2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版2019）

期中测试卷03

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

测试范围：选择性必修第一册RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知两个非零向量。=(斗％,Z1),h=(x2,y2,z2),则这两个向量在一条直线上的充要条件是()。

A、4：|〃|=双曲

B、为々==Z]Z?

C、xlx2+yl^2+z1z2=0

D、存在非零实数%,使之=筋

2.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为2百，焦点到渐近线的距离为近，则双曲线的方程为()o

A、———y2=1

2

B、x2--=l

2

丫2

C、y2——=1

2

D、匕--=1

2

3.若直线x+/ny=2+,〃与圆x2+y2-2x-2y+l=0相交，则实数"?的取值范围为()。

A、(-oo,+oo)

B、(-oo,0)

C、(0,+oo)

D、(-oo,0)U((),+oo)

4.点P(4,-2)与圆/+产=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()。

A、(x-2)2+(y+l)2=l

B、(x-2)2+(y+l)2=4

C、(X+2)2+(^-1)2=1

D、(x+4)2+(y-2)2=4

5.若P、。分别为直线3x+4)—12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为()。

22

6.己知柳圆C：5+当•=1（。>8>0）的左焦点6,过点耳作倾斜角为30°的直线与圆/+相交的

ab

弦长为病，则椭圆的离心率为（）。

A.1

2

R6

2

C、-

4

D、2

2

7.已知点片是抛物线C：-=2py的焦点，点B为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过B作抛物线c

的切线，切点为A,若点A恰好在以6、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）。

A、A/2—1

口V6-V2

D、--------

2

V6+V?

c、

2

D、V2+1

8.如图所示，43co-A3|GR是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BE。

当4、EF、G共面时，平面4。石与平面G。尸所成锐二面角的余弦值为（）°

旦

2

D、巫

5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.已知经过点A(-2,0)和点8(1,3。)的直线4与经过点P(0,-l)和点的直线。互相垂直，则实数

。=()。

A、-1

B、0

C、1

D、2

22

10.已知椭圆C：「+当•=l(a>6>0)的左右焦点分别£、F,,过K且斜率为2的直线交椭圆E于P、

ab

Q两点，若A/写入为直角三角形，则该椭圆C的离心率e=()。

A、>/2—1

C、V5-2

D、—

3

II.下列命题中不正确的是()。

A、若A、B、C、。是空间任意四点，则有赤+前+3+方=0

B、若|7|=巧|,则£、2的长度相等而方向相同或相反

C^|a|-曲=|a+5|是a、1共线的充分条件

D、对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C,若丽=xE+y砺+z沅(x,y,ZGR),则尸、

A、8、C四点共面

22

12.已知G、K是双曲线-=。>0)的左、右焦点，过居作双曲线一条渐近线的垂线，垂

ab

足为点A,交另一条渐近线于点3,且鸟B,则该双曲线的离心率为()。

A屈

As——

2

B、V2

C、百

D、75

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.动点P与定点4(-1,0)、8(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是

22

14.过双曲线^--±=1的右支上一点P,分别向圆C1：。+5产+丁=4和圆C2：(x-5)2+y2=r2(r>0)

916

作切线，切点分别为“、N,若『的最小值为58,则r=

15.如图所示，P—A3C。是正四棱锥，43co是正方体，其中43=2,PA=R,则点用到

平面尸/4。的距离为

16.如图所示，已知抛物线丁=8岳的焦点为尸，直线/过点/且依次交抛物线及圆(X-2近尸+尸=2于

A、8、C、。四点，则|AB|M|CD|的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知两圆C1：炉+/一2x-6y—1=0和C2：x2+y2-10x-12y+45=0o

⑴求证：圆G和圆G相交；

(2)求圆G和圆G的公共弦所在直线的方程和公共弦长。

18.(本小题满分12分)

如图，已知AA3c的边AB所在直线的方程为x—3y—6=0,M(2,0)满足的=祝，点7(—1,1)在AC边

所在直线上且满足布•丽=0。,)[

(1)求AC边所在直线的方程；\

(2)求A4BC外接圆的方程；_M_

⑶若动圆P过点N(-2,0),且与AABC的外接圆外切，求动圆尸的圆心的轨迹方程。I；

19.(本小题满分12分)

如图所示，在三棱柱ABC-A5G中，底面A5C为正三角形，4在底面A3C上的射影是棱3c的中点0,

0E，A4|于E点。

(1)证明：QE_L平面仍CC；

⑵若A41=gAB,求AC与平面所成角的正弦值。

20.(本小题满分12分)

