2025届山东省德州市高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2025届高三上学期开学考试数学试题第I卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：A.2.已知一组数据（且）的回归直线方程为，若，则的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由于，∴，.将代入，∴，解得：.故选：C.3.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因为数列为等比数列，且，所以，所以，故选：C.4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（）A.48 B.36 C.24 D.12〖答案〗A〖解析〗舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况，将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况故共有种方案.故选：A.5.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由椭圆C的方程可得，①当时，可得，此时椭圆的离心率为，由可得，，解得，当时，可得，此时椭圆的离心率为，由可得，，解得；②当时，则椭圆C的方程为，则此时，此时椭圆C的离心率为，综上得，是椭圆C的离心率为的充分不必要条件.故选：A.6.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（）A. B.1 C. D.3〖答案〗C〖解析〗将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC中心为O，则底面，且在中，，由正弦定理得，所以与平面所成角的正切值.故选：C.7.已知，，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，又因为，则，由得，，又，，两式相加得，，即，所以.故选：B.8.已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴.∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点Px,y，满足，则，化简得，又∵，代入得，要使等式恒成立，则，即.∴存在定点，使圆上任意一点P满足，则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立.又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，由到直线距离，则.故.如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.复数在复平面内对应的点为，且（为虚数单位）的实部为2，则（）A.复数的虚部为B.复数对应的点在第一象限C.复数的模长为5D.若复数满足，则的最大值为〖答案〗BD〖解析〗因为复数z在复平面对应的点为，所以，所以，所以，所以，对A，复数z的虚部为，故选项A错误；对B，复数，其对应的点为在第一象限，故选项B正确；对C，复数z的模为，故选项C错误；对D，设复数在复平面内对应的点分别为，则，，，由复数的几何意义可知，分别在以原点为圆心，以1，为半径的圆上运动，故，所以的最大值为，故选项D正确.故选：BD.10.已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（）A.B.函数在区间上单调递增C.若，则的最小值为D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为〖答案〗ABD〖解析〗由图象可知，，解得，，故A正确；又因为，所以，则，，又因为，所以，所以函数的表达式为，则将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，对于B，令，，可得，，所以函数在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为，所以的最大、最小值分别为和，最小正周期为，当时，则、分别为函数的最大、最小值，所以，故C错误；对于D，令，得，或，，解得，或，，又因为，所以或或或，所以直线与的图象所有交点的横坐标之和为，故D正确.故选：ABD.11.设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A.B.在上单调递增C.为奇函数D.方程仅有5个不同实数解〖答案〗ACD〖解析〗因为fx-1为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称，又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称，将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象，由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为，对A，，故选项A正确；对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误；对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确；对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点1,0，再根据图象，可知函数y=fx与函数有5个交点，故选项D正确.故选：ACD.第II卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.13.已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球表面积为__________.〖答案〗〖解析〗在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球半径为，所以外接球表面积为.14.编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________.〖答案〗〖解析〗因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为，设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为，根据题意有，则，整理得，即，当时，，此时为，3种情况；当时，，此时为，9种情况；当时，，此时为，9种情况；当时，，此时为，3种情况；综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得估计平均数为（2）成绩在第四､五两组的频率之比为，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为，第五组志愿者人数为，记事件A为“选出三人来自不同组”，记事件为“恰有2人来自第四组”，故，其中，，.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为.16.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为0,+∞，①当时，，当时，f'x>0，在上单调递增，当时，f'x<0，在上单调递减，当时，f'x>0，在上单调递增；②当时，，f'x≥0恒成立，故在0,+∞综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在0,+∞上单调递增.（2）对，都有成立，即对恒成立，等价于对.令，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.则，可得.综上，实数的取值范围是.17.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点，由为等腰梯形，且，则又，所以，连接，由，可知且，所以在三角形中，，从而，又平面，，所以平面，平面，所以平面平面（2）解：由（1）知，平面平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，设平面的法向量为m=x则，即，取，则，所以，由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18.已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.（1）若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；（2）若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.