-2ax+b,又因为f（x）与g（x）在交点（Lf（x））处具有相同的切线方程,

所以｛附驾备即｛二隙2/，ma=-2,b=-3,

所以ab=6.

故选D.

4.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（）

X3459

a1J_]_

P一+。

2626

111

C

A.6-9-D.2-

【详解】

—+—+a+—+——l,解得a=L

26269

故选：C

5.下列命题错误的是

A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设看〜N（0Q2）,且尸偌<一1）=",则P（O<g）V

C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高

D.已知变量x和y满足关系y=>01x,变量y与z正相关，则x与z负相关

【答案】B

【详解】对于A,根据相关系数的意义知，A正确

对于B,由J〜N（0,CT2）,知〃=0,概率密度函数的图象关于x=0对称

故+P仁>1）,P（-l<^<l）=l-2xP（0<^<l）=1

所以尸（0<4<l）=；.P（T<==；,故B错误

对于C,根据残差图的意义，C正确

对于D,变量x和），满足关系y=i-o」x,所以y和X负相关，因为y与z正相关，所以x与z负相关，故

D正确

故选：B

6.随机变量X服从正态分布X〜N（10n2）,P（X>12）=m,P（8<X<10）=n,则；的最小值为（）.

A.3+4V2B.6+2V2C.8+2V2D.6+4V2

【答案】D

【解答】••・随机变量X服从正态分布X-/V(10,<52),P(X>12)=m,P(8<X<10)=n,

••P(10<X<12)=n,

■-in+n=I，且m>0,n>0

=2(3+2勾

=6+4vL

当且仅当沪渺即时誓/=尊等号成立，

二2+工的最小值为6+4位.故选D

mn

7.回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣

味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过

大佛寺，寺佛大过人在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,

585,2662等；那么用数字1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为（）

A.30B.36C.360D.1296

【答案】B

【详解】

由题意知：组成4位“回文数”

二当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：C：种

当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：C；种

又•.•在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数

,2个数组成回文数的个数：用种

故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：8

综上，有数字1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为：C：用+C：=36

故选：B

8.设函数/(x)=xlnx,g(x)=42,给定下列命题

X

①不等式g(x)>o的解集为(J+8)；

②函数g(x)在(o,e)单调递增，在(e,+8)单调递减；

③xe-,1时，总有/(x)<g(x)恒成立；

e

④若函数F(x)=f(x)-办2有两个极值点,则实数ae(0,1).

则正确的命题的个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

函数/(x)=x/nx,.,・/'(%)=/nx+l

/、lnx+\、1-bvc-lInx

火占(人’一，人

’JX611-X2-X2~~

对于①，g(x)>0即如土■>(),阮v+l>0,即x>L故正确

xe

对于②，g'(x)=T，当x«0,l)时g'(x)>0,g(x)单调递增，故错误

对于③,当XG-,1时,若〃x)<g(x)，则〃X)-g(x))<o

/nr4-1

即xlnx-----------<0，即x2bvc-lnx—\<0，

x

令尸(%)=%2祇一加一1,则F(x)=2x/〃x+x—工,F"(x)=2/nx+2+l+J

当xe时，Fff(x)>0,则E'(x)单调递增

F(1)=O+1-1=O,则尸'(x)WO,尸(x)单调递减

尸[：)=一5+1-1=一5<0，故/(x)—g(x))<0,/(x)<g(x),故正确

对于④，若函数厂(%)=/(力一以2有两个极值点，则9(x)=r(x)-2or有两个零点

lyiX+1

即E+1—*=(),2a=1——

x

令G(X)="LG'(x)=-等，G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减

G(l)=l，即2aw(O,l),故错误

综上，只有①③正确

故选8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.在(x-L)的展开式中，下列说法正确的有()

A.所有项的系数和为0B.所有项的系数绝对值和为64

C.常数项为20D.系数最大的项为第4项

【答案】AB

【详解】

令X=1可得(X—，］的展开式中所有项的系数利为(1—1)6=(),A正确；

因为jx—工］=C^6+C>5f--UL+c^f-->|，所以展开式中所有项的系数绝对值和为

Ixj\X)IX)

C；+C：+-・+C：=26=64,B正确;

所以jx—L]

通项为C；(—I)'%"，令6—2r=(),解得r=3.的展开式中常数项为C；(一1)3=—2(),C

Ix)

错误;

因为|\一!]=C^x6+C；x5+L+Cl，各项的系数分别为

c：、-C；、c；、-以、C：、-c；、C：,展开式系数最大的为C：=15、C：=15,

是第3项或第5项，D错误.

