江苏省无锡市江阴市南菁高级中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标检测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共7页江苏省无锡市江阴市南菁高级中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知下面四个方程：+3x＝9；+1＝1；＝1；＝1．其中，无理方程的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42、（4分）若代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥33、（4分）已知实数m、n，若m＜n，则下列结论成立的是（）A．m﹣3＜n﹣3 B．2+m＞2+n C． D．﹣3m＜﹣3n4、（4分）如图，a，b，c分别表示苹果、梨、桃子的质量，同类水果质量相等，则下列关系正确的是A． B． C． D．5、（4分）不等式＞﹣1的正整数解的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、（4分）如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（）A． B． C． D．7、（4分）春节期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（）A．2小时 B．2.2小时 C．2.25小时 D．2.4小时8、（4分）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是_____．10、（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为______．11、（4分）如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA，则∠E的度数是_____．12、（4分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg13、（4分）如图，点关于原点中心对称，且点在反比例函数的图象上，轴，连接，则的面积为______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；(2)如图1，若DF=，求AE的长；(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、，连接、，点G是的中点,连接AG，试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.15、（8分）如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝________．16、（8分）如图①，正方形的边长为，动点从点出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，点移动的路程为，与的函数图象如图②，请回答下列问题：（1）点在上运动的时间为，在上运动的速度为（2）设的面积为，求当点在上运动时，与之间的函数解析式；（3）①下列图表示的面积与时间之间的函数图象是．②当时，的面积为17、（10分）如图，中，是边上一点，，，，点，分别是，边上的动点，且始终保持．（1）求的长；（2）若四边形为平行四边形时，求的周长；（3）将沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，求线段的长．18、（10分）先化简，再求值：，其中是不等式的正整数解.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…an20、（4分）若不等式组的解集是，那么m的取值范围是______．21、（4分）小玲要求△ABC最长边上的高，测得AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，则最长边上的高为_____cm．22、（4分）如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于_____．23、（4分）某人参加一次应聘，计算机、英语、操作成绩（单位：分）分别为80、90、82，若三项成绩分别按3：5：2，则她最后得分的平均分为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝BE＝4，AE＝3，求CD的值．25、（10分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：CF=CD；（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．26、（12分）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位cm）．已知数据15、16、16、14、14、15的方差S甲2=，数据11、15、18、17、10、19的方差S乙2=．请你用学过的统计知识（平均数、中位数、方差和极差）通过计算，回答下列问题：（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】

无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义即可判断.【详解】无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义只有第一个方程为无理方程.即+3x＝9，1个，故选：A．本题直接考查了无理方程的概念--根号下含有未知数的方程即为无理方程.准确掌握此概念即可解题..2、B【解析】

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【详解】由题意得，3﹣x≥0，解得，x≤3，故选：B．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．3、A【解析】

根据不等式的性质逐项分析即可.【详解】A.∵m＜n，∴m﹣3＜n﹣3，正确；B.∵m＜n，∴2+m<2+n，故错误；C.∵m＜n，∴，故错误；D.∵m＜n，∴﹣3m>﹣3n，故错误；故选A.本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．4、C【解析】

根据图形就可以得到一个相等关系与一个不等关系，就可以判断a，b，c的大小关系．【详解】解：依图得3b＜2a，

∴a＞b，

∵2c=b，

∴b＞c，

∴a＞b＞c

故选C．本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．5、D【解析】，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足不等式的正整数的个数有4个，故选D.6、A【解析】

先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y=1x都在直线y=kx+b的上方，当x＜1时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜1x的解集．【详解】设A点坐标为（x，1），把A（x，1）代入y=1x，得1x=1，解得x=1，则A点坐标为（1，1），所以当x＞1时，1x＞kx+b，∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（1，0），∴x＜1时，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜1x的解集为1＜x＜1．故选：A．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7、C【解析】

先求出AB段的解析式，再将y=150代入求解即可．【详解】设AB段的函数解析式是y=kx+b，y=kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），，解得∴AB段函数的解析式是y=80x-30，离目的地还有20千米时，即y=170-20=150km，当y=150时，80x-30=150解得：x=2.25h，故选C．本题考查了一次函数的应用，正确掌握待定系数法并弄清题意是解题的关键．8、D【解析】

根据题意，由轴，设点B（a，b），点A为（m，n），则，，由，根据反比例函数的几何意义，即可求出的值.【详解】解：如图是反比例函数和在第一象限的图象，∵直线轴，设点B（a，b），点A为（m，n），∴，，∵，∴，∴；故选：D.本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、：2或﹣1．【解析】试题解析：当k＞0时，y值随x值的增大而增大，∴，解得：，此时=2；当k＜0时，y值随x值的增大减小，∴，解得：，此时=-1．综上所述：的值为2或-1．10、1或1或1【解析】