221

椭圆加：[+当=1(。＞万＞0)的长轴长等于圆c,：/+/2=4的直径，且孰的离心率等于2.。直线4和

a~b-2

4是过点”(1,0)且互相垂直的两条直线，乙交G于A、8两点，%交C2于C、。两点。

(1)求G的标准方程；

(2)当四边形AB8的面积为凶4时，求直线4的斜率"(%＞())。

7

21.(本小题满分12分)

JT

如图所示，在三棱柱ABC-4MG中，四边形ABBJA为菱形，ZAA,B,=-,平面A破4，平面ABC,

AB^BC,AC=叵AA[=2叵,E为AC的中点。

(1)求证：平面433同；

(2)求平面EBG与平面BB£C所成角的大小。

22.(本小题满分12分)

己知椭圆G，抛物线C2的焦点均在X轴上，G的中心和G的顶点均为原点。，从G、G上分别取两个

点，将其坐标记录于下表中：

X3-24

V6

y-2V30-4

2

⑴求C1、C2的标准方程;

（2）若直线/：）=乙+6（4#0）与椭圆C1交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点

求实数%的取值范围。

期中测试卷03(解析)

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

测试范围：选择性必修第一册RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知两个非零向量。=(斗力,Z1),h=(x2,y2,z2),则这两个向量在一条直线上的充要条件是()。

A、4：|〃|=双曲B、西电=%为=z-

，+

C>X1X2+yi?22122-0D、存在非零实数%,使4=以

【答案】D

••.~♦,♦.•*♦•

【解析】A选项，表示。的单位向量q,A|/?|表示〃的单位向量出，则勺=62=>。〃匕，

但。//归不一定有G=g，错，B选项、C选项不能推出。〃九故选D。

2.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为2百，焦点到渐近线的距离为后，则双曲线的方程为()。

2222

A^—-y2=1B、x2--=1C、y2--=1D、-——x2=1

2222

【答案】B

【解析】c=B焦点到渐近线的距离为近，则人=&，则Q=l,

2

•••双曲线方程为『—匕=1,故选B。

2

3.若直线x+nz)>=2+w与圆炉+丁-2乂-2>+1=()相交，则实数优的取值范围为()。

A、(-00,+oo)(-oo,0)C、(0,+oo)D、(-oo,0)U(0,+oo)