故选：AB.

10.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（）

A.复数z=3+4i的模目=5

B.若复数z=3+4i,则2（即复数z的共轨复数）在复平面内对应的点在第四象限

C.若复数（〃广+3加―4）+（>一2加一24）i是纯虚数，则加=1或〃?="4

D.对任意的复数z,都有z?30

【答案】AB

【详解】

对于A,复数z=3+数的模|z|=，32+42=5,故A正确；

对于5,若复数z=3+4i,则5=3—4i,在复平面内对应的点的坐标为（3,-4）,在第四象限，故3正确;

对于C,若复数（裙+3/M-4）+（m2-2m-24）i是纯虚数，

nr+3m-4=0

解得"2=1,故C错误;

m2-2m-24力0

对于。，当z=z,时，Z2=-1<0,故。错误.

故选：AB.

11.下列说法中，正确的命题是（）

A.已知随机变量f服从正态分布N（2,旌），<4）=0.84,则P（2<f<4）=0.34.

B.以模型y=ce^去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程z=

0.3x+4,则c,%的值分别是e4和0.3.

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx,若b=2,元=1,歹=3,则a=1.

D.若样本数据匕，x2,.....0的方差为2,则数据2%-1,2x2-l...2刈0-1的方差为16.

【答案】ABC

【解答】

解：4正确，随机变量f服从正态分布N(2,M),

若P(f<4)=0.84,则P(f<0)=P延>4)=0.16.

则P(2<f<4)=1(0.84-0.16)=0.34.

B正确，vy=ce-,二两边取对数，

可得，ny=ln(cekx)=Inc+lnekx=Inc+kx,

令z=Iny,可得z=Inc+kx,

z=0.3x+4,Inc=4,k=0.3,c=e4.

C正确，因为回归直线方程y=a+bx必过样本中心(1,3),

所以3=a+2X1,解得a=1.

。错误，由方差的性质得：数据2/-1,2x2-1...2/0-1的方差为：$2=22x2=8.

故选ABC.

12.已知函数/'(x)=靖一河瞰的定义域是O,有下列四个命题，其中正确的有()

A.对于Vae(-8,0),函数f(x)在。上是单调增函数

B.对于vae(0,+8),函数y(x)存在最小值

C.存在ae(一8,0),使得对于任意XeD,都有/(x)>0成立

D.存在ae(0,+8),使得函数f(x)有两个零点

【答案】ABD

【解答】

易求得函数定义域为(0,+8),f'(x)=ex-^

A、若ae(—8,0),则/•'(>)=/一：>0,则/"(X)为定义域上增函数，故4正确：

8、若a£(0,+oo),则存在与，使得r(xo)=〃。一黄=0,设g(x)=ex-^,

则“(X)=〃+爰>0,则口(%)在(0,+8)上单调递增,

则当x6(0,工0)时,f(x)<0,

当％G(%0,+8)时，/(X)>0,

则/(%)在(o,0)上单调递减，在a。,+8)上单调递增，

故函数/(%)在％=久o处取得最小值，故B正确；

。、由QV0,当%>0且第T0时,

ex->1,alnx14-oo,

即f(x)VO,C不正确；

D、由上述分析可知，a>0时，f(%)在(0,+8)上存在最小值，

当%>0且％t0时，/(%)>0,

当XT+8时，由于指数函数比对数函数增加的快，

故/0)>0,因此,当/(X)的最小值小于0时，

/(%)在(0,+8)上有两个零点，

考虑a=5e5,此时广(5)=/-?=0，

此时/(x)的最小值为/(5)=5esln5<0，

故/(x)有两个零点，

故Q正确；

故选ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须

相邻着舰，丙、丁两机也必须相邻着舰，那么不同的着舰方法有种.

