初三数学复习攻略

实数

一、知识要点概述

f正整数〕

整数零

有理数［负骐?

有限小数或循环小数

1、实数正分数

分数J

1负

.正苏里数,

无理数<>无限不耐小数

负硝数

2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对

应关系.

g

3、有理数都可以表示为P的形式（p、q为整数且p、q互质）；任何一个分数都可以化成

有限小数或循环小数.

4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数

不能为0;开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、

除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行.

5、实数的大小比较有三种方法：

①数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数.

②差值比较法：对于实数a,b,当a—b>0时a>b；当a—b=0时，a=b；当a—b

VO时aVb.

a.aa.

—>1-<41-=1

③商值比较法：对于两个正数a,b,当3时a>b；当小时a<b；当b时，

a=b.

6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一

位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的

有效数字.

7、科学记数法：把一个数记成axlO”的形式，叫做科学记数法，其中lW|a|<10,n为整

数，科学记数法表示的数的有效数字以a的有效数字计算.

8、非负数：正数和零统称为非负数，象lai,上6(°》0)形式的数都是表示非负数.

9、非负数的性质：①最小的非负数是零；②若n个非负数的和为零，则每个非负数都

为零.

二、典例剖析

例1、实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简恰.

b0a

解：

由数轴可知：a>O>b,laKIbl得b-a〈O,a+b<0,所以：

\b-a\+yj(a+b')2=\b-a\+\a+b\=a-b-(a+b)=-2b.

点评：

数形结合的思想是本题的解题关键，应学会从数轴上读出足够多的信息为自己所

用，同时要熟记各种法则及应用.

例2：计算：0(0)2+(_孑_疝(招_1尸

11109341oo

(2)-40ix(l-+—)-0.5-(--)X---X[(-2)2-22]

24144433

解：⑴原式=2+l-2Sx——

y/3~1

=2+1-2^^^=2+1-3-4=-百

点评：⑴注意加=13*0),=-J-3*o,P为正整数)运用.

ap

⑵二次根式分母有理化运算.

解⑵原式=-弓Xg+x2x(-1)xy-x[4-4]

81289r,4、41

--x----x2x(--)x---xOn

2144'3，33

289

点评：①带分数在乘除运算中宜化成假分数；

②不能简单地将…+(-+xg看成是-(-1)；

③不可将-2?误认为是4.

例3、(1)如果1〉-3|+|2芯-4卜-必5,求2x—y+z的值.

(2)若Ix+2y+3l+x?+y2=2xy,求乂丫的值.

解：(1)原等式劳|乡为|<7-3|+|2二-4|+^/?三=。

，-3=。y=3

由非负数的性质得，2x-4=0<x=2

z-3=0z=3

:.2x-y+z=2x2-3+3=4

(2)原等式化为：|x+2y+3|+(x-y)2=0

由非负数的颉可得尸+2y+3=o二,

[x-y=0[y

点评:

算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意几个非

负数的和为零时.，可得绝对值内代数式为0,算术平方根的被开方数为0,平方的底数

为0.

例4、填空题：

(1)近似数3.20x10,精确到位，有个有效数字.

(2)将908070万保留两个有效数字，用科学记数法表示为.

(3)光的速度约为3x10,千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5x10,秒，则地

球与太阳的距离是千米.

解：(1)十万，3

(2)9.1xl09

(3)3x10x5x102=1.5x108千米

点评：

科学记数法是中考中常考的题目.应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五

入法求实数的近似值，并会用科学记数法.

例5、已知a、b是有理数，且32412420，求a、b的值.

解：把已知等雌理得：+=0

-a+—b-2—=0a=3-

因为&、娓有理数二:44解得；

—a——b—1—=08=4—

121220I5

点评：

把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组.

例6、函数y=lx+ll+lx+2l+lx+3l,当x取何值时，y有最小值且最小值是多少？

分析：

先确定三个绝值的零点值，把x的取值范围分为四个部分，然后逐一讨论所求代数

式的取值情况从而确定其最小值.

