安徽省六安市金安区文汇中小学生校外托管服务中心2024-2025学年 九年级上学期月考数学试卷10月份

2024-2025学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，是二次函数的是(

)A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是(

)A. B. C. D.3.如果，那么下列比例式中正确的是(

)A. B. C. D.4.若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(

)A. B. C. D.5.若反比例函数的图象经过点，则k的值是(

)A.3 B. C. D.26.如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是(

)

A.

B.

C.

D.

7.如图，D是边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是(

)A.

B.

C.

D.

8.已知二次函数的图象在x轴的下方，则a，b，c满足的条件是(

)A.， B.，

C.， D.，9.已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为(

)A.

B.

C.

D.10.已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则下列结论错误的是(

)A.当时，y随x的增大而减小

B.若图象经过点，则

C.若，是函数图象上的两点，则

D.若图象上两点，对一切正数n，总有，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知函数为二次函数，则m的值为______.12.如图，在四边形ABCD中，AC平分，且，当______时，∽

13.如图，正方形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边AD经过原点O，若面积为5，正方形ABCD的周长为，则k的值为______.

14.在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点.

若对于，，有，则______；

若对于，，都有，则h的取值范围是______.三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题8分

已知a：b：：3：4，且

求a、b、c的值；

求的值．16.本小题8分

已知二次函数的图象经过点和

求此函数解析式；

求出该抛物线顶点C的坐标，并求出的面积.17.本小题8分

平行四边形ABCD中，过A作，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且求证：∽18.本小题8分

如图，直线与双曲线交于A、B两点，点A，B的横坐标分别为1，

求m的值及点B的坐标；

直接写出不等式的解集．19.本小题10分

如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、

求证：；

若，，求20.本小题10分

我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞如图，可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点单位：分米，点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称分米，点设抛物线表达式为

求抛物线的表达式；

分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求以EF为直径的圆的周长.21.本小题12分

如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边AB于点Q，连接OQ，点A的坐标为

求双曲线的解析式；

求直线OQ的解析式；

求证：∽22.本小题12分

某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量件是售价元/件的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价元/件80100销售量件10060求销售量y关于售价x的函数关系式.

①设商店销售该商品每天获得的利润为元，求W与x之间的函数关系式.

②若规定售价高于进价且不超过进价的倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？23.本小题14分

综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作轴，交BC于点

求抛物线的解析式；

当时，求点E的坐标；

在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、，是正比例函数，故本选项不符合题意；

B、，是反比例函数，故本选项不符合题意；

C、，符合定义，故本选项符合题意；

D、，是一次函数，故本选项不符合题意；

故选

根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中

此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．2.【答案】A

【解析】解：

，

顶点坐标为，

故选：

由抛物线解析式可求得其标点坐标．

本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴3.【答案】C

【解析】解：，

，

故选：

利用比例的性质对各选项进行判断．

本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等是解决问题的关键．4.【答案】A

【解析】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

点，，都在二次函数的图象上，

点A到对称轴的距离最大，点C到对称轴的距离最小，

故选：

由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解．

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．5.【答案】B

【解析】解：根据题意，得，

解得，

故选：

根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．

此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．

利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

【解答】

解：，

，，，，

选项A、C、D正确，

故选：7.【答案】C

【解析】解：在和中，，

A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到∽，不符合题意；

B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到∽，不符合题意；

C、，不能证明∽，符合题意；

D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到∽，不符合题意；

故选：

根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键．

本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．8.【答案】C

【解析】解：二次函数的图象在x轴的下方，

抛物线开口向下，与x轴无交点，

即，，

故选：

根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即可判断．

本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．9.【答案】D

【解析】解：抛物线对称轴为直线，

，

，

根据二次函数：，，

，，

一次函数的图象过第一、三、四象限，

当时，，

，

一次函数与y轴交点在与0之间，

当时，，

，

一次函数与x轴交点是1，

故选：

先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与y轴交点在与0之间，一次函数与x轴交点是1，即可得出答案．

