八年级上册数学知识点提升练习02-全练版：13.4　课题学习　最短路径问题

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题基础过关全练知识点1利用轴对称知识解决最短路径问题1.【教材变式·P85问题1】如图,A,B两个小镇在河流的同侧,随着居民用水量的增加,现需要在河边l上修建一个自来水厂P,分别向两个小镇供水,下列图形中所用水管最短的是()ABCD2.如图所示的4×4的正方形网格中,有A、B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选在()A.C点B.D点C.E点D.F点3.(2021辽宁大连六校联考)如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA上任意一点E,再爬到OB上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短为.

知识点2利用平移解决造桥选址问题4.如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座桥,桥的方向与河垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短?5.如图所示,在P、Q两村之间有两条河,且两条河的宽度相同,从P村到Q村,要经过两座大桥EF、MN.现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥,问:如何设计这两座大桥EF、MN的位置,使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置)能力提升全练6.(2022黑龙江齐齐哈尔期末,10,★★☆)如图,在△ABC中,直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D、E,点F为直线l上任意一点,AC=3,CB=4,则△ACF周长的最小值是()A.4B.6C.7D.107.(2018天津中考,11,★★☆)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF8.(2021青海西宁中考改编,17,★★☆)如图,△ABC是等边三角形,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接BM,MN,当BM+MN的值最小时,∠MBN的度数是.

9.(2020青海西宁中考改编,18,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是腰AC的垂直平分线,若点M在EF上运动,则△CDM周长的最小值为.

10.【新考法】(2023福建福州模拟,15,)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM的度数为.

素养探究全练11.【运算能力】已知:M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点.(1)如图1,若∠O=∠OMN,过M作射线MD∥OB,点C是射线MD上一动点,∠MNC的平分线NE交射线OA于E点,试探究∠MEN与∠MCN的数量关系;(2)如图2,若P是线段ON上一动点,Q是射线MA上一动点,∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值.图1图2备用图

答案全解全析基础过关全练1.B作A点关于直线l的对称点A',在直线l上任取一点P,连接AP,BP,A'P,A'B,由对称性可知,AP=A'P,∴AP+BP=A'P+BP≥A'B,∴当A'、P、B三点共线时,AP+BP的值最小,故选B.2.A如图,点A'是点A关于直线a的对称点,连接A'B,则A'B与直线a的交点即为点P,此时PA+PB最短,∵A'B与直线a交于点C,∴点P应选在C点.故选A.3.答案10cm解析由题意可知当E为CD与OA的交点,F为CD与OB的交点时,小蚂蚁爬行的路径最短,∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,∴ME=CE,MF=DF,∴小蚂蚁爬行的路径最短=CD=10cm.4.解析如图,作BB'垂直于河岸GH,且BB'等于河宽,连接AB',与河岸EF交于P,将PB'沿与河垂直的方向平移,得到DB,连接PD,则PD∥BB'且PD=BB'.利用平移可知PB'=BD.根据“两点之间,线段最短”,可知路径A→P→D→B最短.故桥架在PD处符合题意.5.解析如图所示.(1)过点P作PA⊥l1,垂足为A,过点Q作QB⊥l3,垂足为B;(2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度;(3)连接CD,分别交l2和l4于点E和M;(4)过点E和M分别作l1和l3的垂线,垂足分别为F和N;(5)连接PF和QN,则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意的最短路线.能力提升全练6.C∵直线l垂直平分AB,∴A,B关于直线l对称,∴F与D点重合时,AF+CF的值最小,最小值为BC的长,∴AF+CF的最小值为4,∴△ACF周长的最小值=(AF+CF)的最小值+AC=BC+AC=4+3=7,故选C.7.D如图,连接CP,CE,由轴对称可得△ADP≌△CDP,∴AP=CP,∴AP+PE=CP+PE,∴当点E,P,C在同一条直线上时,AP+PE有最小值,最小值为CE的长,由AB=CD,∠ABF=∠CDE=90°,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,∴AF=CE,∴AP+EP的最小值等于线段AF的长,故选D.8.答案30°解析如图,连接CM,CN,∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴BM=CM,∴BM+MN=CM+MN,即当C、M、N三点共线时,BM+MN有最小值,最小值为CN的长,∵△ABC是等边三角形,点N是AB的中点,∴CN平分∠ACB,∴∠NCB=30°,即∠MCB=30°,∵MC=MB,∴∠MBC=∠MCB=30°,∴∠MBN=60°-30°=30°.9.答案18解析如图,连接AM,∵EF垂直平分线段AC,∴MA=MC,∴DM+MC=AM+MD,∴当点A、D、M共线时,DM+MC的值最小,最小值为AD的长,∴DM+MC的最小值为13,∴△CDM周长的最小值=13+5=18,故答案为18.10.答案88°解析如图,作点A关于BC的对称点P,关于DE的对称点Q,连接PQ,与BC相交于点M,与DE相交于点N,则AM=PM,AN=QN,∴∠P=∠PAM,∠Q=∠QAN,△AMN的周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ,∴△AMN周长的最小值为PQ的长度,∵∠BAE=136°,∴∠P+∠Q=180°-136°=44°,∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P,∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q,∴∠AMN+∠ANM=2(∠P+∠Q)=2×44°=88°.素养探究全练11.解析(1)设∠O=∠OMN=α,∴∠MNB=2α,∵MD∥OB,∴∠AMD=∠O=α,∵NE平分∠MNC,∴∠MNE=∠ENC,设∠MNE=∠ENC=β,∴∠CNB=2α-2β,∵MD∥OB,∴∠MCN=∠CNB=2α-2β,∵∠EMC+∠MEN=∠ENC+∠MCN,∴α+∠MEN=β+2α-2β,∴∠MEN=α-β,∴2∠MEN=∠MCN.(2)作M点关于OB的对称点M',N点关于OA的对称点N',连接M'N',与OB、OA分别交于点P、点Q,连接O