（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第四讲 函数的概念

第四讲函数的概念

【基础知识】

1.函数的概念

设A,B是两个非空数集,如果按照确定的法则力对A中的任意数X,都有唯一确定的数y

与它对应，那么就称/•:Af3为从集合A到集合3的一个函数,记作y=«v),xGA.

2.函数的定义域、值域

⑴函数y=/U)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合｛y|y

=/U),叫做这个函数的值域.

⑵如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

⑴在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分

段函数.

⑵分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的兴集，值域是各段值域的并集.

【考点剖析】

考点一求函数的定义域

In(l-x)1

【典例1-1](2021.新沂市第一中学高三其他模拟)函数y=+一的定义域是()

A.[-1,0)U(0,1)B.[-1,0)U(0,1]

C.(-l,0)U(0,l)D.(-1,0)50,1]

【答案】C

【详解】

1-x>0,

由题意得<尤+1>0,解得一1VXV0或OvxvL

"0,

所以原函数的定义域为(一i,o)U(o,D.

故选：c.

【典例1-2】(2020•福建福州市•高三月考)函数〃*=岳工1+^的定义域为()

_g,0)U(0,+°0)

A.B.4'°

1、

C.-1,0jU(0,+a))D.——,4-00

27

【答案】c

【详解】

函数/(x)=以+1+J有意义2x+1>01

,则必有，，解得xN—旦xwO.

xwO2

函数/(x)=j2x+l+，1的定义域为一;,o]u(O,+8).

Xx乙)

故选：c

【跟踪训练1】(2021.广东高三其他模拟)设函数y=历1的定义域为A,函数y=ln(l-x)的定义域

为B,贝IJAC8等于()

A.(1,4)B.(1,4]C.[-4,1)D.(-4,1)

【答案】C

【详解】

函数y=J16—1的定义域为k|16一炉NO},即A={x|-4<%<4},

函数y=ln(l-x)的定义域为{x|l-x>0},则B={x|x<l},

所以ACjB={%|-4〈xv1},

故选：C.

【跟踪训练2】(2021.全国高三其他模拟)已知函数/(x)的定义域为[—1,0],若

g(x)=/(x+a)—/(x-a)有定义，则实数。的取值范围是()

A.B.C.D.

4'°*252

【答案】D

【详解】

因为g(x)有定义，所以当”<。时，由一1—aWa，f-f——<<2<0；

当a>()时,，由a-1«—。，得0<a41；

2

当a=0时，一IWXWO,恒成立.

综上，实数。的取值范围是.

122」

故选：D.

1n

【跟踪训练3](2021•浙江宁波市•镇海中学高三其他模拟)函数/(x)==。+&上1)的图象大致为()

X-COSX

ArB.JL

ITr

c.，D.

【答案】A

【详解】

•••令g(x)=x2-cosx,x>0时，，/是递增的，cosx在(0,%)上递减,

则有g(x)在(0,n)上单调递增,而g(0)=-1,g⑴=1—cos1>0,

所以存在汇e(0,1)使得g(%)=0,

二/(x)中排除C、D,

•.•、=1时/(为>0,排除B,所以选A.

考点二求函数的解析式

【典例2-1】(2021.贵州贵阳市•高三期末(文))函数/(x)=(无-1尸可以表示为奇函数Zz(x)与偶函数g(x)

的和，则g⑴等于（)

A.-2B.0C.ID.2

【答案】D

【详解】

•.,力(%)是奇函数，，〃(一%)=-〃(%),

•Jg(x)是偶函数，\g(-x)=g(x)，

由题可得〃(X)+g(x)=(x-1)2①,

则〃(-x)+g(-%)=(-X-1)2,即-〃(x)+g(x)=(-X-1)2②，

由①+②可得2g(x)=(x-1)'+(-x-I)2=2x2+2,

\g(x)=f+l,\<?0)=1+1=2.

故选：D.

【典例2-2】(2020•河南高三月考(理))已知函数/(x)的定义域为R,且〃x)+/(-x)=6,当x>0

时，/(力=一工2-2x+3,若/(3m—5)W0,则实数用的取值范围为()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.(-oo,3]D.[3,+oo)

【答案】B

【详解】

令x<0,则一x>0，/(—兀)=一/+2工+3,

因为/(%)+/(_%)=6,

所以/(X)-X2+2X+3=6,=-2X+3,

即当x<0时，=f-2x+3,

取x=0,则/(0)+〃0)=6,/(0)=3,

当x<0时，/(X)=%2-2X+3=(X-1)2+2,此时/(x)W0无解；

当x=0时，*0)=3,此时无解；

当x>0时，/(x)=—Y—2x+3=—(x+iy+4,

若/（x）WO,则—（x+iy+4W0,解得xNl,

故/（3加一5）«0即3他-5?1,解得加22,实数加的取值范围为［2,+8）,

故选：B.

