【易错专训】02 矩形的性质与判定（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错02矩形的性质与判定【易错1例题】矩形的性质1．（2020·全国）矩形具有的性质是（）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角 D．面积等于两条对角线乘积的一半【答案】B【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】根据矩形的对角线相等，可知选项B正确，

故选B．【点睛】考查矩形的性质、解题的关键是记住矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【易错2例题】矩形的判定2．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC【答案】D【分析】由题意易得GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，则有四边形EGFH为平行四边形，由矩形的性质可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后问题可求解．【详解】解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°，∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故选D．【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键．【专题训练】选择题1．（2021·湖南八年级期中）已知矩形ABCD的周长为32，AB＝6，则BC等于（）A．10 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB＋BC）＝32，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵矩形ABCD的周长是32，∴2（AB＋BC）＝32，∴BC＝10．故选：A．【点睛】本题主要考查对矩形的性质的理解和掌握，能利用矩形的性质进行计算是解此题的关键．2．（2021·江苏八年级期末）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对边相等 B．邻边垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】B【分析】列举矩形的性质和菱形的性质，根据性质求出即可．【详解】解：矩形的性质是：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且平分，四个角都是直角，邻边垂直，菱形的性质是：菱形的四条边都相等，对边平行，对角线垂直且平分，每条对角线平分一组对角；矩形具有而菱形不具有的性质是邻边垂直．故选：B．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是：能熟练地运用性质进行判断．3．（2021·江苏八年级期中）E、F、G、H分别是四边形的边、、、的中点，对角线、相交于点O，根据以下条件，不能证明四边形是矩形的是（）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】先根据三角形中位线的性质证明四边形EFGH是平行四边形，再利用矩形的判定定理依次判断各选项即可．【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形的边、、、的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF∥GH，同理：EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形∵，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，故A选项不符合题意；∵，，∴，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，故C选项不符合题意；∵，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∵，∴点D在线段AC的垂直平分线上，∴∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，故D选项不符合题意；若，无法证明四边形EFGH是矩形，故B选项符合题意，故选：B．【点睛】此题考查矩形的判定定理，三角形中位线的性质定理，线段垂直平分线的判定，正确掌握矩形的判定定理是解题的关键．4．（2021·重庆八年级期末）如图，将一个矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合．折痕为EF．若AB＝8，BC＝16，则BE的长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】根据翻折变换的性质可得AE=CE，设BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵矩形纸片ABCD折叠C点与A点重合，∴AE=CE，设BE=x，则AE=16-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16-x）2，解得x=6，即BE=6．故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后对应线段相等，难点在于利用勾股定理列出方程．5．（专题16一次函数的实际应用-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（湘教版））如图①，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（

）．A．当时， B．矩形的周长是C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据题意，得，；结合题意，根据与的关系计算，即可得到答案．【详解】由图象得，，选项，时，的面积，正确，不符合题意；选项B，矩形的周长为：，正确，不符合题意；选项C，时，点在上，的面积，正确，不符合题意；选项D，时，高，∴高，点在或上，则或，∴D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形、函数的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、函数的性质，从而完成求解．二、填空题6．（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）【答案】AB⊥BC【分析】证DF、EF都是△ABC的中位线，得DF∥BC，EF∥AB，则四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，即可得出结论．【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，∴DF、EF都是△ABC的中位线，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，∴平行四边形BEFD为矩形，故答案为：AB⊥BC．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键．7．（2021·河北石家庄外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则它是______形．若∠AOB=60°，则AB：AC=_______．【答案】矩1：2【分析】先证（SAS），可得，∠BAO=∠DCO，可证是平行四边形，再证AC=BD，可证是等边三角形，求出，利用30角所对直角边等腰斜边一半可得即可．【详解】解：在△AOB和△COD中∵，∴（SAS），∴，∠BAO=∠DCO∴,∴是平行四边形，∵，∴即AC=BD，∴四边形是矩形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴．故答案为：矩；．【点睛】本题考查矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质，掌握矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，30°直角三角形性质是解题关键．