高考试题卷解析-2001（文史类）数学

绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的体积公式其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集体的子集个数是 （A）32 （B）31 （C）16 （D）15（2）函数对于任意的实数都有 （A） （B） （C） （D）（3） （A）0 （B）2 （C） （D）（4）函数的反函数是 （A） （B） （C） （D）（5）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点A、B，若，则 （A）11 （B）10 （C）9 （D）16（6）设动点P在直线上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是 （A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线（7）已知，那么等于 （A） （B）8 （C）18 （D）（8）若A、B是锐角的两个内角，则点在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 （A） （B） （C） （D）（10）若为实数，且，则的最小值是 （A）18 （B）6 （C） （D）（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM成角 ④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （A）5月、6月 （B）6月、7月 （C）7月、8月 （D）8月、9月绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项： 1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．题号二三总分171819202122分数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．得分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．评卷人（13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_______________．（14）椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．（15）已知、、均为锐角），那么的最大值等于____________________．（16）已知、是直线，、、是平面，给出下列命题：若，则；②若∥，，则∥；③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；④若，∥，且，则∥∥．其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分（17）（本小题满分12分）评卷人（17）（本小题满分12分）方程有实根，且2、、为等差数列的前三项．求该等差数列公差的取值范围．得分（18）（本小题满分12分）评卷人（18）（本小题满分12分）设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．得分（19）（本小题满分12分）评卷人（19）（本小题满分12分）已知．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）设的辐角为，求的值．得分（20）（本小题满分12分）评卷人（20）（本小题满分12分）已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于的高CD上．之间的距离为．（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC；（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=，求四面体MABC的体积．得分（21）（本小题满分12分）评卷人（21）（本小题满分12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量．（Ⅰ）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？得分（22）（本小题满分14分）评卷人（22）（本小题满分14分）已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．（Ⅰ）若的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交轴于点N，试求的面积．绝密★启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（文史类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． （13） （14） （15） （16）②④三、解答题（17）本小题主要考查等差数列，一元二次方程与不等式的基本知识．考查综合运用数学基础知识的能力．满分12分．解：依题意，有， ……2分 由方程有实根，得 ，即， ……6分整理，得， ……8分解得，∴． ……12分（18）本小题主要考查函数的基本性质，考查推理能力．满分12分．解：函数的定义域为．内是减函数内也是减函数． ……4分证明内是减函数．取，且，那么 ， ……6分∵，∴，即内是减函数． ……9分同理可证内是减函数． ……12分（19）本小题考查复数的基本概念和运算．满分12分．解：（Ⅰ）由 ，得． ……4分因为，所以． ……6分（Ⅱ）因为，所以，而，所以，，同理，．由（Ⅰ）知，即，所以的实部为， ……8分而的辐角为时，复数的实部为，所以 ……12分（20）本小题考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质证明线面关系的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由已知， ， ∴． ∴． ……2分 又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且，∴∠MDC为二面角的平面角． ……4分（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=，∴∠DMC=∠VNC=．故有， ……6分∴． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），，∴．又∵∠．在中，． ……10分 ． ……12分（21）本小题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由题意得， ……4分整理得． ……6分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须即 ……9分解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足． ……12分（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）直线的方程为：，将，得． ……