初三数学上学期全套教案

目录

第1讲：一元二次方程定义.................................................6

第2讲:一元二次方程解法1...................................................................................................................11

第3讲:一元二次方程解法2...................................................................................................................18

第4讲:一元二次方程解法3...................................................................................................................23

第5讲：一元二次方程的应用1............................................................................................................29

第6讲：一元二次方程的应用2............................................................................................................33

第7讲：二次函数图像与性质..............................................54

第8讲：二次函数与一元二次方程..........................................59

第9讲：实际问题与二次函数...............................................67

第10讲：旋转..........................................................71

第11讲：圆的有关龈1...........................................................................................................................81

第12讲：圆的有关版2...........................................................................................................................90

第13讲：点和圆、直线和圆的位置关系.....................................94

第14讲：正多边形和圆....................................................97

第15讲：概率初步......................................................104

第16讲：期末检测......................................................105

第1讲一元二次方程的定义

一、【教学要求、目标】

1,知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式a—+^x+c=°

（"0）

2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中

使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3.会用试验的方法估计一元二次方程的解。

二、【教学重点、难点】

1.一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的"项"及"系数"。

2.理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

三、【课堂精讲】

1、一元二次方程的引入建立模型（为什么学？学了有什么用？用到哪些地方？）

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元

二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例如图（1）,有一个面积为150nf的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m）,另三边用竹篱笆围成,

若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场

(只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式)

2、一元二次方程的定义：

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程称为一元二次方程。

识别一元二次方程必须抓住三个方面：

(1)整式方程(2)含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2O注意：要化成一般式

【例一】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由.

(1)X2=16(2)x2-5x-12=0(3)x?+2y-3=0

⑷3+x-3=0(5)x2=0(6)x4-2x2-5=0

【例二】若方程®—2甘卜=0是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

课堂练习：

1、若(Z+4)京-3*-2=0是关于x的一元二次方程，则Z的取值范围是_______.

2、若(6-2)x网+x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_______.

3、若(m-1)必+〃《=4是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是().

(A)/77W1(B)/77>1(Q/7720且Z77H1(D)任何实数

3、一元二次方程的一般形式+bx+c=°(aH0)

一般地，任何一个关于X的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：af+3X+C=0

(aw0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中♦是二次项，a是二次项系数，bx是

一次项，。是一次项系数，C是常数项.

【整理后】是二次项，a是二次项系数,

bx是一次项，6是一次项系数，

c是常数项.

例1把(x+3)(x-4)=-6化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和

常数项。

解：移项，整理，得X2-X-6=0

二次项系数为1,一次项系数为-1,常数项为-6。

例2已知关于x的方程(加一I*"小一(加+1卜一2=0是一元二次方程时，则机=

例3指出mx2-nx-mx+nx2=p二次项，一次项，二次项系数，一次项系数，

解：变形为一般形式为：(m+n)x2+(-n-m)x-p=0

二次项是(m+n)x2,二次项系数是m+n;

一次项是(-n-m)x,一次项系数是-n-m;常数项是-p

课堂练习：

1、把下列方程化成一元二次方程的T殳形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。

①%(%-2)=4%2-3九②(X+8)2=4%+(2x-11

x2x+1_]

2

③32-④HU—〃1+小%+〃％2=g-p(加+〃wO)

4、方程的解的定义：

使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例如：x=2,x=3都是一元二次方程x2-5x+6=0的根。

例1：已知方程一+丘一10=0的一根是2,贝!Jk为

例2:若x=l是方程/+ax+6=0的一个根，6^0,则a+6的值是().

(A)-1(B)l(C)-3(D)3

例3:如果一元二次方程a足+bx+c-O(awO)有两根1和-1,那么a+b+c=,a-b+c

例4:已知m是方程--x-1=0的一个根，求代数式5m2-5m+2004的值.

例5.求证：关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次

方程.

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17*0即可.

证明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

二不论m取何值，该方程都是一元二次方程.

课堂练习：

1.方程(2a—)x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元

一次方程？

2.当m为何值时，方程(m+l)x/4m/-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

四、【课后作业】

1.下列方程是一元二次方程的是_______________________.(只填序号).