【答案】D

【解析】圆的标准方程为(x-l)2+(y-l)2=l,圆心c(l,l),半径r=1。

,直线与圆相交，；.4=,"+1一2“<r=1,解得机>0或〃z<0，故选D。

V1W

4.点P(4,-2)与圆/+>2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()。

A、(x-2)2+(y+l)2=lB、(x-2)2+(y+l)2=4

C、(x+2)2+(y-l)2=1D、(x+4)2+(y-2)2=4

【答案】A

(元'+4=2xfx—2x—4

【解析】设中点坐标为A(x,y),那么圆上一点设为8(x',9)，满足，一，，一，

[y-2=2y[y=2y+2

根据条件£2+y2=4,代入后得到（2x—4）2+（2）+2）2=4,

化简为：（X-2）2+（＞+1）2=1,故选A。

5.若P、。分别为直线3%+4），-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为（）。

9

AA

29一

18一

、5-B>5259

10

【答案】B

34一12

【解析】・・・不=可。飞一，・・・两直线平行，将宜线3x+4y—12=0化为6x+8y—24=0,

|-74一5l?Q

由题意可知IPQI的最小值为这两条平行直线间的距离，即1,1=—,

V62+8210

・・.|PQ|的最小值为」29，故选B。

22

6.已知椭圆C：3+4=1（。＞8〉0）的左焦点K，过点耳作倾斜角为30。的直线与圆/+〉2=。2相交的

ab

弦长为麻，则椭圆的离心率为（）。

A.1B叵

224

【答案】B

【解析】过点石倾斜角为30°的直线方程为：+即x-gy+c=（）,

则圆心（0,0）到直线的距离：皆=],由弦长公式可得：2卜2_5=耳,

整理可得：b2=c2,：.a2-c2=c2,a2=2c2,贝U：e2=-,e=叵,故选B。

22

7.已知点匕是抛物线C：-=2p），的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过尸2作抛物线C

的切线，切点为A,若点4恰好在以片、的为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）。

A、V2-1B、近二叵c、亚亚D、3+1

22

【答案】D

【解析】由题意，得耳峭）、玛（0,-9，设过Q的抛物线C的切线方程为：y=kx-g

x2=2py

联立＜p得12_2pkx+p2=0,

y=kx---

I2

令△=4/?"2-4〃2=0,得A2=1,即X?±2px+/=0,

不妨设由双曲线的定义得2a=|伍|一|初1=(五一DP，2c=I68|=P，

则该双曲线的离心率为6=故选Do

8.如图所示，加CD-AB|GA是棱长为6的正方体，E、P分别是棱AB、BC上的动点，且AE=3/。

当ArE、F、G共面时，平面AQE与平面G。尸所成锐二面角的余弦值为(

21

A、B、

52

V3276

C、D、

2r

【答案】B

【解析】以点。为原点如图建系，则4(6,0,6)、D(0,0,0)>G(°，6,6)，

由题意知：当仇6,3,0)、/(3,6,0)时，4、E、F、G共面，

设平面4。七的法向量为巧=(不加马),

n-DA1=6%1+6Z1=0

函=(6,0,6),瓦=(6,3,0),则，l

%-DE=6x]+3y=0

取再=1,解得若=(1,-2,-1),

设平面CQF的法向量为%=(々，%，Z2)，

.一…

---1,.*DCi—6y,+6z,=0

DC,=(0,6,6),CP=(3,6,0),则亡」力2

n2•DF-3X2+6y2=0

取々=2,解得n2=(2,—1,1),

设平面AQE与平面G。尸所成锐：面角为。，

则cos6=|cos<nvn2>|=|』/:|=/,

“|n,|.|n2|瓜瓜2

平面AQE与平面QDF所成锐二面角的余弦值为；，故选B。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知经过点4-2,0)和点8(1,30的直线4与经过点P(0,-l)和点Q(a-2〃)的直线。互相垂直，则实数

”()。

A、-1B、0C、1D、2

【答案】BC

【解析】/]的斜率k=-.....=a，

]1-(-2)

当a/0时，/,的斜率&2=-2a一(7)二上必,：.k「\=-\,

。一0a

]—2a

即q.LW=-l,解得〃=1,

a

当a=O时,尸(0,-1)、(2(0,0),直线，2为y轴，A(—2,0),B(1,O),直线[为x轴,显然d

实数a的值为0或1,故选BCo

2

10.已知椭圆C：/3+v4=l(a>6>0)的左右焦点分别片、F,,过片且斜率为2的直线交椭圆E于P、

a~b

。两点，若AP大乙为直角三角形，则该椭圆C的离心率e=()。

A、V2-1B、—C、V5-2D、—

33

【答案】CD

【解析】当々.专时‘设"一，则由于tanPF四*"『，*3

2a=PF,+PF.=石+2,2c=6居=1,J椭圆。的离心率为6=f=至=」一=6—2,

a2a<5+2

当N6Pg=微时，设桃=2,则由于tanP/B=2,・,.助=1,亚,

2a=PF]+PF1=3»2c=F[F)=后,二椭圆C的离心率为e=£=2^=^^,

a2a3

故选CD.,

11.下列命题中不正确的是()。

A、若A、B、C、。是空间任意四点，则有施+炉+而+属=0

B、若0=|臼,则)、B的长度相等而方向相同或相反

C、|a|-|3|=|a+B|是a、Z共线的充分条件

D、对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C,若而=了况+)，而+zH(x,y,zeR),则P、

A、B、C四点共面

【答案】ABD

【解析】A选项，荏+前+3+万X=6而不是0,故A错，

B选项，|"|=正|仅表示"与否的模相等，与方向无关，故B错，

C选项，a+石1=>一2|°卜历|+历F=J+2°.1+7,

B[)-2|〃|-|b|=2a・8=2|a|・|b|-cos<a,b>,

即COS<“0>=—1,4与6方向相反，故C对,

D选项，空间任意一个向曼而都可以用不共面的二个向量近、0B,反表示，

二P、A、B、C四点不一定共面，故D错，

故选ABD。

22

12.已知G、外是双曲线方=1(“>0,万〉0)的左、右焦点，过尸2作双曲线一条渐近线的垂线，垂

足为点A,交另一条渐近线于点3,且A玛=；鸟8,则该双曲线的离心率为()。

V6

A、B、V2C、百D、加

2

【答案】AC

---*1---

【解析】(1)当时，设N^OA=a,则NAO3=2a,设a=l,

由题意可知OA=a=l,OF?=c=e,AF2=b>BF2=3b»