8．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点．则线段的最小值是______．【答案】【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【详解】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=6，∴AB=，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=，∴CM的最小值=，∴线段DE的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出CM的长是解题的关键．9．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝__．【答案】【分析】设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，利用矩形ABCD可得AC＝13，进而可得S△BOC＝S△BOP+S△POC，求解可得PE+PF；【详解】解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝13，∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB•PF+OC•PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故填：．【点睛】本题主要考查矩形的性质、面积公式及勾股定理，难点在熟练使用辅助线和矩形性质；10．（2021·扬州市梅岭中学八年级期中）矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为____________．【答案】3或1.5【分析】当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:当点B′落在矩形内部时,图1所示．连结AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得,而当△CEB′为直角三角形时,只能得到,所以点A､B′､C共线,即沿AE折叠,点B落在对角线AC上的点B′处,则EB=EB′,AB=AB′=3,可计算出CB′=2,设BE=x,则EB′=x,CE=4-x,然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x;当点B落在AD边上时,图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:当点B′落在矩形内部时,如图1所示连结AC,在中,AB=3,BC=4,∴,∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,∴,当△CEB′为直角三角形时,只能得到,∴点A､B′､C共线,即沿AE折叠,点B落在对角线AC上的点B′处,∴EB=EB′,AB=AB′=3,∴CB′=5-3=2,设BE=x,则EB′=x,CE=4-x,在Rt△CEB′中,,∴,解得:,即;当点B落在AD边上时,图2所示,此时四边形ABEB′为正方形,∴BE=AB=3,综上所述:BE的长为3或1.5．【点睛】本题考查了折叠问题:折叠前后两个图形全等;矩形的性质以及勾股定理,解题的关键是要注意分类讨论思想,避免漏解．三、解答题11．（2021·青海西宁市·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，连接EO．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若CD＝6，求OE的长．【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）6【分析】（1）结合题意，可得四边形AEBO为平行四边形；再根据菱形性质，推导得，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，结合矩形性质，得；根据菱形性质，得，即可得到答案．【详解】（1）∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO为平行四边形∵菱形ABCD∴∴∴四边形AEBO为矩形；（2）∵四边形AEBO为矩形∴∵菱形ABCD∴∴．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，从而完成求解．12．（2021·重庆八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．（1）求证：四边形OEFG是矩形（2）若，，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据菱形的性质得到，，得到，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形的中位线定理得到，根据勾股定理得到，于是可求BD的长．【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，，，是AD的中点，，，，，，四边形OEFG是平行四边形，，，四边形OEFG是矩形；（2）由（1）得：分别为的中点，，在中，，四边形OEFG是矩形；，．【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．13．（2021·江苏八年级月考）如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【分析】（1）先说明四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，进而得到AC=BD，即可说明四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OE与BD交于F，由直角三角形斜边中线的性质可得EO=AO，即△AEO是等边三角形，再根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求出答案．【详解】证：（1）∵OC＝AO，OD＝BO∴四边形ABCD是平行四边形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四边形ABCD是矩形；（2）如图：连接OE与BD交于F∵四边形AOBE是平行四边形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等边三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键．14．（2021·北京八年级期末）如图，在直角△中，点，，分别是边，，的中点．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，，求出矩形的周长．【答案】（1）见解析；（2）矩形ADEF的周长为．【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接DE．∵E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵点D是边AB的中点，∴AD＝AB．∴AD＝EF．∴四边形ADFE为平行四边形；由点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE＝BC．∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，∴BC＝2AF，∴DE＝AF，∴四边形ADFE为矩形；（2）解：∵四边形ADFE为矩形，∴∠BAC＝∠FEC＝90°，∵AF＝2，∴BC＝4，CF＝2，∵∠C＝30°，∴AC＝2，CE＝，EF＝1，∴AE＝，∴矩形ADFE的周长＝2+2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．15．（2021·江苏八年级月考）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，AC=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，