(1)x2=5;(2)x2+xy+3=0;(3)x+—=2;(4)mx2+x+l=0(mwO);(5)ax2+bx+c=0;

x

(6)-x2+3x+l=0;(7)x2+l=0;(8)2^+x=0.

3

2.试写出一个含有未知数x的一元二次方程______.

3.若关于x的方程mx2+nx+p=O是一元二次方程，则m,n,p.

4.若关于x的方程x"=+3x+5=0是一元二次方程，则a应满足______.

5.若(k+1)x2+(k-1)x+2=0是关于x的一元二次方程,则k.

6.若关于x的方程(m2-l)x2+(m+l)x+3=0是一元二次方程，则m;皆是一元二次

方程，则m.

7.一元二次方程(2x+l)(x-1)=3x+l化为一般形式是_______二次项是_______一次项是

常数项是

8.一元二次方程gx2=7的二次项系数是____一次项系数是_______•常数项是_______.

9.方程x+l=0的根是_________.

10.若X=1是方程ax2+bx+c=0的解,贝！J有______成立.

11.若x=-1是方程(a2-1)x2+x+l=0的解，则a=.

12.m满足什么条件时,方程mx2+4x+3=0的根是1?

13、若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则().

A.p=lB.p>0C.p^OD.P为任意实数

14、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别是1和2,贝Ub=c=

15、方程2(x+2)+8=3x(x-l)的一般形式是二次项系数是一次项

系数是常数项是________.

16、已知一元二次方程的两根分别为xi=3,x2=-4,则这个方程为()

A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0

17、已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是________(只需写出一个过程)

18.关于x的方程(k-2)xP+8kx+l=0,当k满足什么条件时：

(1)它是一元二次方程？(2)它是一元一次方程？

19.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)-c=0化成一般形式为4x2+3x+l=0,试求(2a+b)-3c

的值.

20.已知关于x的方程（m-6）x2+4x+m2-9=0的一个根是零，求m的值.

家长建议及评价:

家长签名：

第2讲一元二次方程的解法1

一、【教学要求、目标】

1、了解形如（x+加了=n（n>0）的一元二次方程的解法直接开平方法

2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法

3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想

二、【教学重点、难点】

学习重点：

会用直接开平方法解一元二次方程

使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

学习难点：

理解直接开平方法与平方根的定义的关系

把一元二次方程转化为的(x+/z)2=k(k>0)形式

三、【课堂精讲】

1、直接开平方法

什么叫直接开平方法？

像解x2=4,x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

说明：运用"直接开平方法"解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a(a20)

或(x+h)2=k(k20)的形式，然后再根据平方根的意义求解

例1已知一元二次方程mx2+n=0(mw0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，

则m、n必须满足的条件是()

A.n=OB.m、n异号C.n是m的整数倍D.m、n同号

典型例题：

例2解下列方程

(1)x2-1.21=0(2)4x2-l=0

解：(1)移向，得x2=1.21(2)移向，得4x2=1

两边都除以4,得x2=g

・••X是1.21的平方根

4

・・是:的平方根

.,.X=±l.l•x

4

即X1=1.1,X2=-l.l.•.X=±-BPX1=—,X2=--

222

例3解下列方程：

⑴(x+l)2=2⑵(x-1产-4=0

(3)12(3-2x)2-3=0

解：(1)：X+1是2的平方根(2)移项，得(x-1产=4

.,.x+l=±V2•••x-1是4的平方根

gpXl=-1+V2,X2=-l-V2.,.x-l=±2即XI=3,X2=-1

⑶移项，得12(3-2X)2=3

两边都除以12,得(3-2x)2=0.25

•••3-2x是。25的平方根

7

.-3-2x=±0.5即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.'-Xi=-5,X2=I4

4

课堂练习：

(1)%2=225;(2)9_]44=o(3)解方程(2x-l)2=(x-2)2

(4)(x—1)2=9;(5)(2x+l)2=3；(6)(6x-l)2-25=0.

