数字信号处理（第2版）课件 钱玲 第4、5章-快速傅里叶变换（FFT）、-IIR数字滤波器设计

1第4章快速傅里叶变换（FFT）4.5FFT算法的应用4.3按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法4.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法4.1DFT的运算量分析4.4线性调频z变换（Chirp-z）算法4.6FFT的MATLAB实现24.1DFT的运算量分析一个长度为N的有限长序列x[n]的DFT为由于x[n]可为复数，则直接计算DFT量需要复数乘法复数加法一个X[k]N次N-1次N个X[k]N2次N(N-1)

次34.1DFT的运算量分析若用实数运算来完成DFT，则有

每个复数乘法需要4次实数乘法和2次实数加法，并且每个复数加法需要2次实数加法。因此实数乘法实数加法一个X[k]4N次4N-2次N个X[k]4N2次N(4N-2)

次44.1DFT的运算量分析N

复乘

复加1625624032102499264409640321281638416256

102410485761047552

如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来计算N=1024点DFT，则需要54.1DFT的运算量分析利用了系数WNkn的对称性和周期性来改善DFT计算效率对称性2.周期性合并n和（N-n）项

：64.1DFT的运算量分析且

其他项可做类似的合并，这样，乘法的次数大概可以减少1/2。但仍面临着正比于N2的大量计算。

离散傅里叶变换的高效运算方法都称为快速傅里叶变换，即FFT。FFT算法的基本思想是将一个长度为N的序列，依次分解为若干较短序列，充分利用DFT计算中的系数WNkn的周期性和对称性，将这些短序列对应的DFT进行适当的组合，达到减少运算量的目的。74.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法4.2.1

算法原理

设x[n]点数为

，其中

为整数，即N为2的整数幂，若不满足，可以补零来达到，这种FFT也称基2–FFT。84.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法由于94.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法式中利用系数的周期性同理104.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法由此(4.2-8)再考虑系数,则,上式可以写作(4.2-9)114.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法图4.2-1时间抽取蝶形运算结构

可见，每一个蝶形运算需要一次复数乘法

及两次复数加法运算。12例图4.2-2按时间抽取，将一个N点DFT分解为两个N/2点DFT计算的信号流图134.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法同理144.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法将系数统一为,则可得图4.2-4

将一个N点DFT分解为四个N/4点DFT计算的信号流图154.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法2点序列的DFT164.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法图4.2-6按时间抽取，输入倒位序、输出自然顺序的8点FFT流图174.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法4.2.2

DIT—FFT算法特点1.蝶形结构运算次分解，就构成

级运算过程。图中，m表示第m级蝶形运算，

。2.运算量每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。184.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法N点的DIT-FFT计算量为复数乘法：复数加法：例：

如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来计算N=1024点DFT，则需要直接运算则需要125.809s。194.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法--------输入信号上节点;--------输入信号下节点;--------输出信号上节点;--------输出信号下节点;j=i+dm

dm--------第m级的蝶距;sm--------第m级的蝶形组数;--------蝶形结构的W因子。20m12…v-1v12……

N/2N/4…214.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法214.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法例：若N=64，问第4级的中有几组蝶形运算流图？每组有多少

基本蝶形？并确定该级的权系数的种类。(1)(2)(每组8个基本蝶形)(3)或解：224.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法3.原位运算

按时间抽取FFT算法流图中，可以看出每一级的蝶形运算的输入数据与以后的运算无关，因而不需要保留。在蝶形运算中，每一个输出数据Xm[l]可以直接存放在原来存储输入数据Xm-1[l]的单元中，即每一级蝶形运算输入和输出都存储在同一地址的存储单元中，这就称为原位（或同址）运算。原位运算只需要N个复数的存储单元，节省了大量的存储单元。234.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法4.序数重排FFT的输出是按先后自然顺序排列的，而输入数据不是按照自然顺序，而是按倒位序排列的。

倒位序，首先将序号n用二进制码表示（如n2n1n0），然后将该二进制倒位，形成倒位序二进制数（n0n1n2），最后再将倒位序二进制数转换成十进制数。例：N=8，采用三位二进制码表示，n=6=(110)

2倒位序的二进制为

：(011)

2=6244.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法十进制数二进制数倒位序二进制数倒位序顺序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117表4.1自然顺序和二进制倒位序254.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法5.系数WNr的确定

