2020-2021学年人教A版高二数学上学期期末必修5 第3章不等式 综合检测题

大教A版必修5第三章不等式

综合检满题

一、单选题

1.已知〃〈人且C£R,则下列不等式正确的是()

11

A.a2>b2B.ac>bcC.—>—D.c-a>c-bf

ab

2.如果a>0,那么a+'+2的最小值是()

a

A.2B.272C.3D.4

3.不等式2/-x—14()的解集为()

{x|xW_；或¥21}

A.{x|Kx<l}B.

C.{x|-1x—}D.{x\x<-

1

4.已知y=3x9~+—-,则》的取值范围为()

2x2

A.(-oo,-4][4,+00)B.(-°o,—2][2,C.(0,4-oo)

D.[-76,4-00)

5.已知点A(l,0),若A、3两点在直线x+2y+3=0的同侧，则加的取

值范围是()

A.(-1,0)B.(--,+oo)C.(0,+8)D.(l,+oo)

2

6.制作一个面积为2m2,形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选

择，较经济(够用，又耗材最少)的是()

A.6.2mB.6.8m

C.7mD.7.2m

21

7.设a>0,h>\,若a+h=2,则一+——的最小值为（）

ab-\

A.4MB.6C.3+2拒D.2母

8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处

理问题的重要依据，通过这一原理，代数的很多公理或定理都能够通过图形实现证明，

称之为无字证明.现有如图所示图形,点尸在半圆。上，点C在直径AB上，且OFLAB,

设AC=a,=则该图形可以完成的无字证明为（）

A.>\[ab(a>0,ft>0)B.a2>2ab(a>0,b>0)

C.—^—<\lab(a>0,Z?>0)D.a>0,b>0)

a+b2.

9.设(a,/?)e{(x,y)|x-3y+120,且x+y-3WQx,yeR},则2Z?-a的取值范围

是()

A.[0,+oo)B.(-oo,0]C.(-oo,3]D.(-oo,+oo)

10.若实数MN满足/+；/+盯=i,则x+y的取值范围是（）

2732g2M2疔

A.B.

2V22V2'2722夜、

C.D.

33)

x+y-2<0

x-y<0，则z=W■的最小值为()

u.若实数x、y满足约束条件〈

x—2

x>0

3

A.-2B.--

2

1

C.-1D.--

2

ry.Qf

12.已知4>(),。>0且々2一匕+4<0，则-()

a+b

17

A.有最小值一B.有最大值一C.有最小值二-D.有最大值二

5566

二、填空题

13.已知正数%,y满足1+>=盯一3,则x+y的取值范围为.

14.函数/(x)=lnx+二一的值域为

Inx

15.已知集合4=｛》|(加—1)》2+(〃2-1)%+2<0,%6尺｝,

8=卜'>】"4’且A8=4则实数团的取值范围是一

16.等式(分+3心2一冲40对*6(―00,())恒成立，其中a,bwZ,则a+h=.

三、解答题

17.己知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间［一

1,4］上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式.

(2)求f(x)在区间［-1,4］的值域.

18.已知不等式“a：-2x-冽+1<0

(1)若对于所有的实数X不等式恒成立，求物的取值范围；

(2)设不等式对于满足-2式次42的一切加的值都成立，求x的取值范围.

19.已知函数丁=G：2-（Q+l）x+l,a£R.

⑴若y<0的解集为求a的值；

（2）若“>0,求关于x的不等式y>0的解集.

20.已知尤>0,y>0,2x+8y-jy=0.

（1）求孙的最小值，并求取到最小值时x的值；

（2）求x+y的最小值，并求取到最小值时x的值.

9

21.已知函数丫=3*-©彳

（1）若y>8,求x的取值范围；

（2）若3,+加），20对于［2,3］恒成立，求实数机的取值范围.

22.某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通过市场分析，每

月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本。（力元，且

10x2+400x,0<x<30

C（x）=41000，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该

804x+--------9000,%>30

.x

月内能全部售完.

（1）求制造商由该设备所获的月利润L（x）关于月产量x台的函数关系式；（利润=销售

额-成本）

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润.

