华师版七年级下册数学全册教案

从实际问题到方程

知识技柜目标:复习列方程解应用题的方法；学会用检验的方法判断一个数是

否为方程的解.

过程性目标:经历用列方程的方法解决实际问题的过程，体会现实生活与数学

密不可分的关系.

教学重点：建立方程的概念

数学难点：根据具体间疽中的数量关系，列出方程和检验一个数是否为方程的

解

数学过程

一、创设情境

在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题,：

问题某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，

还娜租用44座的客车多少辆？

这个问题用数学中的什么方法来解决呢？

解（328-64）+44

=264+44

=6（柄）

答：还娜租用44座的客车6辆.

请•大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？

二、摞究归纳

方法是列方程解应用题的办法.

解设还需■租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.

根据题急列方程得

44x+64=328

你会解这个方程吗？自己试试看.

评列方程解应用题的基本过程是：

观察题急，找出等量关系；设未如数，并列出方程；解所列的方程；写出

答案.

问题在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就向同学：“我

今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

方法一：我们可以按年龄•的增长依次去诫.

1年后，老师的年龄是46岁，同学的牛轮是14岁，不是老师年龄的三分之一；

2隼后，老师的隼龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年馆的三分之

一—•

9

3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之

方法二：也可以用列方程的办法来解.

解设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，X年后同学的年龄是(13+x)

岁，老师年龄是(45+x)岁.

根据瓶怠，列出方程得

13+x=—(45+%)

这个方程不太好解，大家可以用强试、检验的方法找出它的解，即只要将x=l,

2,3,4,…代入方程的左右两边，看哪个数墟使左右两边的值相等，这样得到方

程的解为x=3.

评速方程左右两边的值相等的未知数的值，虢是方程的解.

要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，♦•柜

否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.

三、实践应用

例1甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少

16,求甲、乙两率间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程)？

分析等置关系是：

甲车间生产的台数+乙车间生产的台数=电视机总台数

解设乙车阚生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x-16)

根据题怠列方程僵

x+(3x-16)=120

例2检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解:

2(x+2)-5(l-2x)=-13,{x=-l,1}

解将x=-l代入方程的两边铿

左边=2(T+2)-5[l-2x(-1)]=-13

右边=-13

因为左边=右边，所以x=T是方程的解.

将x=l代入方程的两边得

左边=2(1+2)-5(1-2x1)=11

右边=-13

因为左边于右边，所以x=l不是方程的解.

四、交流反思

这节课主要讲了下面两个问题：

1.复习了用列方程的方法来解应用题,；

2.检验一C数是否为方程的解的方法.

五、检测反馈

练习：1、2题。

六、课后作业

习题6.1:1、2、3题。

教学反思：

数学：6.2.1方程的简单变形（一）

知识技能目标

1.理解并掌握方程的两个变形规则；

2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熬练运用移项法则解方程；

3.运用方程的两个变形规则解简单的方程.

过程性目标

1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程；

2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移；

3.体会移项法则：移项后要支号.

数学重点：方程的两种变形.

放学难点：由具体实例抽象出方程的两种变形

教学过程

一、创设情境

同学们，你们还记得“■■冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事.

小时候的曾•冲是多么地聪明啊！旗辖社会的进步，科学水平的发达，我们有越

来越多的方法测■•物体的黄量.

最咕见的方法是用天平测M-1*物体的质置.

我们来做这样一个实验，测一。物体的质置（设它的质■•为x）.首先把这个

物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上祛码，并使天平处于平衡状态，此町两

逸的质■»相等，那么祛码的质量就是所要称的物体的质量.

二、探究归纳

请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的法码，测物体的质置.

I向Q向/I向向向向向）（向/I向上向/

.、TI-

EZS

x+2=5>x=5-2

图⑴

实验1：如图（1）在天平的两边盘内同时取下2个小祛码，天平依然平衡，所测物体

的质量等于3个小祛码的质量.

I向囱邑I向向扃向/1向」I扃.向)

『八I

ZSZX

3x=2x+2〉3x-2x=2

图⑵

实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物

体的质量等于2个小祛码的质量.

1向向)1向向平向向/1甲J1向甲向J

2x=6=>*6+2

图⑶

实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然

平衡，所测物体的质量等于3个小祛码的质量.

上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般

规律？

方程是这样变形的：

方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变.

方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变.

请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有

相同之处？

通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程

的解.

三、实践应用

例1解下列方程.

⑴x-5=7；(2)4x=3x—4.

分析：(1)利用方程的变形规律，在方程％—5=7的两边同时加上5,即x—5+5=7+5,

可求得方程的解.

⑵利用方程的变形规律，在方程4x=3x—4的两边同时减去3x,即4x—3x=3x—3x—

4,可求得方程的解.

解⑴由

两边都加上5,得x=7(+5),

即x=12.

