2025届辽宁省沈文新高考研究联盟高三8月模拟预测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三8月模拟预测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，.则的子集共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗因为集合，，所以，所以集合的子集为，共四个.故选：D.2.已知复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故选：A.3.椭圆的焦点的坐标为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗在椭圆中，，，则，易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，.故选：D.4.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（）A.36 B.45 C.72 D.165〖答案〗B〖解析〗根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选：．5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，，又，，设上底面面积为，下底面面积为，所以圆台的体积.故选：B.6.若函数为R上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数为R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以，故选：D.7.已知数列{an}满足，，则数列的前100项的和是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，且，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，.故选：A.8.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（）A.为的对称轴 B.为的对称中心C.在区间上有3个零点 D.在区间上单调递增〖答案〗D〖解析〗对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B.已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20C.已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对；对于D，，，D对.故选：ACD.10.已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则（）A.直线的方程为 B.点的坐标为C.的周长为 D.直线与相切〖答案〗AC〖解析〗A选项，依题意，抛物线的准线方程为，即，所以，即抛物线的方程为，则抛物线的焦点为.设直线的方程为，Ax1,y1联立消去整理得恒成立，则，则，，又因为线段为的直径，与的准线相切于点，所以，整理得，即，即，解得，所以直线的方程为，所以A正确；B选项，因为垂直于准线，且，所以点的纵坐标为，代入直线的方程，即，解得，可得点，所以B错误；C选项，根据抛物线的定义可得，所以的半径为，所以的周长为，所以C选项正确；D选项，圆心到直线的距离为，所以直线与相交，不相切，所以D错误.故选：AC.11.已知函数，是自然对数的底数，则（）A. B.C.若，则 D.，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意得，则，当时，，递增，当时，，递减，由于，所以，即，整理得，即，所以，故正确；对于B，由于，由于当时，递减，故，即，即，因为，故，即，综上，，故B正确；对于C，因为，即，即，设，由于当时，递增，当时，递减，故单调减函数，故，即，由于，不妨设，则，即，故C错误；对任意两个正实数，且，若，不妨设，即，设，则，则，，分析法知：要证目标不等式只需，设令，则，即为单调增函数，故，即成立，故，所以，即，故D正确，故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若为锐角，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为为锐角，所以，则.13.若向量，，则在上的投影向量为_____________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，在上的投影向量为.14.在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则以下结论正确的是______（填序号）．①；②平面平面；③三棱锥的体积为；④三棱锥的外接球的表面积为.〖答案〗①②③④〖解析〗因为，，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又平面，所以平面平面，所以①②正确；进一步三棱锥的体积为，所以③正确；设三角形的外心为，过作平面，则三角形外接圆的半径为，设为三棱锥外接球的球心，则，，所以，所以，解得，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．故〖答案〗为：①②③④.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．解：（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为，，，，，，故其概率为．（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为，，，，，，，故其概率为．（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为，，，，，，，，，故其概率为．16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，过点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.求证：（1）平面；（2）平面.证明：（1）因为为的中点，可得，又因为DE⊄平面，平面，所以平面.（2）因为为的直径，点是上的点，所以，又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，又因为，所以、，又由且平面，所以平面.17.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若直线与曲线相切，求实数的值.（1）解：当时，，则定义域为，；当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；的极大值为；极小值为.（2）假设与相切于点，，，即，又，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即有唯一解：，，解得：.18.已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.（1）解：依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，于是，双曲线C的方程为，即，所以双曲线C的标准方程为.（2）证明：当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化简得，即，解得m=-2k或，均满足条件，当m=-2k时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，当时，直线的方程为，直线过定点；当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，综上得直线过定点，由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.19.记无穷数列前项中最大值为，最小值为，令.（1）若，请写出的值；（2）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；（3）若，求证:存在，使得，有.（1）解：因为，所以，，，，所以，，，.（2）证明：（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d，当时，，所以，所以，，当d<0，，所以，所以，，当是，，所以，所以，，综上，总有，所以，所以数列是等差数列.