则=tana=—-b,tan2a=—=4Z?,

aa

小、，日c2tana2b,

代入得tan2a=--------=----z-=A4b,

1-tanal-b

解得b=,则e=c=』a2+/=Jl+g=,

即2=4-4/

，1—,

(2)当心A=§鸟3时，设NgOA=a,NAQ8=p，设a=l,

则NEOB=a+0,NKOB=7t—(a+|3),

由题意可知OA=a=1,OF]=c=e,AF2=b,BF2=3b,

io〃

贝|JA3=2Z?,tana=—=btanp=—=2b,

afa

贝ijtanNGOB=tan[7t-(a+B)]=-tan(a+B)=tana,

tana+tanp

则tan(a+0)==-tana

1-tanatanp

代入得=即3=2〃-1,解得/,=四，则e=c=必方=石,

\-b-2b

故选ACo

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.动点P与定点4(-1,0)、8(1,0)的连线的斜率之积为-1,则点P的轨迹方程是

【答案】x2+/-l(x^±l)

【解析】设P(x,y),则即A=T,

:动点P与定点A(—1,0)、3(1,0)的连线的斜率之积为一1,

22

kPA-kPB=-1,—=—1,BPx+y=1,且％w±l.

综上点P的轨迹方程是-+y2=］(*w±］)。

22

14.过双曲线］-看=1的右支上一点P,分别向圆G：。+5产+/=4和圆o2：(x-5)2+y2=r2(r>0)

作切线，切点分别为M、N,若1PMi2-|PN『的最小值为58,则r=。

【答案】V2

【解析】设匕、鼻是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，

2222

二|尸M『-1PN|=|P耳『-4—(|PF2|-r)=(|尸月||PF2|)(|PF,|+|PF2|)+r-4

z

=6(]PFt\+\PF2\)+r-4,

显然其最小值为6(2x5)+/-4=58,r=痣。

15.如图所示，P—ABC。是正四棱锥，"CD-A81GA是正方体，其中AB=2,PA=R,则点用到

平面P4£>的距离为________。

［答案］"/^一\$c

【解析】方法一：利用等体积法求点到平面距离：V&-PAD=VA-BQP，

XXX

匕-BQP-DPA-B,DP-XhA_BDp--J2xy[2-2,

即*生一切=2,解得如苗产够

方法一：利用建系求点到平面距离：以。]为原点，、D£、DR为x、y>z轴建系,

则用(2,2,0),尸(1,1,4),4(20,2),0(0,0,2),丽=(-2,-2,2),

PD=(-l,-l,-2),AD=(-2,0,0),

设平面的法向量为〃-»=(x,y,z),则《〃__•_P_D_,=即0《—x—y—2=0,

〃・AD=0-2x=0

设丁=2,解得工=0,z=-l,则7=(02—1),

又点到平面P4D的距离.J世,〃1=里!=述。

\n\v55

16.如图所示，已知抛物线y2=8VIr的焦点为产，直线/过点尸且依次交抛物线及圆2忘产+产=2于

A、8、C、。四点，则|AB|+4|CQ|的最小值为。¥

［答案］1372_

【解析】V/=8V2x,焦点/(2形,0),准线I。：X=-2M,。度

由圆：(X-2V2)2+/=2,圆心(2jl0),半径为五，'

由抛物线的定义得：IAF1=4+2应，又•••|AF|=|AB|+五，.•.|4?|=4+正，

同理：|。|=和+行，

当ABLx轴时，贝1］而=4=2&,AlAB|+41CD1=1572,

当A3的斜率存在且不为0时，设AB：y=k(x-26),

代入抛物线方程，得：k2x2-(4V2A:2+8>/2)x+8A:2=0,

.。4闻+8行

..xA-xD=S,xA+xD=------------，

Z.||+41CD\=(xA+V2)+4(XD+伪=572+4+4xD>5亚+2J4x.-x°=13叵,

当且仅当4=4和，即4=2,%=g时取等号，

综上所述IAB|+41CO|的最小值为13五

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知两圆C1：x2+)2-2x-6y-l=0和C2：x2+y2-10x-12y+45=00

⑴求证：圆G和圆G相交；

(2)求圆G和圆C的公共弦所在直线的方程和公共弦长。

【解析】(1)证明：圆C1的圆心G(l，3)，半径4=而，圆C2的圆心。2(5,6)，半径e=4,2分

两圆圆心距4=|。。21=5，4-VH=l4—弓|<d<{+4=E+4,

.•.圆G和G相交；4分

(2)圆G和圆C2的方程左、右分别相减，得4x+3)—23=0,6分

两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0,7分

圆心。2(5,6)到直线4x+3y—23=0的距离d==3,9分

故公共弦长为2J16-9=2近。10分

18.(本小题满分12分)

如图，已知AA8C的边所在直线的方程为x—3y—6=0,M(2,0)满足的=证，点T(—1,1)在AC边

所在直线上且满足ATAB=0.