分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=1，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=1，∴Rt△ABM中，AM==；如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=1，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=1；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×1=8，∴Rt△BOM中，BM==，∴Rt△ABM中，AM==．综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或1．故答案为或或1．11、22.5°【解析】

根据正方形的性质就有∠ACD＝∠ACB＝45°＝∠CAE+∠AEC，根据CE＝AC就可以求出∠CAE＝∠E＝22.5°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°．∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC＝45°．∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E＝22.5°．故答案为22.5°本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．12、20【解析】设函数表达式为y=kx+b把（30，300）、（50、900）代入可得：y=30x-600当y=0时x=20所以免费行李的最大质量为20kg13、1【解析】

根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△BOC=|k|=1，然后根据等底同高的三角形相等，得到S△AOC=S△BOC=1，即可求得△ABC的面积为1．【详解】解：∵BC⊥x轴，

∴S△BOC=|k|=1，

∵点A，B关于原点中心对称，

∴OA=OB，

∴S△AOC=S△BOC=1，

∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=1，

故答案为：1．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）AE＝；（3）（3），理由见解析.【解析】

（1）运用四边形AMFN是正方形得到判断△AMC,△AND是Rt△，进一步说明△ABC是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，设AG＝，则AE=GE=，得到△GBE是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt△AMC≌Rt△AND，最后通过计算求得AE的长；（3）延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得，可得≌，从而得到，可知∥,再根据题意证明≌，进一步说明是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形AMFN是正方形，∴AM=AN∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND是Rt△∵△ABC是等边三角形∴AB=AC∵旋转后AB=AD∴AC=AD∴Rt△AMC≌Rt△AND(HL)（2）过E作EG⊥AB于G,在BC找一点H，连接DH,使BH=HD，设AG＝则AE=GE=易得△GBE是等腰直角三角形∴BG=EG＝∴AB=BC=易得∠DHF=30°∴HD=2DF=，HF=∴BF=BH+HF=∵Rt△AMC≌Rt△AND(HL)∴易得CF=DF=∴BC=BF-CF=∴∴∴AE＝（3）；理由：如图2中,延长F1G到M,延长BA交的延长线于N,使得,则≌,∴,∴∥,∴∵∴∴,∵∴≌（SAS）∴∴∴是等腰直角三角形∴∴∴本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.15、（1）见解析；（2）四边形AECF是矩形，理由见解析；（3）秒或5秒或2秒【解析】

（1）已知EF∥BC，结合已知条件利用两组对边分别平行证明BCFE是平行四边形；因为AC=BC，等角对等边，得∠B＝∠BAC，CF平分∠ACH，则∠ACF＝∠FCH，结合∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，等量代换得∠FCH＝∠B，则同位角相等两直线平行，得BE∥CF，结合EF∥BC，证得四边形BCFE是平行四边形；（2）先证∠AED=90°，再证四边形AECF是平行四边形，则四边形AECF是平行四边形是矩形；

AC＝BC，E是AB的中点，由等腰三角形三线合一定理知CE⊥AB，因为四边形BCFE是平行四边形，得CF＝BE＝AE，AE∥CF，一组对边平行且相等，且有一内角是直角，则四边形AECF是矩形；（3）分三种情况进行①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则邻边BE=BC，这时根据S=vt=2t=,求出t即可；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，过C作CD⊥AB于D，AC=BC，三线合一则BD的长可求，在Rt△BDC中运用勾股定理求出CD的长，把ED长用含t的代数式表示出来，现知EG=CF=EC=EB=2t，在Rt△EDC中，利用勾股定理列式即可求出t；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，则CA＝AF＝BC，此时E与A重合，则2t=AB=4,求得t值即可.【详解】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵CF平分∠ACH，∴∠ACF＝∠FCH，∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，∴∠FCH＝∠B，∴BE∥CF，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，∴CF＝BE＝AE，∵AE∥CF，∴四边形AECF是矩形（3）秒或5秒或2秒分三种情况：①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，∴BE＝BC，即2t＝2，t＝；②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，∵AC＝BC，AB＝4，∴BD＝2，由勾股定理得：CD＝＝＝6，∵EG2＝EC2，即（2t）2＝62+（2t﹣2）2，t＝5；③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，∴t＝2，综上，t的值为秒或5秒或2秒；故答案为：秒或5秒或2秒．本题主要考查平行四边形，矩形，菱形等四边形的性质与证明，熟悉基本定理是解题基础，本题第三问的关键在于能够分情况讨论列出方程.16、（1）6，2；（2）；（3）①C；②4或1．【解析】