（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为，因为，根据，的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有个取等号当，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，，所以，所以，即为等差数列，当时，则必有，所以，所以是一个单调递减数列，所以，，所以，所以，即为等差数列，当，，因为，中必有一个为0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，所以，，所以为常数数列，所以为等差数列，综上，结论得证.（3）证明：假设结论不成立.因为，即或者，所以对任意，一定存在，使得，符号相反，所以在数列中存在，，，……，，……，其中，且，，因为，即，，注意，，且有且仅有一个等号成立，所以必有，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，，，……，所以，所以，所以，这与矛盾，所以假设错误，所以存在，使得，有.辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三8月模拟预测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，.则的子集共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗因为集合，，所以，所以集合的子集为，共四个.故选：D.2.已知复数，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故选：A.3.椭圆的焦点的坐标为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗在椭圆中，，，则，易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，.故选：D.4.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（）A.36 B.45 C.72 D.165〖答案〗B〖解析〗根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的盒子里，此时只需将剩下个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；将11个球排成一列，排好后，有10个空位，在10个空位中任取2个，插入挡板，有种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，故选：．5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，，又，，设上底面面积为，下底面面积为，所以圆台的体积.故选：B.6.若函数为R上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数为R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以，故选：D.7.已知数列{an}满足，，则数列的前100项的和是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，且，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，.故选：A.8.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（）A.为的对称轴 B.为的对称中心C.在区间上有3个零点 D.在区间上单调递增〖答案〗D〖解析〗对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B.已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20C.已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对；对于D，，，D对.故选：ACD.10.已知直线经过抛物线的焦点，且与交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则（）A.直线的方程为 B.点的坐标为C.的周长为 D.直线与相切〖答案〗AC〖解析〗A选项，依题意，抛物线的准线方程为，即，所以，即抛物线的方程为，则抛物线的焦点为.设直线的方程为，Ax1,y1联立消去整理得恒成立，则，则，，又因为线段为的直径，与的准线相切于点，所以，整理得，即，即，解得，所以直线的方程为，所以A正确；B选项，因为垂直于准线，且，所以点的纵坐标为，代入直线的方程，即，解得，可得点，所以B错误；C选项，根据抛物线的定义可得，所以的半径为，所以的周长为，所以C选项正确；D选项，圆心到直线的距离为，所以直线与相交，不相切，所以D错误.故选：AC.11.已知函数，是自然对数的底数，则（）A. B.C.若，则 D.，且，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由题意得，则，当时，，递增，当时，，递减，由于，所以，即，整理得，即，所以，故正确；对于B，由于，由于当时，递减，故，即，即，因为，故，即，综上，，故B正确；对于C，因为，即，即，设，由于当时，递增，当时，递减，故单调减函数，故，即，由于，不妨设，则，即，故C错误；对任意两个正实数，且，若，不妨设，即，设，则，则，，分析法知：要证目标不等式只需，设令，则，即为单调增函数，故，即成立，故，所以，即，故D正确，故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若为锐角，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为为锐角，所以，则.13.若向量，，则在上的投影向量为_____________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，在上的投影向量为.14.在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则以下结论正确的是______（填序号）．①；②平面平面；③三棱锥的体积为；④三棱锥的外接球的表面积为.〖答案〗①②③④〖解析〗因为，，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又平面，所以平面平面，所以①②正确；进一步三棱锥的体积为，所以③正确；设三角形的外心为，过作平面，则三角形外接圆的半径为，设为三棱锥外接球的球心，则，，所以，所以，解得，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．故〖答案〗为：①②③④.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．解：（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为，，，，，，故其概率为．（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为，，，，，，，故其概率为．（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为，，，，，，，，，故其概率为．16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，过点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.求证：（1）平面；（2）平面.证明：（1）因为为的中点，可得，又因为DE⊄平面，平面，所以平面.（2）因为为的直径，点是上的点，所以，又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，又因为，所以、，又由且平面，所以平面.17.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若直线与曲线相切，求实数的值.（1）解：当时，，则定义域为，；当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；的极大值为；极小值为.（2）假设与相切于点，，，即，又，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即有唯一解：，，解得：.18.已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.