（1）解：设双曲线方程为，则，解得，所以，设因为两点都在双曲线上，所以，两式作差得，整理得则；（2）证明：设，设直线的方程为，联立，化简得，，则，故，，由，所以，从而，即.19.若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列.（1）判断数列是否为数列，并说明理由；（2）设数列为数列.①求证：一定为中的项；②求证：；（3）若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.（1）解：（1）数列不为数列，因为和6均不是数列中的项，所以数列不为数列.（2）证明：①记数列的各项组成的集合为，又，由数列为数列，，所以，即，所以，设，因为，所以，得证.②因为，则，将上面的式子相加得：.所以.（3）解：（i）当时，由（2）知，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.（ii）当时，存在数列，符合题意，故可取4，（〖答案〗不唯一，满足即可）（iii）当时，由（2）知，，①当时，，所以.又，，所以，即.由，得：，所以，②由①②两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设的可能取值只有4.山东省德州市2025届高三上学期开学考试数学试题第I卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：A.2.已知一组数据（且）的回归直线方程为，若，则的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由于，∴，.将代入，∴，解得：.故选：C.3.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因为数列为等比数列，且，所以，所以，故选：C.4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（）A.48 B.36 C.24 D.12〖答案〗A〖解析〗舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况，将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况故共有种方案.故选：A.5.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由椭圆C的方程可得，①当时，可得，此时椭圆的离心率为，由可得，，解得，当时，可得，此时椭圆的离心率为，由可得，，解得；②当时，则椭圆C的方程为，则此时，此时椭圆C的离心率为，综上得，是椭圆C的离心率为的充分不必要条件.故选：A.6.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（）A. B.1 C. D.3〖答案〗C〖解析〗将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC中心为O，则底面，且在中，，由正弦定理得，所以与平面所成角的正切值.故选：C.7.已知，，则的值为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，又因为，则，由得，，又，，两式相加得，，即，所以.故选：B.8.已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴.∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点Px,y，满足，则，化简得，又∵，代入得，要使等式恒成立，则，即.∴存在定点，使圆上任意一点P满足，则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立.又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，由到直线距离，则.故.如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.复数在复平面内对应的点为，且（为虚数单位）的实部为2，则（）A.复数的虚部为B.复数对应的点在第一象限C.复数的模长为5D.若复数满足，则的最大值为〖答案〗BD〖解析〗因为复数z在复平面对应的点为，所以，所以，所以，所以，对A，复数z的虚部为，故选项A错误；对B，复数，其对应的点为在第一象限，故选项B正确；对C，复数z的模为，故选项C错误；对D，设复数在复平面内对应的点分别为，则，，，由复数的几何意义可知，分别在以原点为圆心，以1，为半径的圆上运动，故，所以的最大值为，故选项D正确.故选：BD.10.已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（）A.B.函数在区间上单调递增C.若，则的最小值为D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为〖答案〗ABD〖解析〗由图象可知，，解得，，故A正确；又因为，所以，则，，又因为，所以，所以函数的表达式为，则将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，对于B，令，，可得，，所以函数在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为，所以的最大、最小值分别为和，最小正周期为，当时，则、分别为函数的最大、最小值，所以，故C错误；对于D，令，得，或，，解得，或，，又因为，所以或或或，所以直线与的图象所有交点的横坐标之和为，故D正确.故选：ABD.11.设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A.B.在上单调递增C.为奇函数D.方程仅有5个不同实数解〖答案〗ACD〖解析〗因为fx-1为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称，又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称，将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象，由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为，对A，，故选项A正确；对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误；对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确；对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点1,0，再根据图象，可知函数y=fx与函数有5个交点，故选项D正确.故选：ACD.第II卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，解得.13.已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球表面积为__________.〖答案〗〖解析〗在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球半径为，所以外接球表面积为.14.编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是__________.〖答案〗〖解析〗因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为，设抽取的前两个球的号码为，第三个球的号码为，根据题意有，则，整理得，即，当时，，此时为，3种情况；当时，，此时为，9种情况；当时，，此时为，9种情况；当时，，此时为，3种情况；综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得估计平均数为（2）成绩在第四､五两组的频率之比为，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为，第五组志愿者人数为，记事件A为“选出三人来自不同组”，记事件为“恰有2人来自第四组”，故，其中，，.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为.16.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为0,+∞，①当时，，当时，f'x>0，在上单调递增，当时，f'x<0，在上单调递减，当时，f'x>0，在上单调递增；②当时，，f'x≥0恒成立，故在0,+∞综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在0,+∞上单调递增.（2）对，都有成立，即对恒成立，等价于对.令，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.则，可得.综上，实