参考答案

【分析】

根据不等式的性质逐一判断选项即可.

【详解】

解：A选项：若0<a<。，则/〈乂，故A不正确;

B选项：若c<0,则ac<Z?c,故B不正确;

c选项：若则一<一,故c不正确;

ab

D选项：a<b,所以-。>一匕，两边同时加上c,有c-a>c—力，故D正确;

故选：D.

2.D

【分析】

利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】

所以。+工+222+2=4,即最小值为4,

a

故选：D

3.A

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】

由—x-1K0,

得（2x+l）（x-l）40,

得—<x<1,

2

所以不等式2X2—X_140的解集为

故选：A.

4.D

【分析】

直接利用基本不等式求解即可，解答过程注意等号成立的条件.

【详解】

V%2>0，

皿+如2值$=6

当且仅当3x2=3,即炉=在时，等号成立，

2x26

丁的取值范围为［遥,+oo）,

故选：D.

【点睛】

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑''等技巧，使其满足基本不等式中“正”

（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）

的条件才能应用，否则会出现错误.

5.B

【分析】

将A(1,O)和8(-2,根)代入可得x+2y+3得(1+2x0+3)•(-2+2m+3)>0即可得解.

【详解】

：A、3两点在直线x+2y+3=0的同侧，

，把点41,0)、B(—2,加)代入可得x+2)，+3的符号相同，

即(l+2x0+3)•(-2+2m+3)〉0,解得机〉一』，

2

故选:B.

6.C

【分析】

设两直角边为a,b,根据面积为2m2，得到时=4,然后由/=0+0+，。2+。2,利用基本

不等式求解.

【详解】

设两直角边为a,b,则a氏4,

则/=4+6+7^7^22疯+>&=4+2应=6.828，

当且仅当。=。=2时，取等号，

故选：C

7.C

【分析】

2i

由已知可得a+（。-1）=1,将代数式a+0-1）与一+；—相乘，展开后利用基本不等式

ab-\

可求得所求代数式的最小值.

【详解】

。＞0,方＞1,・•2一1＞0,由。+方=2可得。+（。-1）=1,

所以,

21£"—1）］=3+哼1aa

—+----但+H---------=3+2夜

ab-\b-\◎2尸

当且仅当a=2仅—1）时，等号成立.

21

因此，一+——的最小值为3+20.

ab-\

故选：C.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

8.D

【分析】

设AC=a,BC=b,可表示出OF,0C的长，根据勾股定理得出。尸，根据CF20b可

得结论.

【详解】

由图形可知：。尸=，48=生心，0。=@心,

222

在RtOCF中，由勾股定理可得：

'：CF>OF,

(a,b>0)•

2

故选：D

9.D

【分析】

令z=»—。，画出（a,b）满足的可行域，将目标函数z=»—a转化为b=ga+gz,平

移直线b='a求解.

2

【详解】

令z=2Z?—a,画出（47力）6｛（M丁）,-3），+120,且》+尸主QwyeH｝可行域如图所

示阴影部分:

将目标函数z=»—a转化为：b^-a+-z,平移直线b

222

由图象可知：z可取任意值，

所以目标函数的取值范围是(《，”)

故选：D

10.A

【分析】

由题可得(x+y)2—1=孙4即可求出.

【详解】

x2+y2+xy=1,

z、2

.•.(工+丁)2-1=封<土土£,当且仅当x=y等号成立,

\2J

mi(\2/42>/32^3

则(x+y)<-,---------<%<-------.

V333

故选：A.

11.A

【分析】

x+y-2<Q

画出约束条件x-y«O的可行域，再由z=专为点（x,y）与点网2,—1）确定的直

八X一2

x>0

线的斜率求解.