解:

当xN—1时，y=x+1+x+2+x+3=3x+6N3；

当一2gxV—1时，y=­x-1+x+2+x+3=x+4>2；

当一3gxV—2时，y=—x—1—x—2+x+3=—x,此时无最小值；

当x<—3时，y=—x—1—x—2—x—3=—3x—6,此时无最小值.

所以当x=-2时，y的值最小，最小值是2.

点评：

解答此类题目的一般步骤是：①求零点，划分区间；②按区间分别去掉绝对值的符

号.

整式

一、知识要点概述

1、代数式的分类

［［整式］单项式

加加一有理式［多项式

代数式《八-I

.分式

无理式

2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.合并同类

项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变.

3、整式的运算

(1)整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项.

(2)整式的乘除

a.辕的运算性质

@ain-al-a'",n(a/O,m,n为整数)

②(am)"=a'""(a#O,m,n为整数)

③(ab)”=a-b”(n为整数，a#0,b#0)

b.零指数福与负整数指数辕

a0=l(awO)

«-p=—=为正整数)

ava

(3)乘法公式

a.平方差公式(a+b)(a—b)=a?—b2

b.完全平方公式：(a土b)2=a，±2ab+bz

4、基本规律

(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类.

如提整式但江是分式,是硒式

X

(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则(字母相同，相同字母的指数相同；与系数

无关，与字母的排列顺序无关.)

(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似.

5、因式分解：把一个多项式化为儿个整式的积的形式叫多项式的因式分解.

6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法.

7、因式分解常用的公式如下：

(Da2-b2=(a+b)(a—b)

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2.

二、典例剖析

例1、填空题

(1)如果单项式3与一2x3尸b是同类项，那么这两个单项式的积是

(2)m,n满足Im—2l+(n—4)2=0.分解因式：(x?+y2)—(mxy+n).

解：⑴依同类项的定义得"=3,.p=1

a+b=2\b=1

故这两个单项式分别是://与一2种R它们的积是-36州

⑵由非负数的性质得F-27二『二2

n-A=0［附=4

所以原式=(/+,)-(29+4)

=(z2-2xy+y2)-4=(x-yf-4

=(x-y+2)(x-y-2)

例2、若3x3—x=l,求9x叶12x-3x2-7x+2008的值.

分析:

此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含

有3x3—x—1的乘积的代数和的形式，再求其值.

解：由3x3—x=l得3x3—x—1=0

所以9x4+12x3-3x2-7x+2008

=3x(3x3—x—l)+4(3x3—x—1)+2012

=2012

例3、已知多项式2x?+3xy—2y2—x+8y—6可分解为(x+2y+m)(2x—y+n)的形式，求

m3+1

的值.

分析：

由题设可知，两个一次三项式的积等于2x?+3xy-2y」x+8y—6,根据多项式恒等

的条件可列出关于m,n的二元一次方程组，进而求出m、n.

解：由题意得：

(x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy-2y-x+8y-6

又因为(x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy-2yz+(2m+n)x+(2n—m)y+mn

根据多项式恒等的条件，得：

2溺+理=-1

<2力一羽=8解得〈加

«=3

I%汗=-6

7

8-

点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系

数.

例4、计算("^)(1-…(1-募)”盛).

分析:

本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差

公式使计算简化.

解：原式=(1-3(1+-)(1--)(1+-)X-X(1_——)(1+—)x(1---)(1+-)

'22八3八32007八2007，2008八2008’

132432006200820072009

-X—X—X-X—X---XXXX

223342007200720082008

12009=2009

2X2008=4016

点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算.

a2+b2=2005_c2

例5、已知a、b、c,满足3,求(a—by+(b-c>+(c—a)。的最大值.

分析：

条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最

大值.

解：由已知得12+*+/=陋

3

..3_妨2++(c-a)2

=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca

=3(7+占2+,2)_(白2+占2+02+2ab+2bc+2ca)

=3x竿-Q+5+C)2

=2005-(<?+Z?+c)2<2005

•(a-b)2+(b-cP+(c-4的最大癖2005.

