2024届江苏省无锡市江阴某校高三5月高考模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市江阴某校2024届高三5月高考模拟数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，故选：A．2.在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据幂函数性质知道，定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误；奇函数且在单调递增，故B正确；为偶函数，且在单调递增，故C错误；为奇函数，且在单调递减，故D错误.故选：B．3.在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（）A.16 B.15 C.14 D.13〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，则，可得，所以.故选：D．4.设是三个不同平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，，则由平面平行的性质定理：得；但当，时，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗关于轴对称，则，又因为，则当时，.故选：C.6.设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.7.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设为圆锥高，为圆锥母线长以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，在中，，可得，且，则，解得，所以圆锥的侧面积为.故选：C.8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误是（）A. B.P的坐标为C.B的坐标为 D.在方向上的投影向量为〖答案〗D〖解析〗C选项，因为，所以，解得，因为，所以，故，所以，C正确；B选项，，将点绕点逆时针旋转得到点，则，设，则，所以，解得，则P的坐标为，B正确；A选项，，故，A正确；D选项，在方向上的投影向量为，D错误.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.“＂是“＂的充分不必要条件〖答案〗ABD〖解析〗设，对于选项A：因为，所以，且，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项C：若，例如，满足，但，，即，故C错误；对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立；若，例如，且，但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确．故选：ABD.10.某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗因为，则，且，则，不妨设最大，①若，则不成立，故A错误；②若，例如，满足题意，故B正确；③若，例如，满足题意，故C正确；④若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D错误；故选：BC．11.在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（）A.与平面所成的角相等B.C.二面角的大小可能为D.若，则球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取的中点，因为，所以点是的外心，连接，则平面，因为是的中点，所以，所以平面，点是是的中点，，所以，又，所以，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，做，交于点，，平面，所以平面，平面，所以，所以即为的平面角，若，则，而在直角三角形中，斜边，这是不可能的，故C错误；对于D，若，则，，所以，外接球半径，，故D正确故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．〖答案〗〖解析〗先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，则总分法有种，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．13.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)〖答案〗〖解析〗依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多为．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;（2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.解：（1），则，故曲线在处的切线为，即，当时，此时切线为，不符合要求当时，令，有，令，有，故，即，故.（2），①当时，在上单调递增，的最大值是，解得，舍去;②当时，由，得，当，即时，时，时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，又在上的最大值为;当，即时，在上单调递增，，解得，舍去.综上所述，存在符合题意，此时.16.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．解：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，所以，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为．由，且，得．当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．17.如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．（1）证明：O，P，三点共线；（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．（1）证明：，所以，而，所以，即O，P，三点共线．（2）解：连接，，，所以，，，，，由余弦定理得，同理可得，．又为BD的中点，，．，，即．如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，由（1）可得，P为线段三等分点，所以，，，，设平面PAB的法向量为，则令，则，．设直线与平面PAB所成角为，则，直线与平面PAB所成角的正弦值为．18.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足.（1）求的平分线所在的直线的方程；（2）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；（3）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程.解：（1）设的平分线与轴交于点，由，则，由，有，故，故，则，解得，故，由角平分线的性质可得，所以，解得，故，则有，即直线的方程为；（2）假设存在两点关于直线对称，则，所以，设直线的方程为，联立，得，则，即，所以的中点坐标为，因为的中点在直线，所以，所以，所以的中点坐标为，与点重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点；（3）由题意知，，设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为，设它们的一个交点坐标为，它们的交点为顶点的四边形面积记，所以，当且仅当取得等号，因为，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.19.已知数列，记集合.（1）若数列为，写出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．解：（1）由题意可得，，，所以.（2）假设存在，使得，则有，由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，又，，所以中必有大于等于奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，故不存在，使得.（3）首先证明时，对任意的都有，因为，由于与均大于且奇偶性不同，所以为奇数，对任意的都有，其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，若正整数，其中，则当时，由等差数列的性质可得：，此时结论成立，当时，由等差数列的性质可得：，此时结论成立，对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，由前面证明可知正整数不是中的项，所以的最大值为.江苏省无锡市江阴某校2024届高三5月高考模拟数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，故选：A．2.在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据幂函数性质知道，定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误；奇函数且在单调递增，故B正确；为偶函数，且在单调递增，故C错误；为奇函数，且在单调递减，故D错误.故选：B．3.在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（）A.16 B.15 C.14 D.13〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，则，可得，所以.故选：D．4.设是三个不同平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，，则由平面平行的性质定理：得；但当，时，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗关于轴对称，则，又因为，则当时，.故选：C.6.设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.7.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设为圆锥高，为圆锥母线长以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，在中，，可得，且，则，解得，所以圆锥的侧面积为.故选：C.8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误是（）A. B.P的坐标为C.B的坐标为 D.在方向上的投影向量为〖答案〗D〖解析〗C选项，因为，所以，解得，因为，所以，故，所以，C正确；B选项，，将点绕点逆时针旋转得到点，则，设，则，所以，解得，则P的坐标为，B正确；A选项，，故，A正确；D选项，在方向上的投影向量为，D错误.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.“＂是“＂的充分不必要条件〖答案〗ABD〖解析〗设，对于选项A：因为，所以，且，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项C：若，例如，满足，但，，即，故C错误；对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立；若，例如，且，但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确．故选：ABD.10.某校团委为泙价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调查．若各社团抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的最大值可能为（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗因为，则，且，则，不妨设最大，①若，则不成立，故A错误；②若，例如，满足题意，故B正确；③若，例如，满足题意，故C正确；④若，则，可得，可知该方程组无正整数解，故D错误；故选：BC．11.在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（）A.与平面所成的角相等B.C.二面角的大小可能为D.若，则球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，取的中点，因为，所以点是的外心，连接，则平面，因为是的中点，所以，所以平面，点是是的中点，，所以，又，所以，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，做，交于点，，平面，所以平面，平面，所以，所以即为的平面角，若，则，而在直角三角形中，斜边，这是不可能的，故C错误；对于D，若，则，，所以，外接球半径，，故D正确故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．〖答案〗〖解析〗先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，则总分法有种，其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．13.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)〖答案〗〖解析〗依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，由可得，，所以，解得：，故σ至多为．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得，圆，圆心，半径，设点，则，故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，则，，则，即的最大值为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;（2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.解：（1），则，故曲线在处的切线为，即，当时，此时切线为，不符合要求当时，令，有，令，有，故，即，故.（2），①当时，在上单调递增，的最大值是，解得，舍去;②当时，由，得，当，即时，时，时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，又在上的最大值为;当，即时，在上单调递增，，解得，舍去.综上所述，存在符合题意，此时.16.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．解：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，所以，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为．由，且，得．当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．17.如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．（1）证明：O，P，三点共线；（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．（1）证明：，所以，而，所以，即O，P，三点共线．（2）解：连接，，，所以，，，，，由余弦定理得，同理可得，．又为B