对

点的DIT-FFT运算来讲，第

级运算，用N/2点的DFT合成N点DFT，系数因子用

；第

级运算，用N/4合成N/2点DFT，系数因子用

；第

级运算，用N/8合成N/4点DFT，系数因子用

；依此类推，可得所有m级运算的系数因子。-1-1-1-1-1-1-1-1X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]X[8]X[9]X[10]X[11]X[12]X[13]X[14]X[15]-1-1-1-1-1-1-1-1WN3WN0WN1WN2WN4WN5WN6WN7-1-1-1-1-1-1-1-1WN0WN2WN4WN6WN0WN2WN4WN6-1-1-1-1-1-1-1-1WN0WN4WN0WN4WN0WN4WN0WN4x[0]x[8]x[4]x[12]x[2]x[10]x[6]x[14]x[1]x[9]x[5]x[13]x[3]x[11]x[7]x[15]WN0WN0WN0WN0WN0WN0WN0WN026274.2按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法4.2.3按时间抽取FFT算法的其他形式流图图4.2-8按时间抽取，输入自然顺序、输出倒位序的8点FFT流图284.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法4.3.1

算法原理28

仍设x[n]点数为

，

为整数，N为2的整数幂，首先将时间序列x[n]按n的顺序分为前后两部分，得。因分别计算偶序号频率样本X[2r]和奇序号频率样本X[2r+1]294.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法由于304.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法类似由于则314.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法令有图4.3-1频率抽取蝶形运算结构324.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法图4.3-2按频率抽取，将一个N点DFT分解为两个N/2点DFT计算的信号流图334.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法图4.3-3

将一个N点DFT分解为四个N/4点DFT计算的信号流图344.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法图4.3-4按频率抽取，输入自然顺序、输出倒位序的8点FFT流图354.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法4.3.2

DIF—FFT算法特点1.蝶形结构运算2.运算量每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。次分解，就构成

级运算过程。364.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法N点的DIF-FFT计算量为复数乘法：复数加法：3.原位运算

按频率抽取FFT算法流图仍是原位运算，每一级蝶形的输入和输出在运算前后可以存储在同一地址的存储单元中。4.序数重排

按频率抽取FFT算法的输入是自然顺序，而输出是按位反转的倒位序。可见，按频率抽取的FFT算法和按时间抽取的FFT算法是两种等价的FFT运算。374.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法5.系数WNr的确定

对

点的DIF-FFT运算来讲，第1级运算，将N点DFT分解为两个N/2点的DFT，系数因子

；第2级运算，将N/2点DFT分解为两个N/4点的DFT进行计算，系数因子

；第3级运算，将N/4点DFT分解为两个N/8点的DFT，系数因子

；依此类推，可得所有m级运算的系数因子。38m12…v-1v12……N/2N/4…214.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法394.3按频率抽取（DIF）的基2–FFT算法4.3.3按频率抽取FFT算法的其他形式流图图4.3-6按频率抽取，输入倒位序、输出自然顺序的8点FFT流图404.4线性调频z变换（Chirp-z）算法4.4.1算法原理设N点序列x[n]，其z变换为对z变换在单位圆上采样，即DFT沿着z平面上的一条螺线作等分角取样，各取样点zk

为这里M为任意整数，A为起始点位置，表示为

。414.3线性调频z变换（Chirp-z）算法参数螺线内缩螺线外伸一段圆弧表示螺旋线上相邻两抽样点之间的等分角。——序列x[n]的线性调频z变换424.3线性调频z变换（Chirp-z）算法4.4.2线性调频z变换的快速算法利用布鲁斯坦等式令则434.3线性调频z变换（Chirp-z）算法交换变量k和n，相当于序列g[n]与h[n]卷积，然后再乘以,得，角频率

随时间n线性增长，称为Chirp信号444.5FFT算法的应用4.5.1

用FFT计算IDFT直接利用FFT的算法再次取共轭，有454.5FFT算法的应用IFFT实现步骤是：1.对X[k]取共轭，即虚部乘以-1，得到

；2.利用FFT程序计算；3.再对运算结果取一次共轭变换，并乘以常数

，

即可得到x[n]。464.5FFT算法的应用4.5.2

实序列的DFT计算（1）用一次N点FFT计算两个长度为N的实序列的N点DFT

序列x[n]和y[n]是长度为N的实序列，要求一次N点FFT求两个实序列的DFTX[k]和Y[k]。1.构成复序列2.对g[n]进行一次N点FFT运算3.利用DFT的圆周共轭对称性474.5FFT算法的应用（2）用一次N点FFT计算一个长度为2N的实序列的2N点DFT