点评：适当翊，合理I己方是解决这些问题的关键

例6、若2x」kx2+3被2x+l除后余2,求k的值.

分析：

要求k的值，需找到关于k的方程，由2x」kx2+3被2x+1除后余2,可知2x,

-kx3+l能被2x+l整除，由此可得关于k的一次方程.

解：・・・2/-以2+3被2x+l除后余2

-29-以2+1能被2才+1整除，

令2x+l=0得x=」

2

把x=-L代入+

2

32

2X(-1)-A;(-1)+1=0

11.,

一一—-k+1=n0

44

解得1=3.

点评：关键是利用余数定理找出关于k的方程，当f(x)能被x-a整除时，f(a)=O.

例7、分解因式

(l)a4+4；

(2)x3-3x2+4；

(3)x2+xy-6y2+x+13y-6；

(4)(x+v)(x+v+2xv)+(xv+l)(xy-1)

解：(l)a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2—(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

点评：

本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项

利用公式去分解.

(2)解法一：x5—3x2+4=x'+x2—4x2+4

=x2(x+l)-4(x+l)(x-l)

=(x+l)(x-2)2

解法2：x3—3x:+4=x3+l—3x2+3

=(x+l)(x2-x+l)-3(x+l)(x-1)

=(x+l)(x2—4x+4)=(x+l)(x—2)2

解法3：x3—3x2+4=x3+x2-4x2—4x+4x+4

=x2(x+l)—4x(x+l)+4(x+l)

=(x+l)(x2—4x+4)

=(x+l)(x-2)2

点评：

这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或

常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解.

(3)设X2+X、T-6y2+x+13v-6=(x+3y+m)(x-2、，+n)

=x2-2xv+nx+3xy-6V2+3nv+mx-2my+mv

=x2+xy-6y2+(n+m)x+(3n-2m)v+mn

加+力=1

<3«-2^=13解得『=-2

〔用=3

比较左、右两边对应项系数得：伊%二-6_______________

:.x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y-2)(x——2y+3)・

点评：

这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项

式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x2+xy—6y2=(x+3y)(x—2y),由此可知,

这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解.

(4)设x+y=a,xy=b

则原式=a(a+2b)+(b+l)(b—l)=a2+2ab+b2-l

=(a+b)2—l=(a+b+l)(a+b—1)

=(x+y+xy+l)(x+y+xy-1)

=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)

点评:

整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x+y=a,xy=b进行代换后,

再运用公式法和提公因式法来分解.

分式

一、知识要点概述

1、分式的概念和性质

A

(1)定义：若用A、B表示两个整式，A+B可以写成五的形式，若B中含有字母,

A

式子石叫做分式.

(2)性质：幺=幺出,4=生丝(其中阴是不等于零的整式)

BBxMBB+M

说明：

1°分式的值为0的条件是：分子为零且分母不为0;2。当分母为零时，分式无意义;

3。分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似.

2、分式的运算法则

⑴加嫩：2"虫坐竺

cccbdbd

小、安以、4acacacadad

(2)乘除法：---=-=—

ba.bdbabebe

⑶就:n=a为遽黝

⑷储法则：，=；=_：=_二

b-b-bb

说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或

分母中第一项符号.

3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分.

4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母

分式，叫做通分.

二、典例剖析

A2-x-6

例1、若分式X-3的值是绝对值最小的实数.则乂=.

分析：

绝对值最小的实数是0,从而得出分式的值为0,则分子为零且分母不为0,故可求

出X.

由题意得止二二=0/.P-^-6=0解得力=一2

献.1U-3*0

说明：

分式的值为0,分子为零都知道，但往往忽略分母不为0,这是此类题目的考察重

点.

M+3-—10/+3"-10

例2、如果n为正整数，6阀-16是既约分数，那么7+6忽-16一一

分析:

n2+3n—10=(n+5)(n—2),n2+6n-16=(n+8)(n—2)分式，分母有公因式n—2,

但此分数为既约分数，从而有n—2=L易可求n,进而求出此分式值.

