郴州市2025届高三第一次教学质量检测（一模） 数学试卷（含答案）

科目：数学(试题卷)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。4.考试时间为120分钟,满分为150分。5.本试题卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。姓名准考证号郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=x|x-1x-6<0,B=x|x²<9,则AA.(6,+∞)B.(-3,1)C.(-3,6)D.(1,3)2.设复数z=1-ii2024+i,A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)3.设x∈R,向量a=x-1,b=x4,A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知sinα+cosβ=32,cosA.12B.14C.18D5.函数fx6.已知函数fx=x2-2ax+a,x<0A.(-∞,0]B.[-l,0]C.[-1,1]D.[l,+∞)7.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点E、F满足BE=2EB1C1A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形高三数学试题第1页(共5页)8.已知fx=meᵐˣ-lnxm≥0若f(xA.01eC.1e+∞二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题中正确的是A.已知随机变量X∼B312,则E(2XB.已知随机变量X∼NC.数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8D.样本甲中有m件样品，其方差为s²，样本乙中有n件样品，其方差为：s22,10.已知曲线C:x²cosθ+y²sinθ=1,θ∈0A.若cosθ=0,则曲线C表示两条直线B.若cosθ>0,则曲线C是椭圆C.若cosθ<0,则曲线C是双曲线D.若cosθ=-sinθ,则曲线C的离心率为.211.在正三棱台ABC-DEF中,AB=6,DE=2,且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有A.正三棱台ABC-DEF的高为4B.正三棱台ABC-DEF的体积为52C.AD与平面ABC所成角的正切值为lD.正三棱台ABC-DEF外接球的表面积为160π高三数学试题第2页(共5页)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知Sn为等差数列{an的前n项和，若S₃+S₇=24,则13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为ii=1234,,再从数字1,…,i14.已知抛物线y²=4x,从抛物线内一点A22发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则△ABC的面积为四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)若锐角△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,且△ABC的面积为3(1)求B;(2)求ca16.(本小题满分15分)如图,在四面体A-BCD中,AD=BD=3,AC=BC=2,AD⟂DB,∠CAD=30∘,M是AD的中点，P是BM的中点，点(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)求二面角A-PC-M的余弦值.17.(本小题满分15分)已知椭圆E的离心率为22,椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为(1)求椭圆E的方程；(2)已知直线l与椭圆E交于M、N两点，且(OM⊥ON,求△OMN面积的取值范围.18.(本小题满分17分)已知函数fx=2aln(1)当a>0时,试讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个不相等的零点.x₁,x₂,(i)求a的取值范围；(ii)证明:x₁+x₂>4.19.(本小题满分17分)已知数列An:a1,a2,⋯,ann≥2n∈N*是正整数1，2，3，…，(1)列出所有H数列.A₅的情形；(2)写出一个满足a5k=5kk=12⋯405(3)在H数列A₂₀₂₅中，记bk=a5k=k=12⋯405,若数列高三数学试题第5页(共5页)原卷扫描版原卷扫描版郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5DABCC6-8DBA二、选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9-11ABC、ACD、BCD6.