【答案】24

【详解】

对甲，乙两机进行排列为对丙，丁两机进行排列为A；

然后把甲乙当成个元素，内丁当成一个元素，3个元素进行排列，有种

根据分步计数原理可得满足要求的一共有用•用•用=24种

故答案为：24

【点睛】

本题考查分布计数原理，以及捆绑法，属于基础题.

14.已知％,V的取值如表：

X0134

ya4.34.86.7

若龙，y具有线性相关关系，且回归方程为9=0.95x+2.6,则。=

【答案】2.2

【详解】

0+1+3+4

将无=20+4.3+4.83=」+68代入回归方程为e=o.95x+2.6,可得

444

4+68=4.5na=2.2,应填答案2.2.

4

点睛：解答这类问题的常规方法就是先求出1=2,y="68,再借助这个点(2,产5)的坐标满足回

44

归方程为y=0.95x+2.6这一结论，将其代入回归方程可方程"-15.8=45,然后通过解方程得到。=2.2,

4

使得问题获解.

15.若（1一3无尸=4+4尤+生工2+…+%（）”，则q+。2+%+.••+%=

【答案】1023

【详解】

解：V（1—3x）'°=a。+qx+a-,x~+...+《。储。，

令尸0得：1=%；①

令x=l得：+a1+a,+/+…+4io=(I-3)"'=1。24；②

由®®可得：a\+a2+q+…+4o=1024-1=1023；

故答案为：1023.

X?—2/?tx—m~—1,—2<xW0

16.已知函数/(x)=，41nxm+2在区间(-2,+8)上有且只有三个零点，则实数m的取

-----------,x>0

.xe

值范围为.

【答案】(2-^,2)

【详解】

A]nY

“1x>0时，函数/(x)的图像是函数y=——的图像进行上下平移而得到的.

,.…，4Inx.,4(1-Inx)

乂由函数丁=-----有y=—一；——--

xx

由y=4(1一加八)〉0，得y=4(ln.i)<0，得%>e.

XX

所以函数y=3詈在(0,e)上单调递增，在(e,+»)上单调递减，图像如图.

,,41nx八

当x>l时，y=---->0.

x

所以在(0,+8)匕函数/(x)至多有2个零点.

当-2<x40时，/(x)=x2-hnx-nr,/(0)=-m2-1<0,其对称轴为x=m.

此时二次方程V一2mt——1=0有两相异号的实根.

所以在(一2,0)上，函数至多有1个零点.

因为函数/(x)在区间(-2,一)上有且只有三个零点.

所以/(%)在-2<x40上有一个零点，在(0,+8)上有2个零点.

3>0

e

，/、4m+2

则〈“e)=-------->0解得：2—近<加<2

ee

(-2)2-2mx(-2)-w2-l>0

故答案为：(2—J7,2)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知复数为=-2+hZ1Z2=-5+5i(其中i为虚数单位)

(1)求复数Z2；

2

(2)若复数Z3=(3-z2)[(m-2m-3)+(m-l)i]所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

【答案】(,复数

1),•Z1=-2+i,zrz2=-5+53

—-5+5i_(-5+5i)(—2—i)_15_5i_0

"Z2=石f=(-2+i)(-2-i)=k=§i

Z2

(2)3=(3-z2)[(m-2m-3)+(m-l)i]

=i[(m2—2m—3)+(m—l)i]

=—(m—1)+(m2—2m—3)t,

•••复数Z3所对应的点在第四象限，

...-1)>0

Im2-2m—3<0

解得一1<m<1.

・•・实数m的取值范围是(-1,1).

18.已知二项式G+2x(",

(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系

数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.

【答案】解：二项式6+2%)”的通项为7；+1=以《广->(2©1

⑴•••第+俏=2盘,

:.n2—21n+98=0,

・•・n=7或ri=14,

当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是介和75，

且北的系数=的(》423=日，

%的系数=^(1)324=70；

当?i=14时，展开式中二项式系数最大的项是取，

且"的系数=77；

C74(1)2=3432

(2)由劭+碍+=79,可得n=12,

设展+1项的系数最大，

•••G+2久产=钞2(1+4x)12,

(1+4x)12展开式的通项为

件4k>C忖

9.4</c<10.4,k=10,

••・展开式中系数最大的项为Tii，

且Ai=(1)2C^210X10=16896/°.

19.为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4,且

成绩分布在［0,60］的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样

的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中a,A,c构成以2为公比的

等比数列.