【跟踪训练1】（2020.安徽马鞍山市.马鞍山二中高三期中（理））已知/（5一1）=2%+3,则/（6）的值

为（）

A.15B.7C.31D.17

【答案】C

【详解】

令t=—1,则x=2f+2,所以/（。=2⑵+2）+3=4，+7即〃x）=4x+7,

所以/（6）=4X6+7=31.

故选：C.

【跟踪训练2】（2020.重庆巴蜀中学高三其他模拟）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸

边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y=-2x,

%=3%-9分别与该曲线相切于（0,0）,（3,0）,已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为

（）.

y=flx)

A./(x)=--^x3+^x2-2xB./(x)=^x3--^x2-2x

C./(x)=—X3+^X2-2XD./(X)=--^X3-X2+2X

【答案】C

【详解】

由题意得三次函数过两点(0,0),(3,0),所以可设/(%)=办(%-3)(%-。)

Q/"(x)=a(x-3)(x-b)+ax(x-b~)+ax(x-3)

又/'(0)=-2,/'(3)=3,所以a(—3)(—b)=—2,3a(3—Z?)=3,=—6,a=!

9

=4>lx2-2x

/l_x\1_x2

【跟踪训练3】(2020•全国高三专题练习)已知/二心二工尸(尢。-1),则/(x)的解析式为()

/(x)=W7(x~l)B./(力=一鼻7a~1)

c/(X)=T!^("T)d-&)=-*7(2-1)

11人1I人

【答案】c

【详解】

、nX21—/

设，=----=~1H------,则t*—1,X=----，

1+X1+X1+，

2

1-

2tz-

所以/(。=_

了=，

1+

2X

即〃X)=]77("T).

考点三分段函数

ax-2,x<2

【典例3-1】(2021•济南市•山东师范大学附中高三其他模拟)若函数/("=<在

(3-2a)ln(x-l),x>2

R匕单调递增，则实数〃的取值范围是()

「3、

A.(0,1]B.(0,2]C.0,-D.1,-

\)L/

【答案】A

【详解】

因函数小/)、=［(3-a2x9-2(,1)，x］<〉22在"单调递增'

则有丁=利-2在(一8,2］上递增，y=(3-2a)ln(x-l)在(2,+oo)上也递增,

根据增函数图象特征知，点(2,2。-2)不能在点(2,0)上方,

a>0

于是得《3-2。〉0,解得

2a-2<0

所以实数。的取值范围是(0』.

故选：A

/(x-4),x>0

【典例3-2】(2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考(文))已知函数/(x)=<

，

log3(-x)+2,x<0

贝4(2021)=()

A.1B.2C.Iog36D.3

【答案】D

【详解】

山题意7(2021)=/(2017)=…=/⑴=/(-3)=log33+2=3.

故选：D.

［1+logIx|,x<-1

【跟踪训练1】(2021•安徽高三其他模拟(文))已知函数/(")=j(x+i『+2a%>J方程/(x)—1=0

有两解，则。的取值范围是()

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.(l,+oo)

【答案】B

【详解】

\l+log(/|x|,x<-l

因为、2，所以a>0且a"，

(x+iy+2a,x>-l

当0<a<l时，在xe(HO,—1］时单调递增，所以“X)1rax=/(-1)=1；

又〃x)在X«-l,+oo)时单调递增，且>/(-1)=2a,

因为方程.f(x)—1=0有两解，所以2a<1,所以0<a<g；

当口>1时，/(%)在-1]时单调递减，/(x)n,n=/(-l)=l：

又/(x)在xw(T,+«>)时单调递增，/(x)>/(-1)=2a,

因为方程.f(x)—1=0要有两解，所以2a<1,此时不成立.

综上可得ae(0,g),

故选：B.

3t-1-1x1

【跟踪训练2】(2021•河南高三其他模拟(文))已知函数/(x)=〈'"，且/(根)=-2,

-l-log3(x+5),x<1

贝iJ/(6+机)=()

A.-16B.16C.26D.27

【答案】C

【详解】

解：若加1)=3，"7-1=-2,

则3皿r=_],方程无解，

故式m)=-1-log3(m+5)=-2,

可得log3(m+5)=l,

解得m=-2,

所以贡6+，”)寸(4)=34।-1=26.