【解】因为f(x)在R上单调递减,且x≥0时,fx=1ex-lnx+1单调递减，有最大值1;当x<0时,函数.y=x²-2ax+a的对称轴a≥0，单调递减有最小值a,则要满足a≥1,故a≥7【解】如图,设AB=6,分别延长AE、A₁B₁交于点G,此时B₁G=3,连接FG交B₁C₁于H,连接EH,设平面AEF与平面DCC₁D₁的交线为l,则F∈l,因为平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁,平面AEF∩平面,ABB₁A₁=AE,平面AEF∩平面DCC₁D₁=l,所以l∥AE,设l∩D₁D=I,则FI∥AE,此时△FD₁I∽△ABE,故ID1=43,故选:B.8.【解】由f(x)=0,得meᵐˣ=lnx,即mxeᵐˣ=∵m≥0,∴lnx≥0,mx≥0,∴x≥1设hh't=t+1∴mx=lnx,即m=设g令g'(x)>0,解得1<x<e;令g'(x)<0,解得x>e∴g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,g1=0,ge=1e∴0<m<1e时,f(x)有两个零点.故选:11.【答案】BCD【详解】解:取EF的中点G,BC的中点H,连接DG,GH,AH,过D点作垂线与AH相交于点X，过G点作垂线与AH相交于点Y，过F点作垂线与BC相交于点I由题可知：DG=3,AH=33,设正棱台的高为h，即||GY|=|DX|=h,设∵GH⊥BC,AH⊥BC∴∠GHY为等腰梯形EFBC与底面ABC所成角的平面有∴tan在直角三角形ADX中，AX=2h在直角三角形FIC中，FI²+IC²=x²+h²+又FC²=DA²∴解得：x=故A错；S=14.【解】∵A由抛物线的光学性质可知，BC过焦点F，又F(1，0)，直线BF的斜率为.-2∴直线BC的方程为y=-22x-1,联立y²=4x∴四、解答题(本题共5小题，共77分.)15.【解】1)∵SABC=∴a2+c2-∴tanB=sin又0<B<π2,∴B=2∵A+B+C=π:A+C=5π6则ca=sin∴ca=∵△ABC为锐角三角形∴0<A<π2∴tanA∈3∴ca=16.【解】(1)取BD中点E,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接EP,EF,FQ,∵AQ=3QC,∴QF∥AD,且QF=14AD又E,P分别为BD,BM的中点,∴PE∥DM,且PE=12DMn⋅MP=32x所以平面DEF的一个法向量为n=13所以cos<m,由图可知，二面角A-PC-M为锐角，故二面角A-PC-M的余弦值为13220.17.解:(1)椭圆E的离心率为22,椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为则ca=2∴a=2,c=1·……∵a²=b²+c²∴b=1…5分所以椭圆E的方程为x22+(2)当直线斜率不存在时，设直线l：x=m代入x22+y2=1由OM⊥ON得m=±63当斜率存在时,设直线l:y=kx+m,设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)由y=kx+mx22△=82k²-m²+1>0,解得x1+x因为OM⊥ON,所以x₁x₂+y₁y₂=010分即1+k²x₁x₂+kmx₁+x₂+m²-2=0化简得3m²=2k²+2MN|=1+k2SOMN=12|MN|⋅d=2m22k2+1-m则可化为SOMN=2当t=2时△OMN面积有最大值，最大为SOMN=22,当∵t>1,∴SOMN>23(请阅卷老师严格按照得分点给分到位)18.【解】(1)解:f'x=①当0<a<2时,当x∈(0,a)∪(2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(a,2)时,f'(x)<0;∴x∈(0,a)和x∈(2,+∞),函数f(x)单调递增;x∈(a,2),函数f(x)单调递减;…………………3分②当a=2时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;……4分③当a>2时,当x∈(0,2)∪(a,+∞),f'(x)>0;当x∈(2,a)时,f'x<0;∴x∈(0,2)和x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增;x∈(a,2),函数f(x(2)解:若函数有两个不同的零点x₁,x₂,由(1)知:当0<a<2时,fx棱锥侧=f当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意当a=2时,fx棱锥侧=f∴a<0,函数f(x)在x∈(0,2)时单调递减,在x∈(2,+∞)|时单调递增，在x=2处取得极小值，………………………8分当fx∴1ln2-1不妨令0<x₁<2<x₂;令：F=2a=2alnx-2aln(4-x)+4x+4a-2(a+2)x·10分F'x=2a∴函数F(x)在x∈(0,2)上单调递减;∴F(x)>F(2)=0,………………12分∴fx>f4-x∵fx₂=fx₁∵0<x₁<2;∴4-x₁>2,又因为函数f(x)在x∈(2,+∞)上单调递增;…16分∴x₂>4-x₁,即x₁+x₂>4………17分19.解:(1)4₅:3,1,4,2,5或A₅:5,2,4,1,3A₅:2,4,1,3,5或A₅:5,3,1,4,2A₅:1,3,5,2,4或A₅:4,2