⑵由4x=4,

两边都减去3x,得4x~4,

即x=-4.

像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项

(transposition).

注(1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移

到了方程的右边.

(2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号.

例2解下列方程：

31

-X——

(l)-5x=2;(2)23；

分析：(1)利用方程的变形规律，在方程-5x=2的两边洞除以-5,即-5x

-5x22

+(-5)=2+(-5)(或-5--5),也就是x=-5,可求得方程的解.

3132

—X——————

(2)利用方程的变形规律，在方程23的两边间除以2成同乘以3,即

33133212

—X+—=—+——XX—=-X—

2232(或2333),可求得方程的解.

解(1)方程两边都除以一5,得

_2

X=5.

3

(2)方程两边都除以万，得

X=3233,

2

即x=9.

2

或解方程两边同乘以得

122

—x—二一

X=339.

注：1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.

2.上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x=a的形

式.

例3下面是方程x+3=8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？

(l)x+3=8=x=8-3=5;

(2)x+3=8,移项得x=8+3,所以x=11;

(3)x+3=8移项得x=8-3,所以x=5.

解⑴这种解法是错的.变形后新方程两边的值布原方程两边的值不相明所

以解方程时不能连等；

(2)这种解法也是错误的，移项要支号；

(3)这种解法是正确的.

四、交流反思

本强课我们通过实验得到了方程的变形规律：

(1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；

(2)方程两边都乘以成都除以同一个不为零的数，方程的解不变.

通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骚：

(1)移项：通常把含有未知数的项移到方程的左边，把咕数项移到方程的右边；

(2)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数(或同乘以未知数系数的倒数),

得到x=a的形式.

必须牢记：移项要支号！

五、检涮反愦

练习：1题

六、课后作业

练习：2题

数学反思:

6.2.1方程的简单变形(2)

数学目标：

知识目标：让学生进一步熟度方程的变形法则，体会方程的不府解法所经历的

转化思愁。

能力目标：使学生掌握解方程的基本方法，体验方法的多样性，培养学生的实

践能力和创新•精神。

情感目标：演透楂化的数学思慈。

数学重点：

由方程的变形法则在解方程的过程自主探索、归纳解方程的一般步藤。

教学难点：

方法的灵活应用和多样性。

教学过程：

创设情境，弓I入新课：

你还记僵上节课我们通样的变形来解方程的吗?

解下列方程：

(1)3x+2=4x

⑵M2

3.P6做一做

学生自学，发现问题，

自学指导：

阅读教材P6-7例3,弁回答云图中所提出的问题。

运用知识，训练技能

完成课后练习题1-6.

通过例题的学习和练习的解答，思考如何来解方程？

拓质深化，巩固提高

解下列方程：

(1)3x-7+4x=6x-2

(2)a-l=5+2a

(3)2y+3=ll-6y

(4)4x-l-2x=-1

已知：yi=3x+2,y2=4-x,当x率何值时，y=y2?

单项式2a2x+lb2与-8ax+3b2的和仍是单项式，求x的值。

5

将6x=7x两边都除以x,得到6=7,面对这个可笑的结论，四名同学分别指出

了错误的原因，其中正确的是()

A.甲：“方程本与就是错误的。”

B.乙：“这个方程没有解。”

C.丙：“因为6x小于7x。”

D.丁：“因为方程两边都除以了0。”

五、场谈收获，分享成果：

1.解方程的一般步喝■:

移项——合弁同类项——未知数系数化为1

2.解方程的结果一定晏转化为x=a的形式。

3.在学习的过程中，你还有什么疑问或收获？

六、布Jt作业：

P7习题6.2.1

1.2.3.

板书设计

6.2.1(2)

解方程的一放步骤：

移项——合并同类项——未知数系数化为1

教学反思：

6.2.2解一元一次方程(一)

数学目标：

知识目标：了解一元一次方程的概念，掌握含有括号的一元一次方程的解法。

能力目标：使学生掌握有括号的一元一次方程的解法，体验方法的多样性，培

养学生的实践能力加创新精神。

情感目标：渗透转化的数学思慈。

教学重点：解含有括号的一元一次方程的解法。

教学难点：括号前面是负号时，去括号时忘记变号。

教学过程设计

一、复习提问

1.解下列方程：

(l)5x-2=8(2)5+2x=4x

2.去括号法则是什么？“移项”要注意什么？

一、新投

一元一次方程的概念

前面我们遇到的一些方程，例如44x+64=3283+x=j(45+x)y-5=2y+I

问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征？

(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1,这样的方

程叫做一元一次方程。

例1.判断下列哪些是一元一次方程

31c.112x,

4x=23x—23x—g=y—I

5x2—3x+l=02x+y=I—3y

下面我们再一起来解几个一元一次方程。

例2.解方程(1)-2a-1)=4

(2)3(x-2)+l=x-(2x-l)