（1）由图象得：点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为6÷（15-12）=2（cm/s）；（2）当点P在CD上运动时，由题意得：PC=2（t-12），得出PD=30-2t，由三角形面积公式即可得出答案；（3）①当点P在AB上运动时，y与t之间的函数解析式为y=3t；当点P在BC上运动时，y与t之间的函数解析式为y=18；当点P在CD上运动时，y与t之间的函数解析式为y=-6t+90，即可得出答案；②由题意分两种情况，即可得出结果．【详解】（1）由题意得：点在上运动的时间为，在上运动的速度为；故答案为：6，2；（2）当点在上运动时，由题意得：，，的面积为，即与之间的函数解析式为；（3）①当点在上运动时，与之间的函数解析式为；当点在上运动时，与之间的函数解析式为；当点在上运动时，与之间的函数解析式为，表示的面积与时间之间的函数图象是，故答案为：；②由题意得：当时，；当时，；即当或时，的面积为；故答案为：4或1．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、函数与图象、三角形面积公式、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和函数与图象是解题的关键．17、（1）；（2）；（3）BP=或３或．【解析】

（1）先根据题意推出△ABE是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可．（2）首先要推出△CPQ是等腰直角三角形，再根据已知推出各边的长度，然后相加即可．（3）首先证明△BPE∽△CQP，然后分三种情况讨论，分别求解，即可解决问题．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵BE=CD=3，∴AB=BE=3，又∵∠A=45°，∴∠BEA=∠A=45°，∠ABE=90°，根据勾股定理得AE==；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C=45°，又∵四边形ABPE是平行四边形，∴BP∥AB，且AE=BP，∴BP∥CD，∴ED=CP=，∵∠EPQ=45°，∴∠PQC=∠EPQ=45°，∴∠PQC=∠C=45°，∠QPC=90°，∴CP=PQ=，QC=2，∴△CPQ的周长=2+2；（３）解：如图，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=AE+ED=，∠A=∠C=45°，∴AH=BH=，HE=AD－AH－DE=∴BH=EH，∴∠EBH=∠HEB=∠EBC=45°，∴∠EBP=∠C=45°，∵∠BPQ=∠EPB+∠EPQ=∠C+∠PQC，∠EPQ=∠C，∴∠EPB=∠PQC，∴△BPE∽△CQP．①当QP=QC时，则BP=PE，∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90°，∴四边形BPEF是矩形，BP=EF=，②当CP=CQ时，则BP=BE=3，③当CP=PQ时，则BE=PE=3，∠BEP=90°，∴△BPE为等腰三角形，∴BP2=BE2+PE2，∴BP=，综上：BP=或3或．本题利用平行四边形的性质求解，其中运用了分类讨论的思想，这是解题关键．18、1.【解析】

将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x的不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出正整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．【详解】解：原式==的正整数解为但所以∴原式的值此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、3n+1．【解析】试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．试题解析：故剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1．考点：规律型：图形的变化类．20、．【解析】

求出不等式x+9<4x-3的解集，再与已知不等式组的解集相比较即可得出结论．【详解】：，解不等式得，，不等式组的解集为，，故答案为：．本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21、4.1【解析】

先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．【详解】解：∵，∴该三角形是直角三角形．根据面积法求解：S△ABC＝AB•AC＝BC•AD（AD为斜边BC上的高），即AD＝=（cm）．故答案为4.1．本题主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键是利用两种求三角形面积的方法列等式求解.22、【解析】

根据勾股定理得到BC=5,由折叠的性质得到△BCE是等腰直角三角形,过E作EH⊥AC交CA的延长线于H,根据勾股定理得到EH=,于是得到结论【详解】∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,∴BC=5,∵△BCE是△DBC沿BC翻转得到得∴△BCE是等腰直角三角形,∴∠BEC=90°,∠BCE=45°,CE=，BC=过E作EH⊥AC交CA的延长线于H,易证△CEH≌△DCG,△DBF≌△DCG∴EH=CG,BF=CG,∵四边形AFDG和四边形BECD是正方形∴AF=AG,设BF=CG=x,则AF=4-x,AG=3+x∴4-x=3+x,∴x=∴EH=CG=∴△ACE的面积=××3=,故答案为:此题考查折叠问题和勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题关键在于做辅助线23、85.4分【解析】

根据加权平均数的概念,注意相对应的权比即可求解.【详解】8030%+9050%+8220%=85.4本题考查了加权平均数的求法,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、(1)详见解析;(2)【解析】

(1)由∠EAF=∠GAC.可得∠EAG=∠DAF且AG⊥BC，AM⊥DE可得∠ADF=∠B，且∠EAD=∠BAC可证：△ADE∽△ABC；（2）利用相似的性质得出，AB＝BE+AE＝4+3＝7，即可解答【详解】（1）证明：AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，