2022-2024北京高一（上）期末汇编：函数的应用（一）

第1页/共1页2022-2024北京高一（上）期末汇编函数的应用（一）一、单选题1．（2024北京东城高一上期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（）A． B． C． D．2．（2024北京东城高一上期末）某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（

）（参考数据：，）A．20 B．16 C．12 D．73．（2022北京平谷高一上期末）某人围一个面积为32的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3，新墙的造价为1000元/，则当x取（

）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）A．9 B．8 C．16 D．64二、填空题4．（2024北京平谷高一上期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论：①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多；②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等；③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆；④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是．5．（2023北京海淀高一上期末）请阅读以下材料，并回答后面的问题：材料1：人体成分主要由骨骼､肌肉､脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI为体重，单位：千克；为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在为正常；为超重；为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在为正常；为超重；为肥胖.30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：.三、解答题6．（2024北京昌平高一上期末）某旅行社不定期组成旅游团去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下（不低于20），则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止（大客车限乘51人，含司机）．旅行社每次需支出成本费用3000元.(1)若旅游团人数为40，求每人应交的费用；(2)设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，求出y与x之间的关系式；(3)求旅游团人数x为多少时，旅行社可获得的利润L最大.7．（2024北京东城高一上期末）某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：（）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．(1)求出S关于的函数解析式；(2)若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）8．（2024北京丰台高一上期末）2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内（按30天计），每套吉祥物挂件的日销售价格（单位：元）与第x天的函数关系满足（k为常数，且），日销售量（单位：套）与第x天的部分数据如下表所示：x15202530650645650655设该月吉祥物挂件的日销售收入为（单位：元），已知第15天的日销售价格为32元.(1)求k的值；(2)根据上表中的数据，若用函数模型来描述该月日销售量与第x天的变化关系，求函数的解析式；(3)利用（2）中的结论，求的最小值.9．（2023北京西城高一上期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．性质1：对任意，有；性质2：对任意，有．(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；

②；(2)若是函数的“区间”，求m的取值范围；(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．10．（2022北京石景山高一上期末）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：(1)将表示为的函数，并写出定义域；(2)当取何值时，取最大值？最大值是多少?11．（2022北京西城高一上期末）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？(2)若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

参考答案1．D【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为，两个正方形的面积之和为，根据题意，可得，当且仅当时，取得最小值，最小值为.故选：D.2．B【分析】由可得，再代入，求解即可.【详解】根据题意可得，则，，则经过n年时，有，即，则，所以，则.故选：B.3．B【分析】由题设总造价为，应用基本不等式求最小值，并求出等号成立时的值即可.【详解】由题设，总造价，当且仅当时等号成立，即时总造价最低.故选：B.4．②③④【分析】因为分母是二次函数，通过分析二次函数的单调性来分析整个函数的单调性，可判断①②的正确性；通过自变量的范围分析分母的范围，从而得出整个函数的值域，可判断③④的正确性.【详解】对于①，因为，令；则在内单调递减，在内单调递增，所以先增后减，命题①错误；对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以，所以，命题②正确；对于③，因为的最小值是，所以的最大值是，即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确；对于④，因为，，且，所以的最小值为，即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确.综上，所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④.【点睛】结论点睛：（1）函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；（2）如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数.5．答案见解析【分析】根据材料结合条件分析即得.【详解】因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大），所以他的BMI值就会偏高，如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），就不必担心.故答案为：如果小智体型基本正常（或者说身高远高于中国人平均值），他的BMI值就会偏高，就不必担心，因为小智平时注意锻炼，肌肉占比相对高，意味着身体密度大，相同体型和身高情况下，BMI值与密度成正比（或者说，体重更大）.6．(1)150元；(2)；(3)45.【分析】（1）根据题意计算即可；（2）根据自变量的取值范围，分或列出函数解析式即可；（3）利用题中的函数解析式，结合自变量的取值范围和配方法，分段求最值，即可得到结论．【详解】（1）若旅游团人数为40，每人应交的费用为：元；（2）当时，，当时，，即；（3）当时，，当时，，即.当时，中随的增大而增大，所以时，，当时，，即时，.所以当旅游团人数为时，旅行社可获得的利润L最大.7．(1),(2)6【分析】（1）利于给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.【详解】（1）依题意，当时，，所以，所以，，则（万元），.（2）若，不等式化为，解得又，所以隔热层的厚度不能超过6厘米.8．(1)(2)，，.(3)20280元【分析】（1）将代入，即可求得答案；（2）结合表格中数据确定m的值，再解方程，即可求得答案；（3）求出的表达式，讨论x的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得，所以，解得.（2）根据表中数据以及，可知a>0，当时，取得最小值；根据表中数据可得，，由，得，，，所以，其中，.（3）由（1）（2）可知，，，当时，，可知在时随着x的增大而减小，所以当时的最小值为；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时的最小值为，综上所述，当时，该月日销售收入的最小值为20280元.9．(1)①是，②不是；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，不是函数的“区间”.（2）记，，注意到，因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.当时，在上单调递增，且，所以不包含于，不合题意；当时，，符合题意；当时，，所以，不合题意.综上，.（3）对于任意区间，记，依题意，在上单调递减，则.因为，所以，即S的长度大于的长度，故不满足性质①.因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即，即只需存在使得，或存在使得.因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间".记，先证明函数有唯一零点；因为在上单调递减，所以在上单调递减.若，则为的唯一零点；若，则，即，由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；若，则，即，由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；综上，函数有唯一零点，即，已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.10．(1)，定义域为；(2)当取30时，取最大值，最大值是1215.【分析】（1）应用矩形的面积公式写出表示为的函数，并写出定义域.（2）利用基本不等式求的最大值，并确定对应值.【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，因为，解得