(1)求AC边所在直线的方程；

(2)求A48C外接圆的方程；

(3)若动圆P过点N(-2,0),且与AA8C的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程。

【解析】(1)；行•而=0，二AT_LAB，又T在AC匕二AC_LA3,AABC为RrAABC,1分

又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,.•.直线AC的斜率为-3,2分

又：点T(一1,1)在直线AC匕.••AC边所在直线的方程为y-l=-3(x+l),

即3x+y+2=0；4分

(2)人。与48的交点为4,，由尸-"-6=°解得点4的坐标为(0,_2),5分

3x+y+2=0

•.,丽=荻，.•.M(2,0)为即AABC斜边上的中点，即为R/MBC外接圆的圆心，6分

r=\AM\=7(2-0)2+(0+2)2=2-^2,从而AA5c外接圆的方程为(x-2)2+/=8；7分

(3)、•动圆P过点N,二|HV|是该圆的半径，又：动圆P与圆M外切，

|PM|=|PN|+272,即|PM|—|PN|=2&,9分

故点尸的轨迹是以M、N为焦点、,实轴长为2立的双曲线的左支，10分

•.•实半轴长a=痣，半焦距c=2,...虚半轴长6=2=叵,[]分

从而动圆P的圆心的轨迹方程为三-二=1(x4-啦)。12分

22

19.(本小题满分12分)

如图所示，在三棱柱ABC-A5G中，底面A5C为正三角形，4在底面A3C上的射影是棱3c的中点0,

0E，A4|于E点。

(1)证明：QE_L平面仍CC；

⑵若A41=gAB,求AC与平面所成角的正弦值。

【解析】(1)证明：连接AO,；AABC为正三角形，。为BC中点，，AOLBC,

,/A^OIBC,AOnAO=O,，3C_L平面AOA,:.BC工EO,2分

又OEJ_A41,A4.//B.B,Z.OEVB[B,又耳3nBe=3,

/.OE_L平面BBGC,4分

(2)解：山(1)可知，A0_L3C,AQJ.O4,OALBC，

故分别以OA、OB、0A为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分

设AB=2,则A41=2Q,OA=6。4=3,4(73,0,0),

则AB=(-73,1,0),丽=(-V3.O(3),AC=(一后一1,0),8分

设平面A4gB的法向量为7=(x,y,z),则:竺=°即一管+'=°,

n•A4j=0-J3x+3z=0

设x=,则y=3、z=l,则〃=(6,3,1),10分

设AC与平面所成角为。,

nni•a—iII(V3»3,l)•(—V3,—1,0)3A/T3

则sin。斗cos<几AC>=------------------------二\=----，

V13x213

.••AC与平面A4由B所成角的正弦值为誓。12分

20.(本小题满分12分)

丫2v21

椭圆C［：r+==l(a>/?>0)的长轴长等于圆。2：/+9=4的直径，且G的离心率等于一。直线和

ab~2

，2是过点”(1,0)且互相垂直的两条直线，九交G于A、§两点，卜交C2于C、。两点。

(1)求G的标准方程；

12V14

(2)当四边形A3C。的面积为时，求直线/1的斜率%(%>0)。

7

【解析】(1)由题意得勿=4,，a=2,Ye—>c=1,b—V3,2分

a2

22

•••椭圆G的标准方程为y+y=l；3分

y=k(x-l)

(2)直线AB：y=A(x—1),则直线CD：y=--(x-l),山<22,5分

k3x+4y=12

得(3+4/)%2一8r％+4廿-12=0,△>()恒成立,6分

8k2一12

设孙%)、B(x»y)>贝！々=7分

42］6+3+4&2'-3+4&2

212(二+1)

|AB|=71+A:\xt-x2\=8分

3+4/

圆心(0,0)到直线CO：X+外一1=0的距离d=.,9分

dk2+1

JC£>I2

+/=4,.\|CD|=210分

4

,ABA.CD,/.S四边形A8co=万IAB\-1CD\=-j====,11分

由华»=上叵，解得％=1或左=—1，由火>0,得2=1。

12分

"/+37

21.(本小题满分12分)

7T

如图所示，在三棱柱MC-A5G中，四边形河同为菱形，乙44g=；，平面ABBHJ_平面ABC,

AB-BC,AC=V2A4]=272,E为AC的中点。

(1)求证：B©_L平面ABB1%；

⑵求平面EBG与平面881GC所成角的大小。

【解析】(1)'.•四边形他34为菱形，AB=BC,AC=®AA、=2如,1分

Z.AC2^AB2+BC2,：.AB±BC,2分

又平面，平