故选：C.

(2x2x<0

【跟踪训练3】(2021•北京市十一学校高三其他模拟)已知函数/“)=〈,,；..八，若存在唯一

[-3|x-l|+3,x>0

的整数x,使得,")一1〉0成立,则满足条件的整数。的个数为()

x-a

A.2B.3C.4D.无数

【答案】C

【详解】

作出/(X)的函数图象如图所示:

,(1)T表示点(x,/(x))和点(。,1)所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(%,/(%))且%是整数和点(。,1)

x-a

所在直线的斜率大于零.

如图所示，动点(。,1)在直线y=l上运动.

因为/(0)=0,/⑴=3,/(2)=0,

当ae[—1,0]时，只有点(1,3)这个点满足小)二1>0,

x-a

当ae[1,2]时，只有点(0,0)这个点满足以止1>0.

x-a

所以ae[T0]u[l,2].

所以满足条件的整数。有4个.

【真题演练】

1—x

1.(2021•全国高考真题(理))设函数/(x)=——，则下列函数中为奇函数的是()

1+X

A.于(X—1)-1B.f(X—1)+1C.f(x+l)—1D.J(X+1)+1

【答案】B

【详解】

1-r?

由题意可得/(%)=——=-1+——，

1+X1+X

2

对于A,=一一2不是奇函数；

X

/、2

对于B,7(尤—1)+1=捻是奇函数；

2

对于C,/(x+l)-l=--2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D,y(x+i)+i=-1^,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

2.(2021.全国高考真题)已知函数/(%)的定义域为R,“X+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A.=0B.止1)=0C.“2)=0D."4)=0

【答案】B

【详解】

因为函数/(X+2)为偶函数，则〃2+X)=/(27),可得〃x+3)=〃lr),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则/(l_2x)=_〃2x+l),所以,=

所以,/(x+3)=-/(x+l)=/(xT)，即/(x)=/(x+4),

故函数是以4为周期的周期函数，

因为函数F(x)=/(2x+l)为奇函数，则F(0)=/(l)=0,

故/(-1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

,1

3.(2021.浙江高考真题)已知函数/(x)=d+—,g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

4

B”口(叫

g(x)

c.y=/(x)g(x)D.y7u)

【答案】D

【详解】

对于A,y=/(x)+g(x)—；=Y+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=/(x)—g(x)-；=x2-sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=(x?+；)sinx,则y'=2xsinx+(%2+；］cosx,

5(2万

当尤=一时'y'=~x~r~+—x-->o,与图象不符，排除c.

422(164)2

故选：D.

4.(2021•全国高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(X)：

①/(%々)=/(3)/(%2)；②当xe(0,+oo)时，f\x)>0:③/'(X)是奇函数.

【答案】/(力=》4(答案不唯一，〃x)=x2"("eN*)均满足)

【详解】

取/(x)=X4,则/(中2)=(中2)4=M考=/(%)/(尤2)，满足①，

/'(》)=4/，兀>0时有./(刀)>0,满足②，

/'(》)=4/的定义域为尺，

又/'(—x)=Tx3=—/'(x)，故/'(X)是奇函数，满足③.

故答案为：/(x)=x4(答案不唯一，/(x)=x2"(〃eN*)均满足)

5.(2021浙江高考真题)已知。€1^,函数/(乃=(t°若f./V6=3,则。=

\x-3\+a,x<2,L\/J

【答案】2

【详解】

/『(#)]=46—4)=〃2)=|2—3|+a=3,故。=2,

故答案为：2.

【过关检测】

.、log,(x2+l),x<2,、、

I.已知函数/(力=2\),则/(/(4))=()

f{x-3),x>2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】

由题意，/(4)=/(l)=log2(r+l)=l,所以/(/(4))=/(l)=log2(12+l)=l.

故选：A.

2.已知ak1.41421，如果对应关系外乳对应到血的小数点后第"位上的数字，则〃2)+/(4)=(

A.5B.6C.3D.2

【答案】C

【详解】

由题意/(2)=1,/(4)=2,所以/•⑵+/(4)=3.

故选：C.

