2024年中考数学复习精讲精练系列：第2讲-代数式概念与应用-附解析

2024年中考数学复习精讲精练系列：第2讲-代数式概念与应用-附解析2024年中考数学复习精讲精练系列：第2讲-代数式概念与应用-附解析/2024年中考数学复习精讲精练系列：第2讲-代数式概念与应用-附解析2024中考数学精讲与精练(全国通用版)第二讲 代数式考点1：整式的基本概念1.单项式、多项式、整式(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的次数,数字因数叫做单项式的系数.注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成;②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如是6次单项式.(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数,其中不含字母的项叫做常数项.(3)整式：单项式和多项式统称为整式.2.同类项同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.考点2：整式的运算1.整式的加减整式的加减：一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.2.幂的运算am·an=am+n;(am)n=amn;(ab)n=anbn;am÷an=.3.整式的乘法和除法(1)整式的乘法：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc.多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(2)乘法公式：平方差公式：.完全平方公式：.(3)整式的除法：单项式除以单项式,把系数、同底数的幂分别相除,作为商的因式：对于只在被除式含有的字母,则连同它的指数作为商的因式.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.考点3.因式分解1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式,叫做因式分解,因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：(1)提取公因式法：.(2)公式法：平方差公式：.完全平方公式：.3．分解因式的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法：为两项时,考虑平方差公式;为三项时,考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组的方法进行分解;(3)检查分解因式是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.简单记为”一提二套三检查”.考点4：二次根式的概念1.二次根式的概念及有意义的条件二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号””叫做二次根号,二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：要使二次根式eq\r(a)有意义,则a≥0．2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式．3.同类二次根式：化成最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式,叫做同类二次根式．考点5.二次根式的性质(1)≥0(≥0);(2);(3);考点6.二次根式的运算1.二次根式的加减：合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,若有同类二次根式,可把同类二次根式合并成一个二次根式．2.二次根式的乘除：乘法法则：;除法法则：．3.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的．在运算过程中,乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．中考数学中,代数式的考查是比较重要的,基本概念的考查方式有两种,方式1是单独考查,一般以选择和填空形式考查;方式2是与综合题混合在一起考查,比如整式的因式分解会结合分式的运算或分式方程一起考查.例题1．(2023·四川攀枝花·中考真题)以下因式分解正确的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式,还可分解因式;利用十字相乘法,．【详解】解：;故A不正确,不符合题意．;故B正确,符合题意．;故C,D不正确,不符合题意．故选：B．【感悟】本题考查因式分解的方法,熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．例题2．(2023·甘肃兰州·中考真题)计算：(

)A． B． C．5 D．a【答案】D【分析】分子分解因式,再约分得到结果．【详解】解：,故选：D．【感悟】本题考查了分式的约分,掌握提公因式法分解因式是解题的关键．例题3．(2023·广东广州·中考真题)下列运算正确的是(

)A． B．()C． D．()【答案】C【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则,同底数幂除法法则,同底数幂乘法法则,负整数指数幂计算法则分别计算判断．【详解】解：A、,故该项原计算错误;B、(),故该项原计算错误;C、,故该项原计算正确;D、(),故该项原计算错误;故选：C．【感悟】此题考查了整式的计算,理解幂的乘方法则,同底数幂除法法则,同底数幂乘法法则,负整数指数幂计算法则是解题的关键．例题4．(2023·内蒙古·中考真题)下列运算正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质判断即可．【详解】A、,运算错误,该选项不符合题意;B、,运算错误,该选项不符合题意;C、,运算错误,该选项不符合题意;D、运算正确,该选项符合题意．故选：D．【感悟】本题主要考查二次根式加减、积的乘方、分式的加减、分式的乘除,牢记二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质是解题的关键．例题5．(2023·青海西宁·中考真题)下列运算正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．【详解】解：A、,不能合并,原计算错误,本选项不合题意;B、,原计算错误,本选项不合题意;C、,计算正确,本选项符合题意;D、,注意运算顺序,原计算错误,本选项不合题意;故选：C【感悟】本题考查二次根式的运算,乘法公式;注意掌握运算法则是解题的关键．例题6．(2022·广东·中考真题)单项式的系数为．【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数,从而可得出答案．【详解】的系数是3,故答案为：3．【感悟】此题考查了单项式系数的概念,解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．例题7．(2022·江苏宿迁·中考真题)按规律排列的单项式：,,,,,…,则第20个单项式是．【答案】【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数,从而可得答案．【详解】解：,,,,,…,由偶数个单项式的系数为：所以第20个单项式的系数为第1个指数为：第2个指数为：第3个指数为：指数为所以第20个单项式是：故答案为：【感悟】本题考查的是单项式的系数与次数的含义及规律探究,掌握”从特殊到一般的探究方法”是解本题的关键．例题8．(2023·江苏镇江·中考真题)使分式有意义的x的取值范围是．【答案】【分析】如果要使分式有意义,则分母不能为零,即可求得答案．【详解】解：本题考查了分式有意义的条件,即,解得,故答案为：．【感悟】本题考查了分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是关键．例题9．(2023·浙江衢州·中考真题)(1)计算：;(2)化简：．【答案】(1);(2)【分析】(1)利用平方差公式求解即可;(2)利用平方差公式和分式的性质进行化简即可．【详解】解：(1);(2)．【感悟】本题考查分式的化简,熟练掌握平方差公式是解题的关键．例题10．(2023·辽宁丹东·中考真题)先化简,再求值：,其中．【答案】,1【分析】先将分子分母因式分解,除法改写为乘法,括号里面通分计算,再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简,根据负整数幂和0次幂的运算法则,求出x的值,最后将x的值代入计算即可．【详解】解：,∵,∴原式．【感悟】本题考查分式的化简求值,熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则,以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．代数式是代数部分的基础.也是数学抽象的根源,好多同学感觉数学难学的原因之一就是数学太抽象,由小学数的运算到初中代数(字母)的运算,很多孩子难以接受,其实,字母与数是一样的,字母就是来代替数的.代数式主要有三种形式：整式、分式、二次根式.学好这部分内容重在概念和运算,一定要理解所有概念和公式,再通过一定的题组训练,就可以很牢固的掌握.理解整式、分式、二次根式的相关概念,对涉及到的运算法则和公式一定要多问问为什么是这样,能自己推导公式,并结合下面的题组训练达到熟练应用.1．下列各式运算结果中,系数与次数相等的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据合并同类项,同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法依次计算,然后判断即可．【详解】解：A、,系数与次数不相等,不符合题意;B、,系数与次数相等,符合题意;C、,系数与次数不相等,不符合题意;D、,系数与次数不相等,不符合题意;故选：B．2．下列各式中,运算结果为六次单项式的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据单项式的次数,幂的乘方,积的乘方,同底数幂的乘法进行计算即可求解．【详解】解：A．＋为多项式,次数为4,故该选项不符合题意;B．,次数为8,故该选项不符合题意;C．,次数为6,且为单项式,故该选项符合题意;D．,次数为12,故该选项不符合题意．故选C．3．多项式的次数和常数项分别是(