【详解】

x+y-2<0

画出约束条件的可行域如图所示阴影部分：

x>0

结合图像易知，当直线经过点A（L1）时，斜率最小,

所以z=&W的最小值为工工=一2,

x-21-2

故选：A

12.A

【分析】

根据/一力+4<0,变形为储+4,再利用不等式的基本性质得到〃+人之〃2+。+4,

、在七,口云1a、a心匚」2。+3〃「a工」苗甘»丁化#—〃力

进而得到----->一一5-----7,然后由'-------=3-----利用基本不等式求解.

a+ha~+a+4a+ba+b

【详解】

因为b+4<0，

所以bN°2+4,

所以a+/?2a2+。+4,

所以，一4a

a+bCl~+Q+4

”，，a、a

所以------>——2------

a+ba+〃+4

ac1

-2-a-+-3-h=3_-----23---------=3--------

所以a+ba2+61+4.4

uH-------r1

a

当且仅当a=2,6=8时取等号,

故选：A.

【点睛】

思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为‘土次=3-—一，再由人之后+4,利用

a+ba+b

不等式的性质构造-——>--J一，再利用基本不等式求解.

a+ba~+a+4

13.[6,+oo)

【分析】

化简得：x+y+3=盯，利用均值不等式以及换元求出答案.

【详解】

化简得：%+)，+3=呼

因为：x>0,y>0,由均值不等式得：为+丁+3=*<]苫I),

令x+y=f,贝b+.化简得*一射一1220

解得d6或，4一2(舍去)，

所以x+y的取值范围为[6,+oo).

故答案为：[6,+8).

14.(-co,-2][2,+oo)

【分析】

令f=lnx,则f/0,原函数等价于y=f+l,用基本不等式的性质求值域即可.

t

【详解】

解：/(x)=lnx+」一，令r=lnx,则twO，原函数等价于y=r+1，

Inxt

当，>0时，y=t+->2,当且仅当r=l时取等；

t

当/<0时，y=f+；=-1-f-；]w-2,当且仅当1=一1时取等；

综上所述，〃x)=lnx+」一的值域为：(e,-2][2,y).

Inx

故答案为：(-8,-2][2,+00).

【点睛】

易错点睛：换元之后考虑，的范围，f>0和。<0分别求值域，再综上即可.

15.[1,9)

【分析】

先求得集合8=。，根据A3=A,得出A=。，结合二次函数的性质，分机=1和m

两种情况讨论，即可求解.

【详解】

13

因为X~+X+1=(X4--)-H-->0,

24

?r-l

所以不等式干——->1.可化为2x—l>/+x+i，可得%+2<0，

x+x+\

,1。7

又由J-x+2=(x-5)2+1>0,所以集合5=。，

又因为AB=A,所以AqB,所以4=。，

要使得A={%|(加一I)》?+(〃z_l)x+240,xeR}=4,

对于不等式(加一1)£+(/%-1)%+240,

当加=1时，不等式可化为2«0不成立，此时不等式的解集为。；

〃?一1〉0

当mHI时，要使得A=。，则满足〈,2/X，解得1<相<9,

A=(/n-l)--4(w-l)x2<0

综上可得，实数机的取值范围是[1,9).

故答案：口,9)

16.10或4

【分析】

对人分类讨论，当后0时，由3+3乂/一冲40得到方+3<0,由一次函数的图象可

知不存在；当人>0时，由（奴+3乂V—冲<（）,利用数形结合的思想得出区。的整数解.

【详解】

当匕W0时,由（办+3）任—。）〈0得到ar+3<0在XG（F,0）恒成立，

则〃不存在；

当b>0时，由（a+3）卜2

可得/（x）=av+3,g（x）=f-），

又g（x）的大致图象可知：

所以a+b=10或4.

故答案为：10或4.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关

。＞0

系式自考查了数形结合、分类讨论的思想.

4b

a

17.(1)f(x)=2X2-10X；(2)——,12

_2_

【解析】

试题分析：(1)求函数解析式采用待定系数法，首先根据已知条件设出函数式f(x)=ax

(x-5),代入己知条件可求得a值，从而确定函数解析式：(2)由函数式得到函数的对称

轴，从而确定函数在区间-1,4］上的单调性，从而求得最值

试题解析：(1)Vf(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5),

.•.可设f(x)=ax(x—5)(a>0)

二f(x)在区间［-1,4］上的最大值是f(-1)=6a.由已知得6a=12,a=2,

f(x)—2x(x—5)—2x3—lOx(x£R).