2、配方法解方程

(1).什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？

我们通过配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配

方法(solvingbycompletingthesquare)用配方法解一元二次方程的方法的助手：

如果x2=a，那么x=±&.x就是a的平方根

式子a2±2ab+b2叫完全平方式，且a2±2ab+b2=(a±b)2

(2)用配方法解下列方程：

(l)x2-6x-16=0;(2)x2+3x-2=0;

(3)请你思考方程x2-1x+l=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？

后一个方程中的二次项系数变为1,即方程两边都除以2就得到前一个方程，这样就转化为学过的

方程的形式，用配方法即可求出方程的解

问题1:如何用配方法解方程2x2-5x+2=0呢?

解：两边都除以2，得x2-gx+l=0系数化为1

移项，得X2-1X=-1移项

2

配方,得x《x+C1=T+C［即bl1配方

53

开方，得x=±丁开方

44

"'.X1=!,X2=2定根

2

对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边都除以二次项系数，再利用配方法求解

配方法归纳

2

1一元二次方程x2+px+q=0用配方法求解时，转化为x+px+(/=(Z)2,q,然后用开平

方法求解。

2一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)用酉己方法求解时，首先将二次项系数化为1,即转化为

X2+2》+£=0,再配成/+?x+(,)2=(二)2一£,最后用开平方法求解。

aaa2a2aa

课堂练习：

(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-l=0

(3)x2-8x+7=0(4)(l+x)2+2(l+x)-4=0

(5)用配方法求2x2-7x+2的最小值?(6)用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0?

四、【课后作业】

1,解下列方程：

(­2=9；(2)(2x+l)2=3;(3)(61)2—25=0.

2、解方程81(x—2『=16.

3、用直接开平方法解下列方程：

(1)5(2'—1)2=180;(2)；(3x+l)2=64;

2

(1)X2+8X+()=(x+)

,r、22

(2)x--x+()=(x-)2

._.2b

(3)y~——y+()2

a)=(y-

5.用配方法解方程3X2-6X-1=0.2X2-3X-1=0.

6.解方程：2/一5%一4=0.

7.用配方法证明：

(1)"一"+1的值恒为正；(2)—9/+8为一2的值恒小于0.

家长建议及评价:

家长签名：

第3讲一元二次方程的解法2

一、【教学要求、目标】

1、会用公式法解一元二次方程

2、学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是g-4ac

>0

3、能用4=加-4ac的值判别一元二次方程根的情况

4、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式△=拄-4ac对根的情况的判断作用

二、【教学重点、难点】

学习重点：

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

一元二次方程的根的情况与系数的关系（韦达定理）

学习难点：

求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。

由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

三、【课堂精讲】

1、求根公式法解方程

如何用配方法解一般形式的一元二次方程a必+以+c=0（a*0）?

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

bc.

解：因为。¥0,所以方程两边都除以。，得x~2+—x+—=0

aa

,bc

移项，得x~+—x=——

aa

2cb,bc,b、2

配方，得厂+2・——・x+(—)-=一一+(——)-

2a2aa2a

h2-4ac

即

ACT

（这样原方程就化成了（x+h）2=k的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开

平方解了？

当心43。，且“。时，看大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：

因为"。，所以4片〉。，从而看2。

当。2-4aczo时，彳导x+2=±y/b2-4ac

2a

cr-r.b在'-4ac-b土\1护一4〃c

所以x=---±---------即x=------------------

2a2a2a

到此，你能得出什么结论？

一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+瓜+c=0(a。0),

当。2_4ac20时，它的根是x=二〃±二彳竺(/_4acZ0)

2a

这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫

做公式法。这个公式说明方程的根是由方程的系数a、。、c所确定的，利用这个公式,

我们可以由一元二次方程中系数a、6、c的值，直接求得方程的解。

(1)为什么在得出求根公式时有限制条件a-4ac>0?