本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．10.【答案】C

【解析】解：A、设抛物线与x轴交点为、，

二次函数，

，，，

当时，y随x的增大而增大，

，开口向下，

当时，y随x的增大而减小，此选项正确；

B、二次函数

，当时，y随x的增大而增大，

，开口向下，

若图象经过点，则，

得：，

，，

，此选项正确；

C、对称轴为直线，，

，

，

，是函数图象上的两点，2024离对称轴近些，

，此选项错误；

D、由图象上两点

对一切正数n，总有，

该函数与x轴的两个交点为，，

，

解得：，此选项正确；

故选：

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】

【解析】解：函数为二次函数，

，

解得：，

故答案为：

由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案．

本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键．12.【答案】9

【解析】解：平分，

，

当时，∽，

即：，

，，

，

；

故答案为：

根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．

本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．13.【答案】

【解析】解：如图，过点A作轴于点E，则，

在反比例函数的图象上，

，

四边形ABCD是正方形，

，，

的面积为5，

，

，

，

，

故答案为：

过点A作轴于点E，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，根据正方形的性质得到，，再利用三角形面积计算公式得到，则可利用勾股定理得到，利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求出，得到，即可求k的值．

此题考查了正方形的性质、反比例函数的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．14.【答案】

【解析】解：若对于，，有，

得，关于对称轴对称，

则；

故答案为：3；

由抛物线开口向下，

对于，，即都有，

得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，

故与的中点在对称轴的右侧，

故，

故

故答案为：

由对于，，有，得，关于对称轴对称即可得答案；

由已知得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，故与的中点在对称轴的右侧，

即可得，故

本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．15.【答案】解：设，，，

，

，

，

，，；

，，，

【解析】设，，，代入求出k，即可求出答案；

把a、b、c的值代入，求出即可．

本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．16.【答案】解：将点与代入解析式，得：

，

解得：，

则此函数解析式为；

，

顶点C坐标为，

，

，

则

【解析】将点与代入解析式求解可得；

将解析式配方成顶点式得其顶点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得．

本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

，，

，

∽

【解析】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．

先根据矩形的对边平行性质得出，，再根据，可得出，由此可得出结论．18.【答案】解：把代入得，，

点，

双曲线经过B点，

；

由图象可知不等式的解集为或

【解析】先把代入求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得m的值；

根据图象求得即可．

本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握数形结合思想的运用．19.【答案】解：四边形ABCD为平行四边形，

，，

∽，∽，

，，

，

，

【解析】利用平行四边形的性质可得出，，进而可得出∽，∽，再利用相似三角形的性质可证出；

由，结合的结论，可求出BE的长．

本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用相似三角形的性质，证出；代入，，求出BE的长．20.【答案】解：，

，

把和代入，

得，

解得：，

抛物线解析式为：；

设直线OA解析式为，

将坐标代入得，，

解得：，

直线OA解析式为：，

联立函数解析式，

解得：，或

点F坐标为；

抛物线的对称轴是y轴，

点E的坐标为，

分米，

直径EF的圆的周长为：分米

【解析】待定系数法求出抛物线解析式即可；

写出直线OA解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长，再由圆周长公式即可求解．

本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．21.【答案】解：双曲线经过斜边的中点P，点A的坐标为，

双曲线经过点P；

，

；

解：为直角三角形，

轴，

，Q两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：，

点Q的坐标为

设直线OQ的解析式为，

，

解得：，

直线OQ的解析式为；

证明：由知点Q的坐标为，点A的坐标为，

，，，

，，

，

又，

∽

【解析】根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解；

由可求出，代入设直线OQ的解析式为，即可求解；

根据，点A的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证．

本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．22.【答案】解：设

根据题意，得，

解得：，

销售量y关于售价x的函数关系式为：

①由知每天的销售量

商品进价为60元/件，

与x之间的函数关系式为，

即；

②

，

当时，W有最大值为2400，

当售价定为90元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．最大利润为2400元．

【解析】设，待定系数法求函数解析式即可；

①利用总利润等于单件利润乘