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文档简介
教科版必修二第三章万有引力定律同步测试题2025届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为A. B.C. D.2.已知双曲线的一条渐近线方程为,它的焦距为2,则双曲线的方程为()A B.C. D.3.“1<x<2”是“x<2”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线,过其右焦点作渐近线的垂线,垂足为,延长交另一条渐近线于点A.已知为原点,且,则()A. B.C. D.5.《九章算术》是我国古代的数学巨著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百銭.欲令高爵出少,以次渐多,問各幾何?”意思是:“有大夫、不更、簪褭、上造、公士(大夫爵位最高,爵位依次从高变低)5个人共出100钱,按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列,问这5个人各出多少钱?”在这个问题中,若公士出28钱,则不更出的钱数为()A.14 B.20C.18 D.166.过点且垂直于的直线方程为()A. B.C. D.7.直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切8.直线与椭圆交于两点,以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点,则此椭圆的离心率为()A B.C. D.9.函数,若实数是函数的零点,且,则()A. B.C. D.无法确定10.三个实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为()A. B.C.或 D.或11.如图,在长方体中,若,,则异面直线和所成角的余弦值为()A. B.C. D.12.在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A. B.2C.1 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正三角形边长为a,则该三角形内任一点到三边的距离之和为定值.类比上述结论,在棱长为a的正四面体内,任一点到其四个面的距离之和为定值_____.14.已知数列中,,且数列为等差数列,则_____________.15.函数在处切线的斜率为_____16.与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在数列中,,是与的等差中项,(1)求证:数列是等差数列(2)令,求数列的前项的和18.(12分)已知函数(a是常数).(1)当时,求的单调区间与极值;(2)若,求a的取值范围.19.(12分)已知,,且,求实数的取值范围.20.(12分)正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为4.E为棱上的动点,F为棱的中点.(1)证明:;(2)若E为棱上的中点,求直线BE到平面的距离.21.(12分)已知函数.(I)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.22.(10分)已知圆:,定点,A是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于P点(1)求P点的轨迹C的方程;(2)设直线过点且与曲线C相交于M,N两点,不经过点.证明:直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设,解集为所以二次函数图像开口向下,且与交点为,由韦达定理得所以的解集为,故选B.2、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为,可得,再结合焦距为2和,求得,即可得解.【详解】解:因为双曲线的一条渐近线方程为,所以,即,又因焦距为2,即,即,因为,所以,所以,所以双曲线的方程为.故选:B.3、A【解析】因为“若,则”是真命题,“若,则”是假命题,所以“”是“”成立的充分不必要条件.选A考点:充分必要条件的判断【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题.对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件,是的必要条件,命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件,必要条件的定义,可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件.掌握充分条件,必要条件的定义是解题关键4、C【解析】画出图象,结合渐近线方程得到,,进而得到,结合渐近线的斜率及角度关系,列出方程,求出,从而求出.【详解】渐近线为,如图,过点F作FB垂直于点B,交于点A,则到渐近线距离为,则,又,由勾股定理得:,则,又,,所以,解得:,所以.故选:C5、D【解析】根据题意,建立等差数列模型,结合等差数列公式求解即可.【详解】解:根据题意,设每人所出钱数成等差数列,公差为,前项和为,则由题可得,解得,所以不更出的钱数为.故选:D.6、B【解析】求出直线l的斜率,再借助垂直关系的条件即可求解作答.【详解】直线的斜率为,而所求直线垂直于直线l,则所求直线斜率为,于是有:,即,所以所求直线方程为.故选:B7、A【解析】由直线恒过定点,且定点圆内,从而即可判断直线与圆相交.【详解】解:因为直线恒过定点,而,所以定点在圆内,所以直线与圆相交,故选:A.8、D【解析】根据题意作出示意图,根据圆的性质以及直线的倾斜角求解出的长度,再根据椭圆的定义求解出的关系,则椭圆离心率可求.【详解】设椭圆的左右焦点分别为,如下图:因为以线段为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点,所以且,所以,又因为的倾斜角为,所以,所以为等边三角形,所以,所以,因为,所以,所以,所以,所以,故选:D.9、A【解析】利用函数在递减求解.【详解】因为函数在递减,又实数是函数的零点,即,又因为,所以,故选:A10、D【解析】根据三个实数构成一个等比数列,解得,然后分,讨论求解.【详解】因为三个实数构成一个等比数列,所以,解得,当时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,所以,所以,当时,方程表示焦点在y轴上的双曲线,所以,所以,故选:D11、D【解析】根据长方体中,异面直线和所成角即为直线和所成角,再结合余弦定理即可求解.【详解】解:连接、,如下图所示由图可知,在长方体中,且,所以,所以异面直线和所成角即为,又,,由余弦定理可得∶故选:D.12、B【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线,进而由抛物线的定义可得,解之可得值【详解】解:由题意可得抛物线开口向右,焦点坐标,,准线方程,由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5,即,解之可得.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用正四面体内任一点可将正四面体分成四个小四面体,令它们的高分别为,由体积相等即可求得;【详解】正三角形边长为a,则该三角形内任一点到三边的距离分别为,即有:,解得同理,棱长为a的正四面体内,任一点到其四个面的距离分别为,即有:,解得故答案为:【点睛】本题考查了利用空间几何体的等体积法求高的和为定值,属于简单题;14、【解析】由题意得:考点:等差数列通项15、1【解析】求得函数的导数,计算得,即可得到切线的斜率【详解】由题意,函数,则,所以,即切线的斜率为1,故答案为:116、平行,相交或者异面【解析】由空间中两直线的位置关系求解即可【详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是:平行,相交或者异面,故答案为:平行,相交或者异面,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)求得,利用等差数列的定义可证得结论成立;(2)求出,可计算得出,利用并项求和法可求得数列的前项的和.小问1详解】解:由题意知是与的等差中项,可得,可得,则,可得,所以,,又由,可得,所以数列是首项和公差均为的等差数列.【小问2详解】解:由(1)可得:,,对任意的,,因此,.18、(1)函数在上单调递增,在上单调递减,极小值是,无极大值.(2)【解析】(1)由当,得到,求导,再由,求解;(2)将,转化为成立,令,求其最大值即可.【小问1详解】解:当时,,定义域为,所以,当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以时,取得极小值是,无极大值.【小问2详解】因为,即成立.设,则,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,即.19、.【解析】求得集合,根据,分和,两种情况讨论,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】由题意,集合当时,即,解得,此时满足,当时,要使得,则或,当时,可得,即,此时,满足;当时,可得,即,此时,不满足,综上可知,实数的取值范围为.20、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系,证明平面,再求点B到平面的距离即可作答.【小问1详解】在正四棱柱中,以点D为原点,射线分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,因E为棱上的动点,则设,,而,,即,所以.【小问2详解】由(1)知,点,,,,设平面的一个法向量,则,令,得,显然有,则,而平面,因此,平面,于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离,所以直线BE到平面的距离是.21、(1)(2)【解析】(Ⅰ)先求的定义域,再求,,,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.试题解析:(I)定义域为.当时,,曲线在处的切线方程为(II)当时,等价于设,则,(i)当,时,,故在上单调递增,因此;(ii)当时,令得.由和得,故当时,,在单调递减,因此.综上,的取值范围是【考点】导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法:(1)确定函数y=f(x)定义域;(2)求导数y′=f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间22、(1);(2)证明见解析,定值为-1.【解析】(1)根据给定条件探求出,再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0,写出直线的方程,再联立轨迹C的方程,借助韦达定理计算作答.【小
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