令v[n]是长度为2N的实序列，将其偶数序号和奇数序号的样本值分别组成两个N点的实序列，即

根据上例，由x[r]和y[r]构成复序列g[n]，再对g[n]进行一次N点FFT运算，由圆周共轭对称性求出x[r]和y[r]的N点DFTX[k]和Y[k]。则v[n]的2N点DFTV[k]为：484.5FFT算法的应用即类似于按时间抽取的FFT算法494.5FFT算法的应用4.5.3

用FFT实现线性卷积（1）线性卷积的FFT实现流程图

若某FIR数字滤波器的单位样值响应为h[n]，，输入信号为x

[n]，，系统的输出

当圆周卷积和的点数N满足图4.5-1两个有限长序列线性卷积的FFT实现框图504.5FFT算法的应用（2）有限长序列和无限长序列的线性卷积当输入信号x

[n]是无限长的，或者比单位样值响应h[n]长得多，可采用分段卷积的方法，将x

[n]分割成与h[n]长度相当的段，再对信号进行分段卷积处理，有两种分段卷积的处理方法：重叠相加法和重叠保留法。重叠相加法设h[n]长度为N2，将x[n]分解成长度为N1的段，两者数量级相当xi[n]表示x[n]的第i段514.5FFT算法的应用图4.5-2输入信号及其分段524.5FFT算法的应用x[n]和h[n]的线性卷积为其中53图4.5-3重叠相加法示意图544.5FFT算法的应用重叠相加法用FFT实现的步骤，1.h[n]补零，至N点，即：2.将x[n]分段，第i段xi[n]补零，至N点，3.分别求出xi[n]和h[n]的N点DFT，由FFT算法实现

5.N点IDFT，由IFFT算法实现，6.重叠部分相加：4.554.5FFT算法的应用重叠保留法仍将x[n]分为长N1的段xi[n]，不同点在于，不在末端补零，而是在每一段序列前端补上前一段序列的(N2-1)点，组成(N1

+N2-1)点的序列。第一段的数据前应该补上(N2-1)个零值点。

一个(N1+N2-1

)点的序列与一个N2点的序列做(N=

N1+N2-1)点的圆周卷积时，其结果中的前(N2-1)个点是混叠部分，而其余点与线性卷积相同。由此重叠保留法即将输入段xi[n]和h[n]的圆周卷积舍掉前(N2-1)个点，将各相邻段留下来的样本衔接起来，就构成了最终的输出。56图4.5-5重叠保留法示意图574.6FFT的MATLAB实现Matlab为计算离散快速傅里叶变换，提供了一系列丰富的数学函数，主要有fft，ifft，fft2，ifft2，fftn，ifftn和fftshift，ifftshift等。例4.6-1已知：

和。试用Matalb实现由DFT计算两个序列的循环卷积，并讨论什么情况下，可以得到线性卷积结果。解：线性卷积584.6FFT的MATLAB实现x1=[2,1,0,-3,4,2,6];x2=[3,2,-1,0,4,2];L=[10,12,16];forr=1:3N=L(r);X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);s=ifft(X1.*X2);k=0:N-1;subplot(1,3,r);stem(k,real(s));xlabel('k');ylabel('幅度');title('卷积结果');axis([0,N,-1,35])end594.6FFT的MATLAB实现例4.6-3对

进行采样，采样频率为

，截取长度分别选N=60和N=64，绘制采样后的离散序列和离散序列的幅度谱，分析不同长度N所得到的幅度频谱。解：采样后序列为：604.6FFT的MATLAB实现close;N1=59;n1=0:N1;xa1=cos(0.125*pi*n1);subplot(2,2,1);plot(n1,xa1);hold;plot(n1,xa1,'o');axis([0N1-11]);xlabel('t/T');ylabel('x[n]');xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);axis([0N1028]);xlabel('k');ylabel('X[k]');N2=63;n2=0:N2;xa2=cos(0.125*pi*n2);subplot(2,2,3);plot(n2,xa2);hold;plot(n2,xa2,'o');axis([0N2-11]);xlabel('t/T');ylabel('x[n]');xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);subplot(2,2,4);stem(n2,xk2);axis([0N2033]);xlabel('k');ylabel('X[k]');61

本章小结1.直接计算DFT的计算量

2.DIT-FFT原理、蝶形流图、算法特点3.DIF-FFT原理、蝶形流图、算法特点4.FFT算法的应用第5章IIR数字滤波器设计625.1数字滤波器设计的基本概念5.2模拟滤波器的基本概念与设计方法5.3IIR数字滤波器设计5.4数字滤波器的频率变换5.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器5.1数字滤波器设计的基本概念635.1.1数字滤波器及其设计方法概述5.1.2理想数字滤波器5.1.3全通系统与最小相位系统5.1.1数字滤波器及其设计方法概述64数字滤波：