解：由题意知£+3"1°=(«+5)(力-2)

是既约分数:盟-2=1,二盟=3

n+6理一16(«+8)(涔-2)

•.原式=瞽*个哙分数

说明：

解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n的取值，注意化简分式时先

要分别将分子、分母分解因式，再约分.

恸独简a(a+，(a+c),旅(c+a),2c2(a+0

例、化简.(a-b)(a-c)(b-c)(b-d)(c-a)(c-b)'

分析:

先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通分，然后将原式进行因式分解，以便

约分化简.

解原式_a(a+5)(a+c)(8-c)+2b2(c+a)(c-a)+2c2(a+b)(a-B)

'(a-b)(b-c)(a-c)

_a(a+B)(a+c)(b-c)-2a1(t?~c2)

(a-l))(b-c)(a-c)

_a(b-c)[(a+8)0+c)-2a(Z)+c)]

(a-b)(b-c)(a-c)

a(b-c)(a-b)(a-c)

(a-b)(b-c)(a-c)

6x+3

例4、若x取整数，则使分式左彳的值为整数的x有()

A.3个B.4个

C.6个D.8个

分析：

6x+3

将分式五二T进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和

的形式，然后再讨论其整数的个数.

解：

..6x+3_3(2x-l)+6_3+6

2x-l2x-12x-1

.•.当2x-l=±l或±3时,x为整数，0,1,2,-1；

当2x-l=±6或±2时;x都不是整数.

所以符合题意的x的取值只有4个，应选B项.

说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式.

例5、已知初+2人5=2方+”1--3。+2=2,求。+2办3。-2的值

a-b+23b+2c-82c+a-b4a-3b+c+7

分析：由已知可得到关于a、b、c的值，然后代入求值.

解：由3a+2b—5=2(a-b+2)得a+4b—9=0①

由2b+c—l=2(3b+2c—8)得4b+3cT7=0②

由c—3a+2=2(2c+a-b)得3c+5a—14=0③

解联立①②③组成的方程组得a=l,b=2,c=3.

a+2B+3c-21+4+9-212,<

4t2-3b+c+l4-6+3+78.

说明：对于含条件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行

分析适当变形，并根据需要加以转化.

b-cc-aa-b222

例6、求证:--------+---------1---------=---+---+---

(a-b)(a-c)(b-c)fb-a)(c-a)(c-b)a-bb-cc-a

分析：从等式的左边入手，先将三个分式的分子添项然后将每个分式分为两M

式的差俄不吃再分组相加即可瞬证.

解...b-c_(a-c}-(a-b)_1_1

(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)a-ba-c

同理—=

e-cXb-a)b-cb-a

a-b11

(c-a)(c-b)c-ac-b

―5111111

5&2=---------------+----------------+----------------

a-ba-cb-cb-ac-ac-b

111111

a-bc-ab-ca-bc-ab-c

222七

=----+-----+-----二石迈

a-bb-cc-a

即等式成立.

说明：添项、拆项是分式计算与证明的常用方法.此题可抓住左边分式的分子与分母的

特点进行突破，如b—c=(a—c)—(a—b)就可以进行分拆.

例7、己知a+3-J"3+c=-a+&+c,求(&+&)@+c)(c+a)的值

cbaabc

分析：己知条件以连比的形式出现可引进一个参数表示连也从而将分式化为

整式

有江援+b-ca-b+c-a+b+c,

解：设-------=--——=---------=k

cba

当a+与+cw耐，由等比的性质可知无=1

故此时a+5=2c,a+c=2b,b+c=2a,所以此时原式=8.

当a+A+c=0时，可得a+3=-c或3+c=-as^a+c=-b,

此时原式=(-1)3=7

点评:应用等比性质?4=…=巴=;+：+…+[=?解题时，不能忽视其成立的

ban匕+d+•••十力b

条件占+d+…+福工0,否则会漏解或出错.

