2025届福建省南平市高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届福建省南平市高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正方体，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B.C. D.2．如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（）A. B.C. D.3．已知，，满足，则（）A. B.C. D.4．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.5．若函数在定义域上的值域为，则（）A. B.C. D.6．定义在上的函数满足，且当时，，若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．已知，则三者的大小关系是A. B.C. D.8．已知函数.若，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.9．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是A.140 B.143C.152 D.15610．中，设，，为中点，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知不等式的解集是__________.12．已知，则_________13．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________14．已知函数是定义在的奇函数，则实数b的值为_________；若函数，如果对于，，使得，则实数a的取值范围是__________15．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21＝0相切，与y轴交于M，N两点且∠MCN＝120°.（1）求圆C的标准方程；（2）求过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若|DE|＝2，求直线l的方程.18．已知函数，.（1）求函数图形的对称轴；（2）若，不等式的解集为，，求实数的取值范围.19．已知函数f(x)=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设（1）求a，b的值；（2）若不等式g（2x）-k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围20．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.（1）求的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.21．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（1）求出图中a的值；（2）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得【详解】设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接．则，所以为等边三角形，所以故选A【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目2、B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；可得几何体如右图所示，这是一个三棱柱．表面积为：故答案为B.3、A【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；；因为满足，即是方程的实数根，所以是函数的零点，易知函数f(x)在定义域内是减函数，因为，，所以函数有唯一零点，即.所以.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.4、D【解析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D5、A【解析】的对称轴为，且，然后可得答案.【详解】因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A6、C【解析】把问题转化为函数在上的图象与直线至少有两个公共点，再数形结合，求解作答.【详解】函数满足，当时，，则当时，，当时，，关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数在上的图象与直线至少有两个公共点，函数的图象是恒过定点的动直线，函数在上的图象与直线，如图，观察图象得：当直线过点时，，将此时的直线绕点A逆时针旋转到直线的位置，直线(除时外)与函数在上的图象最多一个公共点，此时或或a不存在，将时的直线(含)绕A顺时针旋转到直线(不含直线)的位置，旋转过程中的直线与函数在上的图象至少有两个公共点，此时，所以实数的取值范围为.故选：C【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.7、C【解析】a=log30.2＜0，b=30.2＞1，c=0.30.2∈（0，1），∴a＜c＜b故选C点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小.8、C【解析】由函数的奇偶性结合单调性即可比较大小.【详解】根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2019＝f（﹣x），则函数f（x）为偶函数，则a＝f（﹣log25）＝f（log25），当x≥0，f（x）＝x2﹣2x+2019＝（x﹣1）2+2018，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；又由1＜20.8＜2＜log25，则.则有b＜a＜c；故选C【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及性质的应用，属于基础题.9、B【解析】一个热饮杯数与当天气温之际的线性关系，其回归方程某天气温为时，即则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是故选点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报的值，这是一些解答题10、C【解析】分析：直接利用向量的三角形法则求.详解：由题得，故答案为C.点睛：（1）本题主要考查向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和转化能力.(2)向量的加法法则：,向量的减法法则：.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】结合指数函数的单调性、绝对值不等式的解法求得不等式的解集.详解】，，，或，解得或，所以不等式不等式的解集是.故答案为：12、【解析】利用交集的运算解题即可.【详解】交集即为共同的部分，即.故答案为：13、【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案【详解】根据题意，，则，根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有，则，因为为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．14、①.0②.【解析】由，可得，设在的值域为，在上的值域为，根据题意转化为，根据函数的单调性求得函数和的值域，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数是定义在的奇函数，可得，即，经检验，b=0成立，设在值域为，在上的值域为，对于，，使得，等价于，又由为奇函数，可得，当时，，，所以在的值域为，因为在上单调递增，在上单调递减，可得的最小值为，最大值为，所以函数的值域为，则，解得，即实数的取值范围为.故答案为：；.15、##【解析】先根据面面垂直，取△的外接圆圆心G，梯形的外接圆圆心F，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，由是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，可得，，即梯形的外接圆圆心为F，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由题可得，，，则四棱锥外接球的半径，故四棱锥外接球的表面积为故答案为：.16、【解析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围【详解】由已知可得，所以当时，取得最小值，且令，则，要使函数的最小值与函数的最小值相等，只需满足，解得或.所以实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）y或x＝0【解析】（1）由题意设圆心为，且，再由已知求解三角形可得，于是可设圆的标准方程为，由点到直线的距离列式求得值，则圆的标准方程可求；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得，可得直线方程，验证当时满足题意，则答案可求【详解】解：（1）由题意设圆心为，且，由，可得中，，，则，于是可设圆的标准方程为，又点到直线的距离，解得或（舍去）故圆的标准方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即则由题意可知，圆心到直线的距离故，解得又当时满足题意，故直线的方程为或【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18、（1）；（2）.【解析】（1）利用余弦的降幂扩角公式化简为标准正弦型函数，进而求解对称轴即可；（2）求得函数在区间上的值域，以及绝对值不等式的解集，根据集合之间的包含关系，即可求得参数的取值范围.【详解】（1），解得：；（2），，，又解得而，得.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及三角函数对称轴和值域的求解，涉及根据集合之间的关系求参数的取值范围，属综合中档题.19、（1）；（2）【解析】（1）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（2）若不等式g（2x）-k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围【详解】(1）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（2）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==若不等式g（2x）-k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题20、（1）；（2）【解析】（1）根据周期计算，，时满足条件，即，过原点得到，得到答案.（2）设，，根据函数最值得到，计算得到答案.【详解】（1），，故.向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=.即，故，即，时满足条件，即，，故.故（2），故，故，.设，即恒成立.即的最大值小于等于零即可.故满足：，即，解得【