对输入信号进行数值运算，让输入信号中的有用频率成分以较高的保真度通过，滤除（阻止）某些无用的频率成分，实现对输入信号的选频处理。优点：

处理精度高，稳定性好，体积小，实现方法灵活，不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述65

滤波器分类

经典滤波器（一般滤波器）（本书介绍）

线性系统构成的滤波器，信号和干扰的频带互不重叠时采用。分类（功能）：高通、低通、带通、带阻；分类（结构）：递归系统、非递归系统；分类（实现方法）：无限长单位脉冲响应数字滤波器IIR（本章介绍）有限长单位脉冲响应数字滤波器FIR（下章介绍）

现代滤波器

随机信号统计理论为基础构成的滤波器，信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）5.1.1数字滤波器及其设计方法概述66间接设计法：是借助模拟滤波器设计方法进行设计的。（1）先根据数字滤波器性能指标转换成原型模拟滤波器性能指标；（2）再用模拟滤波器设计方法设计原型模拟滤波器；（3）最后将原型模拟滤波器转换成数字滤波器。直接设计法：在时域或频域直接设计数字滤波器。（1）这种设计方法一般是先确定最优准则；（2）找出使最优准则下误差最小的滤波器系统函数。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述67按照任务的要求，确定滤波器的性能指标；1.设计数字滤波器一般分三步：(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数，去逼近滤波器性能指标的要求。这个系统函数可以是IIRDF的系统函数或FIRDF的系统函数；(3)数字滤波器实现，主要工作包含：选择运算结构，确定运算和系数存储的字长，选用通用计算机及相应的软件或专用数字滤波器硬件实现这一系统。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述682.数字滤波器的性能指标以可实现的低通滤波器为例，用频率响应的幅频特性允许误差来表征。通带：指信号中通过滤波器后基本保持无衰减的频率范围；阻带：指信号中被滤波器滤除的频率范围。过渡带：幅频特性平滑地从通带下降到阻带的频率范围。5.1.1数字滤波器及其设计方法概述69:通带的边界频率(passbandedgefrequency):通带峰值波纹(peakpassbandripple):阻带的边界频率(stopbandedgefrequency):阻带峰值波纹(peakstopbandripple):通带的的衰减(passbandattenuation):阻带的的衰减(stopbandattenuation)5.1.1数字滤波器及其设计方法概述703.性能指标关系（5.1-2）（5.1-1）通带：阻带：用分贝表示的滤波器的增益(gain)响应定义当数字滤波器的单位脉冲响应

实数序列时，滤波器的幅频特性

是

偶函数，所以一般只用描述0～

区间的幅频特性，就确定了滤波器频响特性的幅度要求。5.1.2理想数字滤波器71理想滤波器对数字信号进行滤波可以达到最理想的效果，但是它不可能实时实现，只能近似实现。设计时把理想滤波器作为逼近标准。1.理想数字滤波器的种类数字滤波器按频响特性划分成低通、高通、带通、带阻、全通等类型。理想频响特性是不可能实现的，原因是频率之间幅频特性是突变的，因而其单位脉冲响应是非因果的。5.1.2理想数字滤波器72数字滤波器频响特性是周期性，周期为2

，频率变量以数字频率

来表示,数字滤波器设计时必须给出采样频率。

为模拟角频率，T为采样脉冲周期，fT为采样频率

按照奈奎斯特采样定理，频响特性只能限于范围。在通带内，幅度为常数（非零），相位具有线性；在阻带内，幅度与相位均为零。5.1.2理想数字滤波器732.理想数字低通滤波器频响特性表达式如下：式中，n0是一个正数，

c称为通带截止频率。信号通过该滤波器后，其输出的频谱应为如果输入信号的频谱限制的范围内,输出信号为:该式表示输出信号相对于输入信号没有发生失真5.1.2理想数字滤波器74该滤波器的单位脉冲响应为：显然当n<0

时，，它的单位脉冲响应是一个无限长的非因果序列，因此理想低通滤波器物理不可实现。5.1.2全通系统与最小相位系统75全通系统(All-passfilter)是指系统频响特性的幅度在整个频带[0，2

]上均为1或某一常数的系统。设全通系统的系统函数为：

对于所有频率满足：信号通过全通系统后，其输出的幅频特性保持不变，仅相位发生变化，因此全通系统也称为纯相位系统。1.数字全通滤波器的定义2.数字全通滤波器的系统函数（1）一阶全通系统的系统函数为：5.1.2全通系统与最小相位系统76这一系统所应的零点，极点位置如图5.1-4(a)所示（取）（2）一个实系数有理二阶全通系统函数如式（5.1-9），系统对应的零点，极点位置如图5.1-4(b)所示（取）。（3）N阶数字全通系统的系统函数5.1.2全通系统与最小相位系统77为具有实系数多项式，其根全在单位圆内