二次根式

一、知识要点概述

1、二次根式：式子6(。»°)叫做二次根式.

2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式.

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个

二次根式就叫同类二次根式.

4、二次根式的主要性质

(1)(亚)2=妾0)

Z(a>0)

=|a卜<0(a=0)

-a(a<0)

(3)y/ab=0)

闻I浅—℃°)

5、二次根式的运算

(1)因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根

号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到

根号外.反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去.

(2)有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互

为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化.

(3)二次根式的加减法：

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.

（4）二次根式的乘除法

二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将

运算结果化为最简二次根式.

（5）有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以

及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.

二、典例剖析

例1、己知尸石-昌+2,则/+/=--------•

分析:

因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反

数，不妨从二次根式定义入手.

\jp-2

解:由J574得£^2=0,二/=2/=2.

14-5x

•/+/=2+22=6.

例2、化简1+3+—所得结果为()

\yr(«+1)

AIII-11

A.1+—+------B.1--+------

n盟+1n咒+1

nn+\n咒+1

分析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式

解：选C

原式=f(l+l)2--+—

V«n3+1)2

例3、已知xy>0,化简二次根式Vf的正确结果是（）

A.⑤B.-苏C.日D.■-日

分析：

解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号

外的因式移入根号内.

解：选D

因为-当今双和>0得x<o,y<0.

所以原式=&苴%=或原式=~Jx2,（~-^）=

说明：

运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”

与“逆用”特别地字母因式由根号内（外）移到根号（外）内时必须考虑字母因式隐含的符号.

例4、计算:

⑴旗+4出+3企

（函+召）（4+物

TfO+^/14--715-721

（;Tio+Vi4+-Ji5+V2T

S、1111

（3）-----+----------+----------+•■■+--------------

3+第503$7击+5/49747+47^49

3厉-M-2m+34一在+18

⑷75+273+1-

分析：若一开始就把分母有理化则使计算复杂化观察每题中分子与分母的数字

特点通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系以此为解题的突破口.

（指+#）+3（并+应）

解：（1）原式

函+币）函+⑨

=-7=---广+—f=---产="6y

原式=有+"）-布（有+0）=（召+』）（向-我==2尿一5

（小"凤0+"）+收好+了）~（有+0）函+/）一显+不-

_____________]

⑶考察一般情形=

(2«+1)->/2«-1+(2/-1)J23+1

=_______________1_______________

J2」T72"+1(J2总+1+J2JT)

_J2J+1-、2JT

2V2«-1»V2«+1

所以原式=1(1-

2

=-(1-

2、

（4）原式由口5-扬+2旧G拒-71)+(3万-&)

君+2君+1

G陋-&)(书+2布+1)3/

书+2出+1

例5、己知人潮为正整数且6+3&=质及求苍y的值

分析：因为只有同类二次根式才能合并，而6+3后=回无故&后都与师为

同类二次根式.

解：因为痢=10"故只能有以下三种情况：

析+3④=4+9/=44+6有=7召+3/=104

解得什3,2=48[为=147

Ui=27[y2=12I为=3

a+b-\-4-]b-2=3-jc-3--c-5

例6、已知2,求a+b+c的值.

分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知

量的值呢？考虑从配方的角度试一试.

解：将已知等式整理配方，得

（2切+（3一2）2+；（户-3八。

J"1T=0

由非负数的性质得＜^2-2=0

^^3-3=0

a=2rb=6fc=12

故a+8+c=20.

点评：

应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，lai,a叫而是三种重要

的非负数表现形式.判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全

平方式，如：。±20+匕=（国士&淤

在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简

+2^/5+《4-2旧=+1尸+-1）。=旧+1+后—1=2出

710+8由+2近=J10+8J（应+1尸=718+872=J（4+啰猿=4+&

不等式与不等式组

一、知识要点概述

1、不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一-个数或同一个整式不等号的方向不变.

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

2、不等式（组）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似,但要特别注意不等式的两边都乘以

（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部

分，就得到不等式组的解集.

