2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数-专项训练【含解析】

2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥6，,fx＋2，x<6，))则f(3)为()A．2 B．3C．4 D．52．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是()3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，则x的值是()A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)4．函数f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的图象是()5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,x，x<0，))φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤2，,－x2，x>2，))则当x<0时，f(φ(x))＝()A．－x B．－x2C．x D．x26．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))＝4，则b＝()A．1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)8．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2 B．4C．6 D．8二、填空题9．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b.))则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为.10．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2<x<4，,3x，x≥4，))若f(a)<－3，则a的取值范围是.三、解答题11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．12．如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．13．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x取有理数时，,0，x取无理数时，))则与D[D(x)]相等的有()A．D(2) B．D(3)C．D(eq\r(2)) D．D(π)14．(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤p，,p，fx>p，))则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是()A．f2(f(0))＝f(f2(0))B．f2(f(1))＝f(f2(1))C．f2(f(2))＝f(f2(2))D．f2(f(3))＝f(f2(3))15．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，则实数c的取值范围是.16．已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)．(1)作出函数f(x)的图象．(2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数． 2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5，x≥6，,fx＋2，x<6，))则f(3)为(A)A．2 B．3C．4 D．5解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．∵f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2.2．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(B)解析：根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，则x的值是(A)A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)解析：依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故选A.4．函数f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的图象是(C)解析：依题意，知f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,x－1，x<0，))所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C.5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,x，x<0，))φ(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤2，,－x2，x>2，))则当x<0时，f(φ(x))＝(C)A．－x B．－x2C．x D．x2解析：依题意，当x<0时，φ(x)＝x<0，所以f(φ(x))＝x.6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(A)A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米解析：设该单位职工每月应缴水费为y元，实际用水量为x立方米，则满足的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))＝4，则b＝(D)A．1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)解析：f(f(eq\f(5,6)))＝f(3×eq\f(5,6)－b)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b)).当eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)时，3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍)．当eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)时，2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))＝4，解得b＝eq\f(1,2).故选D.8．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝(C)A．2 B．4C．6 D．8解析：若0<a<1，则a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得eq\r(a)＝2(a＋1－1)，∴a＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，则a＋1≥2，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝6.故选C.二、填空题9．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b.))则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为(－∞，1]．解析：由题意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x<1.))画出函数f(x)的图象(如图)得值域是(－∞，1]．10．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2<x<4，,3x，x≥4，))若f(a)<－3，则a的取值范围是(－∞，－3)．解析：当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．故a的取值范围是(－∞，－3)．三、解答题11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数的图象．解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0.所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.即f(f(f(5)))＝－1.(2)图象如图所示．12．如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值．解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0<x≤4时，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；当4<x≤8时，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×4＝8；当8<x<12时，S＝f(x)＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.∴函数解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.))(2)图象如图所示．从图象可以看出[f(x)]max＝8.13．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x取有理数时，,0，x取无理数时，))则与D[D(x)]相等的有(AB)A．D(2) B．D(3)C．D(eq\r(2)) D．D(π)解析：因为D(x)∈{0,1}，所以D(x)为有理数，所以D[D(x)]＝1.而D(2)＝D(3)＝1，D(eq\r(2))＝D(π)＝0，所以A，B都符合．14．(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤p，,p，fx>p，))则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是(ACD)A．f2(f(0))＝f(f2(0))B．f2(f(1))＝f(f2(1))C．f2(f(2))＝f(f2(2))D．f2(f(3))＝f(f2(3))解析：令x2－2x－1＝2，解得x＝－1或x＝3，根据“p界函数”的定义，有f2(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，－1≤x≤3，,2，x<－1或x>3.))所以f2[f(0)]＝f2(－1)＝2，f(f2(0))＝f(－1)＝2，故A选项中的等式成立；f2(f(1))＝f2(－2)＝2,f(f2(1))＝f(－2)＝7，故B选项中的等式不成立；f2(f(2))＝f2(－1)＝2，f(f2(2))＝f(－1)＝2，故C选项中的等式成立；f2(f(3))＝f2(2)＝－1，f(f2(3))＝f(2)＝－1，故D选项中的等式成立．故选ACD.15．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c<x≤3.))若c＝0，则f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))；若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))，则实数c的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).解析：若c＝0，当－2≤x≤0时，f(x)＝x2＋x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，对称轴方程为x＝－eq\f(1,2)，所以当x∈[－2，0]时，f(－2)为最大值，且为2，最小值为－eq\f(1,4)；当0<x≤3时，f(x)＝eq\f(1,x)随着x的增大而减小，故x∈(0,3]时，f(x)的最小值为f(3)＝eq\f(1,3)，则f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).综上可得f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).由函数y＝x2＋x的图象(图略)