（1）求a,。,c的值；

（2）填写下面2x2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文''与“学生的文理

科”有关？

文科生理科生合计

获奖6

不获奖

合计400

(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学

生人数为X，求X的分布列及数学期望.

n(ad-be)?

附：K=-------------------------，其中〃=Q+Z?+c+d.

3+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

2

P(K..k]0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)tz=0.005,Z?=0.0bc=0.02：(2)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的情况下，

不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科“有关；(3)分布列见解析，*

【分析】

(1)根据频率和等于1可得。+力+c=0.35,再根据b,c构成以2为公比的等比数列可解得结果；

(2)根据分层抽样可得2x2列联表，根据公式计算K2,结合临界值表可得答案；

(3)X~B(2卷),根据二项分布的概率公式和数学期望公式可得结果.

【详解】

(I)由频率分布直方图可知，10x(a+b+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,

因为a,。,c构成以2为公比的等比数列，所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,

所以b=2a=0.01,c=4a=0.02.

故a=0.005,Z?=0.01,c=0.02.

(2)获奖的人数为0.005x10x400=20人，

因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4,所以400人中文科生的数量为400x1=80,理科生的数量为

400-80=320.

由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20—6=14人，不获奖的文科生有80-6=74人.

于是可以得到2x2列联表如下：

文科生理科生合计

获奖61420

不获奖74306380

合计80320400

400x(6x306-14x74)2

K-®1.32<6.635

20x380x80x320

所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.

201

(3)由(2)可知，获奖的概率为---=—，

40020

X的可能取值为0，I，2,X~5(2,—),

,经、2361

p(x=o)=C.m°.

120；、西一旃’

P(X=1)=C(12、3819

瓦瓦-400-200,

(19、

P(X=2)=C；•1-血卜表，

分布列如下：

X012

361191

r

400200400

数学期望为E(X)=2x，=

20.已知函数/(x)=—(a+2)x+2alnx(a>0),

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线为y=2x+b,求a+2b的值；

⑵设函数g(x)=—(a+2)x,若至少存在一个毛4],使得〃/)>g(x())成立，求实数。的取值

范围.

2

【答案】(1)—10；(2)ci>-----.

In2

【详解】

解:(1)/(力的定义域为(0,+"),/z(x)=x-(fl+2)+—,

.・・/⑴=g_(Q+2)=2+—7(1)=1_伍+2)+%=2,

13

解得a=3,b----，工。+2b=—1().

2

(2)若至少存在一个与e[e,4],使得/(%)>g(xo),，；x2+2a]nx>0,

1212

当xe[e,4]时，lnx>l,，2。〉_二有解，令〃公=_/，

InxInx

,11

xinx-X2,一

A2a>/?(x)m.n,〃，(尤)=--------2_^_=

72=--——

1(Inx)(In”

—x42

••.力⑺在[e,4]上单调递减，人⑺=力(4)2___8=4,

In421n2一—赢

42

.*•2a>-----，Upa>-----.

In2In2

21.已知一个口袋中有他个红球和"个白球(m,〃eN*,m>2,n>2),这些球除颜色外完全相同.现

将口袋中的球随机地逐个摸出(不放回)，直到红球全部被摸出为止.

(1)当加=2,〃=3时，试求“摸球次数为5”的概率：

(2)随机变量X表示摸球次数，E(X)是X的数学期望.写出X的概率分布列，并求E(X).

【答案】(1)劣；(2)分布列见详解；E(X)=+〃+D.

5m+1

【详解】

(1)当帆=2,〃=3时，由题意，红球全部摸出，共有。；=10种情况；

若摸球次数为5,则第5次摸到红球，此时所包含的基本事件个数为C：=4个;

c'2

因此，“摸球次数为5”的概率为P=U

5

(2)由题意,X的可能取值为:m,m+\,m+2,m+3,...,m+n,

从袋中m个红球和〃个白球中，将红球全部摸出，共有C：：种情况;

।

则2(乂=根)=k，P(X=m+l)=-^-,P(X=m+2)=岩，P(X=/n+3)=消詈

tn+n

P(X=m+n)=T^,

0m+"

所以X的分布列为:

Xm772+1m+2m+3…m+n