（3）设aVb,那么：

x>a

<

①不等式组1X>b的解集是X>b（大大取大）；

’X<a

<

②不等式组〔X〈&的解集是xVa（小小取小）；

x>a

<

③不等式组口<b的解集是a<x<b（大小、小大中间找）；

x<a

<

④不等式组的解集是空集（大大、小小题无解）.

3、不等式（组）的应用

会列一元一次不等式（组）解决实际问题，其步骤是：

（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；

⑵解不等式（组）

（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案.

二、典例剖析

例1、（1）已知不等式3x—a岂）的正整数解恰是1,2,3,则a的取值范围是.

x-a>0①

<

⑵已知关于X的不等式组②无解，则a的取值范围是.

分析：

对于（1）,由题意知不等式的解在x<4的范围内；对于（2）,从数轴上看，原不等式

组中两个不等式的解集无公共部分.

解：

3<-<4

⑴由题意得3,.\9<a<12.

（2）由（1）得x>a,由（2）得烂3,因不等式组无解，；.aW3.

说明：确定不等式（组）中参数的取值或范围常用的方法有：（1）逆用不等式（组）解集

确定；（2）分类讨论确定；（3）借助数轴确定.

例2、解下列关于x的不等式（组）.

（l）lx-2l<2x-10；

（2）（2mx+3）—nV3x.

分析：

对于⑴确定“零界点”x=2（令x-2=0得x=2）分x>2和x<2,去掉绝对值后求出不等

式的解集；对于（2）,化为ax<b的形式，再就a的正负性讨论.

解：⑴当2时,原_不_等式化为Xx—2:2二0:，.解得才》8

x-2£2x-10

当XV2时，原不等式化为尸一2二。

[2-x<2x-10

解之得x<2且x云4,所以“侨卡情形不等式无解，故原不等式的解集为X》8.

(2)由原不等式得(2附-3)x<«-3

当2附-3>0,即附>』时，其解集为x<士之

22m-3

当2加-3<0,即加<3时,其解为工>士乙

22m-3

当2加=3即附二瓦>3时,不等式的解集为所有实数；

2

当加=3年w多寸，原不等式无解.

2

说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答.

例3、已知3a+2b—6=ac+4b—8=0且a>b>0求c的取值范围.

分析•：消去a,b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围.

4

解：解圻公谢旗组"：%；：；得,6-c

12-3-

6-。

g

・・・a》S>0,所以0<12-3cW4解得qWc<4.

2x-3a<7b

例4、⑴若不等式组的解是5<x<22,求a、谢取值范围

6b-3x<5a

2x-l1

(2)已知不等式组I->的解集为x>2,求撤范围.

x>a

分析：

已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应

用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”,

应取有针对性的方法.

解：⑴原不等式组可化为《

x>；（-5仪+6b）

由题蒿1导：(-5。+65)<x<；(3a+7b)

又由题意知,该不等式组的解集为5<x<22

-(3a+7b)=22叫rT；,

1(-5<?+6^)=5I

(2)原不等式组可化为1>2,依题意知x>2

[x>a

..<7<2(注意：这里不肓褊掉等号)

例5、己知方档且产了=1+痴的解满足芯+y<0,扬的取值范围

矛+3y=1-m

分析?取看成己知数解关于X,盘方程组.再将所得结果代入x+y<0,就得到一

个关于黑的不等式解这个不等式,就可以求出血的取值范围.

解:解旗组c产厂1+3o加得x=—4(l+5m)

I-加卜=23那)

,.•%+y<0,-(1+5加)+9(1-3那)<0,解得洸<-1.

44

枷的取值范围勤<-1.

例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为

促销制定了两种优惠方法：

甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；

乙：按购买金额打九折付款.

某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x*O)本.

(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式；

(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购

买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案.

分析：

(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中

因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解.