)A．, B．, C．, D．,【答案】C【分析】根据多项式的相关概念即可求解,几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．【详解】解：多项式的次数和常数项分别是,故选：C．4．下列各式中,是多项式的是()A． B．2023 C． D．【答案】D【分析】根据多项式的定义解决此题．【详解】解：A．根据多项式的定义,单项式,不是多项式,那么A不符合题意;B．根据多项式的定义,2023是单项式,不是多项式,那么B不符合题意;C．根据多项式的定义,是单项式,不是多项式,那么C不符合题意;D．根据多项式的定义,是多项式,那么D符合题意．故选：D．5．若的运算结果是关于x的二次二项式,则m的值等于(

)A．或0 B．2或0 C．或2 D．2或或0【答案】B【分析】先利用多项式乘法公式计算出,再根据一次项的系数或常数项为0计算m的值．【详解】解：,运算结果是关于x的二次二项式,或,解得或,故选B．6．下列运算正确的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了整式的运算,掌握整式的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键;利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则逐个计算得结论;【详解】解：,故选项A错误;,故选项B错误;,故选项C正确;,故选项D错误．故选：C．7．下列计算正确的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法和积的乘方运算法则逐一判断即可求解．【详解】解：A、,原选项错误,故不符合题意;B、,原选项错误,故不符合题意;C、,原选项错误,故不符合题意;D、,原选项正确,故符合题意;故选D．8．下列计算正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则、合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简,进而判断得出答案．【详解】解：A．,故此选项不合题意;B．,故此选项不合题意;C．,故此选项不合题意;D．,故此选项符合题意．故选：D．9．下列因式分解正确的一项是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．【详解】解：A、不符合因式分解的定义,故本选项不符合题意;B、符合因式分解的定义,且因式分解正确,故本选项符合题意;C、,不符合因式分解的定义,故本选项不符合题意;D、,原因式分解错误,故本选项不符合题意;故选：B．10．已知,,则的值是()A． B．6 C． D．1【答案】A【分析】先将因式分解,再把,代入计算即可．【详解】解：∵,,∴,故选：A．11．要使分式有意义,则x应满足的条件是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式有意义,∴,∴,故选B．12．计算的值等于()A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：,故选：D．13．若为实数,化简的结果是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：依题意,,故选：D．14．下列二次根式中,为最简二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义：被开方式不含开得尽方的数,分母不带根号或根号下不含分母的二次根式是最简二次根式直接判断即可得到答案;【详解】解：,不是最简二次根式,,不是最简二次根式,是最简二次根式,,不是最简二次根式,故选：C;15．下列计算正确的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根数的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：A、和不是同类二次根式,无法合并,故此选项不合题意;B、,故此选项不合题意;C、,故此选项不合题意;D、,故此选项符合题意,故选：D．16．如果,那么代数式的值为．【答案】7【分析】此题考查了代数式求值问题,用整体代入法求解即可．【详解】解：∵,∴,∴,故答案为：7．17．定义：任意两个数a、b,按规则扩充得到一个新数c,称所得的新数c为”鸿蒙数”,若,,并比较b,c的大小,bc．【答案】【分析】根据定义用x表示出c,再利用减法比较b、c的大小即可．【详解】解：∵,,∴,∴,∴,故答案为：．18．计算的结果是．【答案】4【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：,故答案为：4．19．分解因式：．【答案】【分析】根据提取公因式,再运用公式法,可分解因式．【详解】解：,,,故答案为：．20．已知,其中A、B为常数,那么的值为．【答案】1【分析】由,可得,即可求出与的值．【详解】解：由可得,,,,,．故答案为：1．21．若分式的值为0,则a的值为．【答案】2【分析】先进行因式分解和约分,可得,再进行求解即可．【详解】解：原式,∵分式值为0,∴,解得：,故答案为：2．22．已知,化简求值：．【答案】【分析】先将小括号内的式子进行通分计算,然后再算括号外面的,最后利用整体代入思想代入求值即可．【详解】解：,,,,原式,故答案为：．23．当时,代数式的值是．【答案】【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简,把的值代入计算即可．【详解】解：原式,将代入,