D(z)的根（Hap(z)的极点）应是单位圆内的共轭复数

D(z-1)的根（Hap(z)的零点）应是单位圆外的共轭复数，是D(z)的根的“镜像”5.1.2全通系统与最小相位系统783.数字最小相位系统定义：一个因果稳定系统的系统函数零点与极点均在单位圆内，该系统称为最小相位系统Hmin(z)。特征：在幅频特性相同的所有因果、稳定系统中，对角频率

的任意化范围，最小相位系统的相频特性变化最小。“最小相位”实际是一个不准确的名称，其实际是“最小相位变化系统”。4.数字全通滤波器系统的特性（1）任意一个因果稳定系统的（非最小相位系统）系统函数H(z)

都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联，即

（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可以用级联全通系统的办法将它变成一个稳定的滤波器，这样可以将单位圆外的极点加以抵消，同时又不改变滤波器的幅频特性。5.1.2全通系统与最小相位系统79（3）IIR滤波器的相频特性是非线性，而视频信号的传输中希望系统具有线性相位，此时可以采用全通滤波器作为相位均衡器，来校正系统的非线性相位得到线性相位，同时不改变系统的幅频特性。例5.1-1

非最小相位系统的系统函数画出系统函数的零极点分布图，将其分解成全通系统与最小相位系统的级联5.1.2全通系统与最小相位系统80例5.1-2

一个非稳定滤波器的系统函数级联一个全通系统，使级联后的滤波器变成稳定系统。5.2模拟滤波器的基本概念与设计方法815.2.1系统的物理可实现性5.2.2典型模拟低通滤波器的设计方法5.2.3频率变换825.2模拟滤波器的基本概念与设计方法从时域上看，一个物理可实现系统的冲激响应h(t)应满足：（即物理可实现的系统一定是因果系统）从频域上看，一个物理可实现系统的频响特性应满足：---------佩利-维纳准则（Paley-Winnercriterion）

一个物理可实现的实际滤波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。5.2.1系统的物理可实现性835.2模拟滤波器的基本概念与设计方法5.2.2典型模拟低通滤波器的设计方法通带

过渡带

阻带0通带公差带阻带公差带通带边界频率阻带边界频率低通滤波器的实际特性：845.2模拟滤波器的基本概念与设计方法1.巴特沃兹（Butterworth）滤波器（最大平坦幅度特性）---------截止频率n---------阶数模拟滤波器的设计步骤：(1)根据技术指标（滤波器的幅频特性），确定系统函数H(s)；(2)设计实际网络实现H(s)。855.2模拟滤波器的基本概念与设计方法

巴特沃兹滤波器的极点分布特征：865.2模拟滤波器的基本概念与设计方法令即当n为奇数时：当n为偶数时：设n=2,则875.2模拟滤波器的基本概念与设计方法可以证明：选左半s平面的两个极点作为H(s)的极点，则一般形式：---------巴特沃兹多项式885.2模拟滤波器的基本概念与设计方法如图所示，设计一低通巴特沃思滤波器的系统函数。要求在通带边界频率=200

rad/s处，幅度衰减δp≤2dB，在阻带边界频率=400

rad/s处，幅度衰减δs≥15dB。解：由于通带边界频率处幅度衰减不为3dB，因此要根据通带和阻带的衰减要求，联立方程。例5.2-1895.2模拟滤波器的基本概念与设计方法上述两式取等号可求出由于滤波器的阶数n必须是整数，为了满足和超过所给的技术指标，n应取3。

905.2模拟滤波器的基本概念与设计方法

c=687rad/s通过查表5.2-1并将s用代替，最后可得巴特沃思滤波器的系统函数为

得到滤波器的系统函数H(s)后，通常可以采用无源网络或有源网络来实现。915.2模拟滤波器的基本概念与设计方法2.切比雪夫(Chebyshew)滤波器切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：①幅频特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的全极点滤波器，称为切比雪夫I型滤波器；②幅频特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，并且既有零点又有极点的滤波器，称为切比雪夫II型滤波器。图5.2-5切比雪夫I型滤波器的幅频特性925.2模拟滤波器的基本概念与设计方法（1）I类切比雪夫滤波器的幅频特性其中，