(2)在一元二次方程62+法+c=0(a#0)中，如果b2-4ac<0,那么方程有实数根吗？

为什么？

在用配方法求依2+瓜+，=0(。。0)的根时，得(X+与)2=『竺,因为负数没有平方

2a4a~

根,所以〃一4acN0

在一元二次方程<£+辰+c=0(a/0)中，如果b2-4ac<0，那么方程无实数根，这是由

于y/b2-4ac无意义。

课堂练习:

用公式法解下列方程：

(1)g+3x+2=0(2)2A2-7x=4(3)x2+-x--=O

63

(4)x2-2V2x+l=0(5)0.4x2-0.8x=l(6)yy2+-y-2=0

2、根的判别式：△=b?-4ac

已知ax2+bx+c=0("。沮b-4ac,0，试推导它的两个根x尸.尸定上产

(1)当△=〃—4ac>0时，一元二次方程加+bx+c=O("O)有实数根

-b+\lh2-4ac—b—y]h2-4ac

(2)当△=/一4。。=0时，一元二次方程◎?+加+。=0(。工0)有实数根

b

玉=无2=一彳-；

2a

(3)当△=〃-4加＜0时，一元二次方程a?+笈+c=0(a*0)无实数根.

例1不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

(1)A2+2x-8=0⑵*=4x-4⑶/-3x=-3

判别式的应用(1)：根据一元二次方程根的情况，求字母系数的取值范围

例2:如果方程研+2x+1=0有实数根，求实数a的取值范围

判别式的应用(2):根据判别式的情况证明一元二次方程有无实根

例3:已知关于x的方程X2+(w+2)%+2m—1=0.

(1)求证方程有两个不相等的实数根.

(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解

课堂练习：

1.不解方程，判断方程根的情况：

（1）x2+3x-l=0;⑵x2-6x+9=0;⑶2y2-3y+4=0（4冈+5=2后x

2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。

3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程（a+b）x?+2cx+（a+b）=0

的根的情况是（）

A、没有实数根B、可能有且仅有一个实数根

C、有两个相等的实数根D、有两个不相等的实数根。

3、根与系数的关系（韦达定理）

一元二次方程的的根与系数关系：

★一元二次方程的尔+以+。=0（“。0）的两个根是》］、々，则%1+%2=-=，

2a

c

匹”=一—

a

2

★以花和々为根的一元二次方程：X+（玉+X2）X+X}X2=0O〃W+Z?x+c=（x—X1）（X—X2）

★相关公式

11X+x

%12+々2=（2+电）2—2X^2---1---=}2

七》2X|X2

22

IX]-x2IW（X]-X2）=J（X]+x2）-4X1X2

例1已知方程2^2_5x_3=o的两根为,x2,不解方程，求下列各式的值.

222

（1）X,+x2;（2）（X1-X2）«

课堂练习：

1.若修，X,是一元二次方程31+%_1=0的两个根，则J_+J_的值是（）

玉々

A.2B,1C.-1D.3

2若关于x的一元二次方程h+4公_3=0的两个实数根分别是%,%,且满足占+9=占W.则k

的值为（）

A.-lag-B.-1C.-D.不存在

44

3.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为（）

A.-18B.18C.-3D.3

4.若Xi,X2是一元二次方程2x2-3x+l=0的两个根，则X12+X22的值是()

“5c9rr

A.—B.—C.—D.7

444

5.若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根Xi,X2,且xrx2>Xi+X2-4,则

实数m的取值范围是

“5cl「5c51

A.m>——B.m<—C.m<——D.——<m<—

32332

5.已知》呈x2+(2k+l)x+k2-2=0的两实梯崩和^于11,k的取值是()

A.3B.-3C.1口.-3或1

6.如果x的方程x2+kx+l=0的两根的差为1,那么k的值为（）

A.±2B.±V3C.±V5D.±V6

7.已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根为2,设方程的另一个根为xi，则有（）

33_3_3

A.xi=—,k=-7B.Xi=-—,k=-7C.Xi=--,k=7D.xi=1,k=7

四、【课后作业】

1、下列关于x的一元二次方程中，有两个不等实数根的方程是（）

(A)x2+1=0(B)4%2-4x+l=0

(C)x2+x+3=0(D)—+2x—1=0

2、关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范是（）

A.k>-1B.k>lC.k/0D.k>-lfik/0

3、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程/-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）

A、11B、13C、11或13D、11和13

4、已知代数式/+，--9=0的值是7,贝！I代数式/+」_—9=0的值是

2x2x

5、已知关于x的方程a*+4x+1=0有实数根，求实数a的取值范围

6.已知斗，X,是方程Y+6x+3=0的两实数根,贝!］强+土的值为_____.

x}x2

7.已知X1、%是关于X的方程(aT)/+x+/-1=0的两个实数根，且X1+9=；，则的-2

8.设XI、X2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则(X1+1)(X2+1)=.