3.函数f(x)=+—的定义域是()

x+2

A.f-3,4-oo)B.(—3,-t-oo)

C.[—3,—2)U(-2,+oo)D.[—3,2)(2,4-oo)

【答案】C

【详解】

根据题意可得JX+2H0，所以XW[-3,—2)U(—2,”).

故选：C.

4.下列各组函数是同一函数的是()

A.)=国与y=lB.>='与y=x

XX

C.y=:+；与y=xD.y=与y=x-l

【答案】C

【详解】

对于A中，函数y='的定义域为(-8,0)11(0,+8)，函数y=l的定义域为R,两函数的定义域不同，

X

所以两函数不是同一函数；

丫2

对于B中，函数y=t-的定义域为(-8,0)U(0,+8),函数V=x的定义域为R,两函数的定义域不同，

x

所以两函数不是同一函数；

对于C中，函数y=2二与。=%的定义域都是R,且对应法则相同，所以两函数是同

x+\r+1

一函数；

对于D中，函数y=J(x—l)2与y=x—l,两函数的对•应法则不同，所以两函数不是同一函数.

故选：C.

5.已知/(2%-1)=4/,则/(-3)=()

A.36B.16C.4D.-16

【答案】C

【详解】

/(2JC-1)=4x2,

令2%-1=-3,

x-—11

则/(-3)=4X(-1)2=4.

故选：C.

//.\\

,x<0

6.己知/(%)="贝廿'f-=()

10g3X,x>0

A.-2B.-3C.9D.-9

【答案】C

【详解】

✓x|一|，1<011

由题意，函数/(x)='3),可得/(§)=log35=-2，

log3x,x>0

所以//d=/(-2)=(-r2=9.

故选：C.

【答案】B

【详解】

依题意y=1———的定义域为{xIx。1},由此排除CD选项.

%—1

当X=0时，y=l---------=2,由此排除A选项.

0-1

故选：B

COS7TXX<\⑷(4、

8.已知/(x)=<则J|可+f一可|的值为()

J(x-1)+1X>1\3y\JJ

1

AB.——C.-1D.1

-I2

【答案】D

【详解】

9.若/(x)=]-2x,g[f(x)]^2x+x,则g(T)的值为()

-1

A.1B.3C.----D.6

2

【答案】B

【详解】

由题设，令，=/(x)=l-2x,解得：x,

2

?i-t

「•g⑺=221

・•・g(-l)=2+l=3,

故选：B.

0

10.已知函数/(x)=h,若f(m)=f(n),则〃一机的取值范围是()

—x+1,x40

12

33

A.(1,2]B.[1,2)C.(-,2]D.[-,2)

44

【答案】B

【详解】

根据图象/(x)=0有两个交点，/U)e(0,1],

/(无)=1时，/n=0,令&=1，1=1,故〃=1,所以〃一〃2=1；

/(x)=0时，〃z=—2,令J^=0，x=l,故力=0，根据题意〃。0,所以〃—MV2

所以〃一加£口，2).

11.设函数/(x)为偶函数，且当x«0,2)时〃x)=2sinx,当x«2,+oo)时/⑴=咋21,则

U〃4)=()

A.—G+2B.6+2C.3D.2

【答案】B

【详解】

/(x)为偶函数，知：/(—$=/q)=2sinq=Ji,而J.(4)=k)g24=2

(-g)+/(4)=G+2

12.已知函数/(x)=ln(lnx+(e—l)x-m),若曲线y■上存在点(%,yj,使得“=/(/(,)),

则实数〃?的最大值是()

A.0B.3C.-2D.-1

【答案】D

【详解】

由题意，曲线y=3：：；上存在点(x，y),使得y=/(/(%)),所以％w［l,3).记/(*)=c,若c>y,

则/(c)>/(x)，所以/(/(x))=/(c)>/(x)=c>x，不满足y=/(/(x))，同理c<x也不满

足，所以/(y)=y，所以ln(lny+(e-l)y-根)=%，所以Iny+(e-l)y—7〃=e'',所以

m=ln>'］-ey'+(e—l)y,ye［l,3).iclg(x)=lnx-e'c+(e-l)x,则g'(x)=，_e*+e_］,记

x

h(x)=--e+e-l，因为"(x)=—J—炉<0,所以妆x)在［1,3)上单调递减,因为g'(l)=O,所以

XX

xe(l,3)时，g'(x)<o,因为g(l)=-l,g(3)=-e3+3e-3+ln3,所以一e3+3e-3+ln3</%,-1,所

以"？的最大值为-1.

13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设xeR,用［可