是与通带波纹有关的参数，

p是通带的边界频率，Tn(x)一个n阶切比雪夫多项式，

当n为奇数或n为偶数时，滤波器的幅频特性有所不同。对于n为奇数,Tn(0)=0,由此可得

H

(0)=1；对于n为偶数,Tn(0)=1,由此可得

H

(0)=1(1+

2)；幅频特性在0

p之间是等波纹的，在

p时单调下降。当=s时，滤波器幅度等于1/A，称

s为滤波器阻带边界频率滤波器的系统函数935.2模拟滤波器的基本概念与设计方法（2）II类切比雪夫滤波器的幅频特性II型低通滤波器的系统函数不再是全极点函数，它既有极点也有零点。滤波器的系统函数945.2模拟滤波器的基本概念与设计方法3.椭圆（elliptical）滤波器椭圆滤波器又称考尔滤波器（Cauerfilter)，是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。椭圆滤波器是既有极点又有零点的滤波器，滤波器的阶数越大，则通带与阻带的起伏次数越多，阶数等于滤波器幅频特性在通带中（或阻带中）极大值个数与极小值个数之和。滤波器的幅频特性其中：

Rn(x)是雅可比(Jacobi)椭圆函数

通带边界频率400Hz，通带波纹为0.022，阻带边界频率500Hz，阻带的最大波纹为0.1955.2模拟滤波器的基本概念与设计方法4.贝塞尔（Bessel）滤波器贝赛尔滤波器是具有最大平坦的群延时（线性相位响应）的线性滤波器,具有几乎横跨整个通频带的恒定群延时。模拟滤波器的相频特性为

(

)

，其群延时滤波器的系统函数典型贝赛尔低通滤波器的频响特性曲线965.2模拟滤波器的基本概念与设计方法模拟滤波器的比较巴特沃思滤波器幅频特性单调下降。切比雪夫Ⅰ滤波器通带内等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降。切比雪夫Ⅱ滤波器阻带内等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降。椭圆滤波器通带、阻带内均等波纹幅频特性，过渡带单调下降。贝塞尔滤波器在通带内逼近线性相位特性。★在相同阶数，相同通带衰减、阻带衰减要求下，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，介于巴特沃思滤波器和椭圆滤波器。★在相同指标要求下，椭圆滤波器所需的阶次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反。5.3IIR数字滤波器设计975.3.1脉冲响应不换法5.3.2双线性变换法985.3IIR数字滤波器设计目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成原型模拟滤波器的指标设计原型模拟滤波器将原型模拟滤波器转换为数字滤波器指标转换995.3IIR数字滤波器设计原型模拟滤波器转换为数字滤波器的要求保证因果稳定性，Ha(s)的因果稳定性映射成H(z)

后保持不变，即s平面的左半平面Re{s}＜0应映射到z平面的单位圆以内|z|＜1;设计模拟Ha(s)

转换成数字H(z)H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆ej

上。1005.3.1脉冲响应不变法1．变换原理脉冲响应不变法(impulseinvariancemethod)是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h[n]模仿模拟滤波器的单位冲激响应,使正好等于ha(t)的采样值。

其中T为采样周期设：根据采样定理（5.3-2）令，代入上式得：（5.3-3）1015.3.1脉冲响应不变法图5.3-1s平面到z平面的映射关系上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的s平面到z平面的变换，正是信号与系统课程讨论的拉普拉斯变换到z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过z=esT

的映射关系映射到z平面上。（5.3-3）脉冲响应不变法：从s平面到z平面不是一一映射关系1025.3.1脉冲响应不变法2.混叠失真数字滤波器的频响特性和模拟滤波器的频响特性之间的关系（5.3-4）上式说明，数字滤波器的频响特性是模拟滤波器的频响特性的周期延拓。（5.3-5）满足式（5.3-5）条件，使数字滤波器的频响特性在折迭频率以内重现模拟滤波器的频响特性而不产生混叠失真。（5.3-6）任何一个实际的模拟滤波器，其频响特性都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠，数字滤波器的频响特性将不同于原模拟滤波器的频响特性而具有一定的失真。1035.3.1脉冲响应不变法图5.3-2实际模拟低通滤波器数字化的幅频特性由于存在频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适合带限的模拟滤波器，例如低通和带通滤波器。高通和带通滤波器不宜采用脉冲响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉高于折迭频率以上的分量。1045.3.1脉冲响应不变法3.H(z)的计算

脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数N>M，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃信号对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列1055.3.1脉冲响应不变法再对h[n]取z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有