5525

(2)因为y=/(x)对称轴为x=5在区间［-1,4］上，/(x)在x=,处取最小值为--—,

/(x)在x=-1时取最大值为12.

•••/(x)值域为-y,12.

考点：1.二次函数解析式；2.函数单调性与最值

18.(1)不存在这样的m使得不等式恒成立⑵｛乂_二£<“叶产｝

【解析】

2

试题分析：(1)当m=。时，经检验不满足条件：解得机H0时，设f(x)=mx-2x-m+1,

w<0

V

则由题意可得有、“一4以1-物)<°，解得me®综合可得结论.

"冢-2)<0

(2)由题意-2«mW2,设9(幻=(/_1)血+(1-2%%(，则由题意可得、g(2)<°,

由此求得X的取值范围.

—1+，714-\3

{刈————<%<---}

试题解析：(1)不存在这样的勿使得不等式恒成立(2)I।22

1

%>一

(1)当巾=。时,1-2%<0,即当2时不等式不恒成立，不满足条件

(m<0

当mH0时，设/'(%)=血/_2%_瓶+1,由于/(%)<0恒成立，则有14_4m(l_m)<0

解得mew

综上所述，不存在这样的桁使得不等式恒成立.

(5(-2)<0

(2)由题意_2WmS2,设g(x)=(x-l)m+(l_2x),则有19(2)<0

(—2X2—2X+3<0—i+01+的

即［2/_2x_l<0,解得—2一<%<2

-1+衣1+\/3

fvl-----------<x<---------1

所以x的取值范围为I122J

考点：一元二次不等式的应用

19.(1)2；(2)答案见解析

【分析】

(1)由题可得;和1是以2-(。+1)%+1=0的两个根，由韦达定理即可求出；

(2)不等式可化为(公―l)(x—1)>0,分0<a<l,a=l,。>1三种情况可得出.

【详解】

(1)若y<0的解集为则;和1是0?一(。+1卜+1=0的两个根,

1,a+\

-+1=---

则;"，解得a=2；

-xl=—

、2a

(2)由y>0得ttv?—(Q+1)X+1>0,即(CZX—1)(1—1)>。，

当,〉1,即0<4<1时，不等式的解集为｛了,<1或X>：｝；

当：=1,即4=1时，不等式可化为(X—1)2>0,不等式的解集为｛x|xwl｝；

当0<,<1,即a>l时，不等式的解集为[x<L或X>1｝.

a[a

20.(1)64,x=16；(2)18,x=12.

【分析】

82

(1)利用已知条件得到一+一=1,再利用基本不等式求解即可；(2)利用已知条件得到

%y

8282]

—+1,求x+y=(x+y)一十一，再利用基本不等式求解即可.

xyI九y)

【详解】

(1)由2x+8y-孙=0,

82

得一+—=1,又无>0,y>0,

/82/828

故1=—+—N2]-x—=—=

x了”y网

故村264,

82,

一+—=1

当且仅当《xy

82

xy

x=16

即《时等号成立'

:.(孙)而n=64此时％=16；

(2)由2x+8y-孙=0,

82

得一+一=1

xy

贝ijx+y=(x+y)—+—=10+—+—>10+2

y)yx

当且仅当〈..。，

2x=

yx

即《x=‘12时等号成立.

y=6

：.(x+X^n=18此时X=12.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

81

21.(1)(2,+oo)；(2)[---,+℃).

80

【分析】

(1)分xNO和x<0两种情况讨论，结合函数的解析式，列出不等式，即可求解；

V

(2)令/=3，得到tG[9,27],把3'+my>0对于xe[2,3]恒成立，转化为一9，对

—I

t

于，e[9,27]恒成立，结合函数的最值，即可求解.

【详解】

9

(1)由题意，函数y=3,一9，

99

当了之()时，y=3v一一，令3"-->8,整理得(3,—9)(3'+1)>0,

33

因为3'>0，可得3、+1>0，所以3、>9，解得x>2：

99

当x<0时，y=3'——令3*--->8,整理得3*<-1，此时无解，

-3r3r

所以不等式的解集为(2,+8),即X的取值范围(2,+8).

⑵令f=3*因为xe[2,3],可得云[9,27],

9

则不等式