9.若方程2/一代一3=0的两根为a、B,则/一2邛+1=.

10.若方程2-一5%+女=0的两根之比是2:3,则k=.

11.已知关于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6,求k的值.

12.a,0是关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0的两个实数根目满足(a+l)(0+l)=m+1,

求实数m的值.

13.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+l)x+2m-l=O.

Q)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根;

111

⑵若方程两根为“、X2,且满足1石=一士求m的值.

家长建议及评价：

家长签名：

第4讲因式分解解一元二次方程

一、【教学要求、目标】

1、掌握用因式分解法解一元二次方程.

2、通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法一因式分解法解

一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.

二、【教学重点、难点】

1.重点：用因式分解法解一元二次方程.

2.•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.

三、【课堂精讲】

1.公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

2.小结：分解因式的一般步骤为：

(1)若多项式各项有公因式，则先提取公因式。

(2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。

(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止。

例1、用公式法解下列方程.

(1)(x+1)(x+3)=6x+4,(2)/+2(6+l)x+2月=°

(3)(2/77+1)x+m-0.

例2已知A2-7xy+12^=0(浮0)求x:y的值.

例3,三角形两边的长是3,8,第三边是方程庐一17X+66=0的根，求此三角形的周长.

例4、关于X的二次三项式：解+2/77X+4-序是一个完全平方式，求6的值.

例5、利用配方求2*-x+2的最小值.

例6.*+ax+6分解因式的结果是(x-1)(x+2),则方程炉+8牙+/?=0的二根分别是什么?

例7、a是方程/-3x+l=0的根，试求的值.

3、用“十字相乘法”解一元二次方程

我们知道(x+2)(x+3)=f+5x+6,反过来，就得到二次三项式V+5x+6的因式分解

形式f+5X+6=(X+2)(X+3),即，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两

个因数的和等于一次项的系数5,即6=2X3,且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，(x+tz)(x+Z?)=+^a+b^x+ah,反过来，就得到

x2+（〃+5）%+而=（%+。）（%+匕）

看一下这个简单的例子m2+4m-12

in-2

X

m6

把二次项拆成m与m的积（看左边,注意竖着写）

-12拆成-2与6的积（也是竖着写）

经过十字相乘（也就是6m与-2m的和正好是4m）

所以十字相乘成功了

m2+4m-12=（m-2）（m+6）

重点：只要把2次项和赏数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否

拆的对，只要相加等于1次项就成了，±=留乘法实际就是分解因式。

/注意：要先把一元二\

!次方程化为一般形式，且\

二次项系数要化为正数；।

用"十字相乘法"解某些特殊的一元二次方程

常数项太大时要进行因I

\数分解，以确定出应拆解/

例2解方程：4x2-31x-45=0/的那两个数是什么。/

L

解：（x-9）（4x+5）=o4/

x=9,x,

.'4

"lx5+4x（-9）=-31

课堂练习：

(1)X?+4x+3=0(2)p2-8p+7=0(3)m2+4m-12=0

(4)x2-7x-18=0(5)9/+6x+l=0(6)x(x+6)=7

(7)2x2-7x+6=0(8)-3x2-4x+4=0(9)16x2+8x=3

(10)x2—4x—96=0(11)x(x+16)=l161(12)x2-3x+l=0

四、【课后作业】

(1)2x2-7x+3=0(2)6工2-7%-5=0(3)2x2-5x-3=0

(4)2X2+15X+7=0(5)3a2-8。+4=0⑹5X2+7X-6=0

⑺6y之―liy-]0=0(8)x2-2V5x+5=0(9)2x2—5%+2=0

(10)%2—5兀-6=0(11)x2+8x+16=0(12)6x2+x—2=0

(13)X?+(1+y/3)x+y/3—0

(14)(14)x2-3ax+(2a+b)(a-b)=0

家长建议及评价:

家长签名：

第5讲一元二次方程的应用1

一、知识体系

1、基本关系量：

(1)和差倍分问题：较大量=较小量+多余量；总量=倍数X单量

(2)产品配套问题：加工总量成比例

(3)路程问题：速度x时间=路程

(4)航行问题：①顺流(风)：航速=静止速度+水(风)速

②逆流(风)：航速=静止速度-水(风)速

(5)工程问题：工作量=工作效率x工作时间

(6)增长率问题：增长后的量=原量x(1+增长率)

减少后的量=原量X（1-减少率）

（7）浓度问题：溶液X浓度;溶质

（8）银行利率问题：免税利息=本金X利率X时间

税后利息=本金X利率X时间-本金X利率X时间X税率

（9）利润问题:利润=售价-进价

利润率=（售价-进价）+进价X100%

2、重难点及易考点

（-）销售问题:

•基本量：

成本（进价）、售价（实售价）、

利润（亏损额）、利润率（亏损率）

•基本关系:

盈利：售价>进价利润=售价-进价>0

亏损：售价<进价利润=售价-进价<0

利润=售价-成本亏损额=成本-售价、

亏损率=万吁贝X100%

利润率=x100%成本

利润=成本X利润率亏损额=成本X亏损率

售价=标价X嚅

售价=进价X（1+利润率）

价=单价X数量数量之和二甲商品+乙商品+丙商品

（二）增长率或百分比的问题

增长（降低）率问题：

增长量=原有量X增长率现有量=原有量+增长量

=原有量x（1+增长率）

减少量=原有量X降低率现有量=原有量-减少量

=原有量X（1-降低率）

（四）储蓄问题（银行利率问题）

利息=本金x利率本息和=本金+利息

=本金X（1+利率）

利息税=利息X利息税率所得金额=本息和-利息税

（五）浓度问题：

溶质=溶液X浓度百分数溶液=溶质+溶剂

m溶液=m溶质+m溶剂

相溶质

浓度百分数=xlOO%

加溶质+机溶剂

m溶质=（¥1溶液xm浓度百分数

=（m溶质+m溶剂）x浓度百分数

如：m盐=171盐水x含盐率=（m盐+m水）x含盐率

一、【教学要求、目标】

1、掌握用"倍数关系"建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.

2、通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用"倍数关系"

建立数学模型，并利用它解决实际问题.

二、【教学重点、难点】

1.重点：用"倍数关系”建立数学模型

2.难点与关键：用"倍数关系"建立数学模型

三、【课堂精讲】

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

例1现有长方形纸片一张，长19cm,宽15cm,需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积

为77cm2的无盖长方体型的纸盒？X（i9-2x）~[~

!（15-2x）

例2要做一个容积为750cm3,高是6cm,底面的长比宽多5cm的长方形匣子,底面的长及宽应

该各是多少（精确至U0.1cm）?

知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a,增长率x为，则一次增长后

的值为a（l+x）,两次增长后的值为a（l+x）2；（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后

的值为《1-x）,两次降低后的值为《1-XT。

例1某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均

每月增长的百分率是多少？

例2某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相

同，求每次降价百分之几？

知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系

式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价一进货价）+进货价xlOO%；

(3)销售额=售价x销售量

例1某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价,

减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

(1)要使每天获得700元，请你帮忙确定售价。

(2)当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

课堂练习：

1.为了美化环境，某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化

投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根

据题意所列方程为()

A.20^=25B.20(1+%)=25

C.20(1+x)2=25D.20(1+x)+20(1+4=25

2.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价。％后售价为128元下列所列方程中正

确的是

2

A168(l+a%)2=128B168(l-a%)-128

c168(1-2«%)=128口168(1—/%)=i28

3.某农机厂四月份生产零件200万个，第二季度共生产零件1400万个.设该厂五、六月份平

均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()

A.20(X1+x)2=1400B.200+200(1+x)+20Q1+x)2=1400

C.200(1+2x)=1400182D.200+200(1+x)+200(1+2x)=1400

二、典型例题。

例题2:某企业2007年盈利1000万元，2008年由于全球金融危机的不利影响，2008年盈利

下降了10%,从2009年到2010年，因全球经济回暖，该企业每年盈利持续增长，2010年