解：

(1)依题意，可得y,=25xl0+5(x-10)=5x+200(x>10)；

y,=(25x10+5x)x90%=4.5x+225(x>10)

(2)由(1)有yy6=0.5x—25

当y单一y4=0时，解得x=50；

当yLy>0时，解得x>50；

当yLy,<0时，解得x<50.

所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种

办法付款，当购买本数在10~50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大

于50本时，选择优惠办法乙更省钱.

(3)①因为60>50,由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买.

若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25x10+

5x60)x90%=495(元)

②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10—m)支毛笔，用优惠

办法乙购买60-(10-m)=m+50本书法练习本，设付款总金额为P,贝小

P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]x90%=2m+475(0<m<10)

所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练

习本时，P取得最小值为：2x0+475=475(元)

故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最

省钱.

例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg,乙种原料212kg,计划利用这两种原料生产A、

B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg,乙种原料1.5kg,生产成本是

120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg,乙种原料3.5kg,生产成本是200元.

(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出

来.

(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x,试写出y与

x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是

多少？

分析：

若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得

x的取值范围.由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成

本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本.

解：

(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80—x)件，依题意，可得：

|5x+2.5(80-%)<290

[1,5X+3.5(80-%)<212

解得：34<x<36

因为x为整数，所以x只能取34或35或36.

所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：

第一种：生产A种产品34件，B种产品46件；

第二种：生产A种产品35件，B种产品45件；

第三种：生产A种产品36件，B种产品44件.

(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80—x)件，依题意，可得：

y=120x+200(80—x)即y=-80x+16000(x取34或35或36)

由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为-80x36+16000=13120元，即第

三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120

元.

说明:

利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件（一般是整数）的

值，是解方案设计型应用题的常用方法.

方程与方程组

一、知识要点概述

1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质.

2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况.

(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的

系数化为1.

(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：

b

X——

①当a/)时，方程有唯一•解4；

②当a=0,屏0时，方程无解.

③当a=0,b=0时，方程有无穷多解.

3、一元二次方程的一般形式是ax叶bx+c=O(ar。)

其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的求根公式是：

百,2=噂-4"©2-4ac^Q)

注意：求根公式成立的条件为：①时0；②4acK).

5、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根的判别式是△=b」4ac.当△>()时，方程有两

个不相等的实数根.

-bl^b2-4ac

x

l,22a

b

&==—

当△=()时，方程有两个相等的实数根，即2a.

当△<()时，方程没有实根，反之成立.

bc

Xi+x2=x>x2=—.

6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(aM)的两根为氏，x2,贝U&。

7、以两数a、p为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(a+p)x+aP=0.

8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法.

9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”.①若方程组中有一个是一

次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则

一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解.

10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，

并要验解.

11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究.

二、典例剖析

例1、方程X-声一言一如而(X、削解是.

分析:按部就班地解，显然繁杂视］)为整体，先去括号可获得简解

解:去X-jX+-^-(X-^)=

4167167

得L=(J

4

x=0

点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧.

⑴若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；

(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；

⑶恰当用整体思想.

例2、解下列关于x的方程.

(1)4x+b=ax—8(a?4)

(2)mx-l=nx

=—(x+2m)

⑶34

分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论.

解:⑴原方程朔为(4-加=-8-占

•・・。工4,..4一。工0

..方程的解为入=里.

(2)原方程化为(加-M)X=1

当加W4寸，方程有唯一解X=——.

m-n

当羽=加寸,原方程无解.

(3)原方程化为(4加一3)x=4加福+6羽

当四时，原方程有唯一解x=如+卑

44m-3

当加=3，阀=-手寸，原方程有无数个解；

当加=3,阀时,原方程无解.

42

例3、解下列方稗且

123x+17y=63

⑴[17x+23y=57

--1--+---2---=1.

⑵卜T所3

„=0

2x-22y-l

（3）[a+&=&+&=为+/=-=a9“+X1998=百998+百999=1

[%+X2+---+X1998+药999=1999

分析:依据方程组的特点灵活选用不同的解题方法,对于(2)设<=」=4

X-12y-l

通过换