所以有s平面上的极点s=si

变换到z平面上是极点,而Ha(s)与H(z)中部分分式所对应的系数不变，但要注意，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。1065.3.1脉冲响应不变法比较上面两式：s平面上的极点s=si，变换到z平面上是极点z=esiT，而Ha(s)与H(z)中部分分式所对应的系数不变。如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点s=si都在s左半平面，即Re[si]<0，那么变换后的极点z=esiT也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持稳定。虽然脉冲响应不变法能保证s平面与z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个s平面与z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与s平面上的零点就没有一一对应关系。值得注意的是，这种Ha(s)到H(z)的对应变换关系，只有将Ha(s)表达为部分分式形式才成立。1075.3.1脉冲响应不变法例5.3-1：将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。解：直接利用的部分分式形式,得模拟滤波器的频响特性为:数字滤波器的频响特性为:1085.3.1脉冲响应不变法显然与采样间隔有关，T越小,衰减越大,混叠越小。本例中，当时,混叠可忽略不计。1095.3.1脉冲响应不变法小结:(1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。(2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。(3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在s左半平面，映射后得到的H(z)也是稳定的。(4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于ΩT/2的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

1105.3.2双线性变换法1.变换公式

双线性变换法(bilineartransformmethod)是一种能克服脉冲响应不变法频谱混叠的滤波器设计方法，是一种常用的IIR数字滤波器设计方法。

为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第1步：将整个s平面压缩到s1平面的一条横带里；第2步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从s平面到z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的.

由此建立s平面与z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。s平面s1平面z平面1115.3.2双线性变换法

为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T一段上，可通过以下的正切变换实现：

经过这样的频率变换，当Ω由-∞→0→∞

时,Ω1由-π/T经过０变化到π/T

，即s平面的整个jΩ轴被压缩到s1平面的。这里C是待定常数

将这一关系解析扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：（5.3-10）再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即令,取C=2/T（5.3-11）1125.3.2双线性变换法2.双线性变换的特性双线性变换是否符合：由模拟滤波器变换到数字滤波器时，从s平面到z平面映射变换的二个基本原则。(1)当z=ej

时，代入双线性变换关系式（5.3-10），得即s平面的虚轴映射到z平面正好是单位圆。(2)当代入双线性变换关系式（5.3-11），得

当1135.3.2双线性变换法即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。

当下图即是数字频率ω与模拟频率之间的映射关系双线性变换的频率非线性关系1145.3.2双线性变换法双线性变换靠频率的严重非线性关系得到s平面与z平面的单值一一对应关系，整个j

轴单值对应于单位圆一周，这个频率关系为：（5.3-12）由图看出，s平面的正（负）虚轴映射成z平面单位圆的上（下）半圆。由于s平面的整个正虚轴（

=0～∞）映射成有限宽的数字频段（ω=0～

），所以双线性变换引起数字频率与模拟频率之间的严重非线性畸变。正是这种频率非线性畸变，使整个模拟频率轴映射成数字频率的主值区[-

，

]，从而消除了频谱混叠失真。这种频率非线性畸变使数字滤波器频率响应曲线不能模仿相应的过渡模拟滤波器频率响应曲线的波形。1155.3.2双线性变换法频率响应的畸变(举例)幅频特性相频特性1165.3.2双线性变换法3.预畸变的方法双线性变换引起数字频率与模拟频率之间的严重非线性畸变，有关频率点的畸变可以通过预畸变来加以校正，即将模拟滤波器的边界频率事先加以畸变，通过双线性变换后正好映射到所需要的数字频率上。(1)根据所要设计的数字滤波器的性能指标，如需要设计数字低通滤波器，其指标为，计算原型模拟滤波器的边界频率。(2)根据这些模拟滤波器的边界频率点设计原型模拟滤波器。(3)作双线性变换，得到所需的数字滤波器的系统函数。1175.3.2双线性变换法4.H(z)的计算从模拟系统函数Ha(s)

可直接通过变换公式（5.3-10）得到数字滤波器的系统函数（5.3-13）数字滤波器的频响特性（5.3-14）1185.3.2双线性变换法例(补充）用双线性变换法设计数字低通滤波器，指标要求解:根据上述用双线性变换法设计IIR数字滤波器的设计步骤求解。（1）确定数字滤波器指标:

（2）非线性预畸变校正，将数字滤波器设计指标转换为相应的原型模拟滤波器指标。设采样周期T=2s。

给定数字滤波器指标设计时：T可以任意选给定模拟滤波器：

T如何选？1195.3.2双线性变换法（3）设计相应的过渡模拟滤波器Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。并仿照例5.2-1计算出n=2，

c≈0.72rad/s。查表5.2-1得到归一化2阶巴特沃思模拟滤波器的系统函数为

去归一化得到

（4）用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器，即5.4数字滤波器的频率变换1205.4.1模拟域的频率变换5.4.2模拟域的频率变换5.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计1215.4数字滤波器的频率变换归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频率变换或双线性变换冲激响应不变法归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频率变换双线性变换脉冲响应不变法一.模拟域频率变换二.数字域频率变换1225.4.1模拟域的频率变换具体设计步骤是：①先根据对高通、带通、带阻等滤波器性能指标，导出相应的低通原型的性能指标；②然后确定原型低通的HL(p)；③再根据对应的频率变换关系得到模拟高通、带通和带阻滤波器的HD(s)。1235.4.1模拟域的频率变换低通滤波器高通滤波器设：－－－低通滤波器的系统函数（角频率为截止角频率为）－－－高通滤波器的系统函数（角频率为截止角频率为）变换关系：令有

上式表明：s平面中的虚轴正好映射到p平面的虚轴上，其变换关系为：1245.4.1模拟域的频率变换与之间的关系：(5.4-2)将高通滤波器的性能指标，即高通滤波器的通带边界频率

p，阻带边界频率

s，分别代入式(5.4-2)中，求出低通原型的通带边界频率

p，阻带边界频率

s。而高通的通带波纹δp及阻带波纹δs，即对应低通原型的通带与阻带的要求。1255.4.1模拟域的频率变换从原型低通滤波器到高通滤波器的变换关系为：根据

p,

s,δp和δs确定低通原型系统函数HL(p)

模拟域的频率变换可以设计模拟低通、高通，带通和带阻滤波器，然后利用双线性变换法完成模拟滤波器到数字滤波器的转换，一般只有低通和带通模拟滤波器可以考虑用脉冲响应不变法转换成数字滤波器。1265.4.2数字域的频率变换数字域的频率变换实现步骤①先将模拟低通滤波器转换数字低通滤波器；②利用频率变换将低通数字滤波器转换成所需要的数字滤波器。参数设定：数字低通滤波器：HL(z)，单位圆所需要的数字滤波器：，单位圆变换：1275.4.2数字域的频率变换要求：函数在单位圆上恒等于1，是一个全通系统。(5.4-7)1285.4.2数字域的频率变换1.低通到低通

为实数由得：(5.4-8)1295.4.2数字域的频率变换参数

一般可以通过通带边界频率和计算(5.4-10)1305.4.2数字域的频率变换低通频率响应在单位圆上旋转180o，即得高通频率响应：2.低通到高通代入式（5.4-8）

(5.4-11)1315.4.2数字域的频率变换解：由已知条件则：高通滤波器的系统函数为：1325.4.2数字域的频率变换3.低通到带通1335.4.2数字域的频率变换4.低通到带阻1345.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计1.模拟域频率变换设计步骤（1）预畸变：用式（5.3-12）将期望的数字滤波器HD

(z)的数字边界频率转换成同类型模拟滤波器Ha(s)的边界频率；（2）模拟域指标变换：将Ha(s)性能指标转换成模拟原型低通滤波器的性能指标，可以用表5.4-1；（3）设计模拟低通原型滤波器HL(p)；（4）模拟域频率变换：将模拟原型滤波器HL(p)转换成相应的模拟滤波器Ha(s)；（5）双线性变换：用双线性变换将模拟滤波器Ha(s)变换成期望的数字滤波器HD

(z)。1355.4.3高通、带通和带阻数字滤波器设计2.数字域频率变换设计步骤（1）预畸变：用式（5.3-12）将期望的数字滤波器HD

(z)的数字边界频率转换成同类型模拟滤波器Ha(s)的边界频率；（2）模拟域指标变换：将Ha(s)性能指标转换成模拟原型低通滤波器的性能指标，可以用表5.4-1；（3）设计模拟低通原型滤波器HL(p)；（4）双线性变换：用双线性变换将模拟滤波器HL(p)变换成期望的数字滤波器HL

(z)；（5）模拟域频率变换：将数字低通滤波器HL

(z))转换成相应的数字滤波器HD

(z)

。1365.5用Matlab函数设计IIR数字滤波器用Buttord、Cheb1ord、Cheb2ord和Ellipord函数可以得到模拟或数字滤波器的最低阶数和归一化截止频率；用Butter、Cheby1、Cheby2和Ellip函数可以得到模拟或数字滤波器的系统函数，用Besself和Besselap可以设计贝塞尔模拟滤波器。在给定滤波器性能指标的条件下，希望用最小阶次的滤波器来实现。解：其程序dsp501