方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x—l)的一元一次方程进行求解。

第⑵题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以

括号内的每一项，若括号前面是“一”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符

号。

补充例题：解方程3x—[3(x+l)—(l+4)]=l

方程中有多重括号，你会解这个方程吗？

说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法

去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

三、巩固练习

练习，1、2、3o

四、小结

本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。

用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。

五、作业

6.2,2第1题。

数学反思：

6.2.2解一元一次方程（二）

数学目标：

知识目标：使学生掌握去分母解方程的方法，并从中体会到转化的思想。

能力目标：对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自

觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

情感目标：渗透转化的数学恩慈。

教学重点：掌握去分母解方程的方法。

教学难点：求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。

数学过程

一、复习提问

1.去括号和添括号法则。

2.求几个数的最小公倍数的方法。

二、新授

例1：解方程苧一竽=1

分析：如何解这个方程呢?此方程可改写成

\(X—3)—|(2x+l)=l

所以可以去括号解这个方程，先让学生自己解。

同学们，想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程，这样,

我们就可以用已学过的方法解它了。

解法二；把方程两边都乘以6,去分母。

比较两种解法，可知解法二简便。

想一想，解一元一次方程有哪些步骤？

先让学生自己总结，然后互相交流，得出结论。

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数

化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。解题时，要灵活运用这些

步骤。

补充例2：解方程I(x+15)=|—|(x—7)

问：如果先去分母，方程两边应同乘以一个什么数？

应乘以各分母的最小公倍数，5、2、3的最小公倍数。

三、巩固练习

练习1、20

(练习第1题是辨析题，引导学生进行分析、讨论，帮助学生在实践

中自我认识和纠正解题中的错误)

四、小结

1.解一元一次方程有哪些步骤？

2.同学们要灵活运用这些解法步骤，掌握移项要变号，去分母时，方程两边每一项

都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方

面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上。

五、作业

习题6.2,2第2题。

教学反思：

6.2.2解一元一次方程（三）

数学目标：

知识目标：理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解

简单应用题。

能力目标：使学生学抠解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，体融方法

的多样性，培养学生的实践能力和创新精神。

情感目标：渗透榜化的数学思想。

教学重点：弄清应用题题意列出方程。

教学难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授。

例1、如图（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从

盘A内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等？

先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和

未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。

分析：设应从A盘内拿出盐x,可列表帮助分析。

等量关系；A盘现有盐=8盘现有盐

完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。

（盘A现有盐为51—3=48,盘B现有盐为45+3=48。）

培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同

学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？

引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：

1.题目中有哪些已知量？

(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

(2)初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

(3)初一和其他年级同学一共搬了400块。

2.求什么？

初一同学有多少人参加搬砖？

3.等量关系是什么？

初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数=400

如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量⑴可得，其他年级同学有(65—x)人

参加搬砖；再由已知量⑵和等量关系可列出方程

6x+8(65-x)=400

也可以按照教科书上的列表法分析。

三、巩固练习

练习1、2、3

第I题：可引导学生画线图分析

等量关系是：AC十CB=400

若设小刚在冲刺阶段花了x秒，即tl=x秒，贝！jt2(65—x)秒，再

由等量关系就可列出方程：

6(65-x)+8x=400

四、小结

本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住

能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，

哪些是未知的，用字母表示适当的未知数（设元），再将其余未知量用这个字母的代数式表

示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最

后写出答案。

五、作业

3、4、5题。

数学反思：

6.3实践与探索（一）

数学目标：

知识目标：使学生掌握国成的长方形的长和宽在发生变化，但在图的过程中，

长方形的周长不变，由此便可瘦立“等*关系”同时根据计算，发现嬉昔长方形长

与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大.

能力目标：让学生通过独立思考，积极探索，培养学生积极思考，解决问题的

能力。

情感目标：通过解决问题，培养积极进取的人生态度

数学置点；通过分析图形问题中的数丑关系，速立方程解决问题

教学难点：找出“等量关系”列出方程.。

数学过程

一、复习提问

1.列一元一次方程解应用题的步骤是什么？

2.长方形的周长公式、面积公式.

等十'ea

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本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数置关系，&立方

程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等•《•关

系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极摞索，找出等量关系.

五、作业

习题6.3.1第1、2、3.

数学反思：

6.3实践与探索（二）

数学目标：

知识目标：逋过分析储蓄中的数置关系，以及商品利润等有关知识，经历运用

方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的多效数学模

at.

能力目标：让学生通过独立思考，积极摞索，培养学生积极思考，解决问题的

能力。

情感目标：通过解决问题，培养积极进承的人生态度

教学重点：探索这些实际问趣中的等置关系，由此等■•关系列出方程.数学难

点：找出能表示整个题急的等量关系

数学过程：

一、复习

1.储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系利

A,=本金X年利率X年■数

本利和=本金X利度X年数+本金

2.商品利润等有关知识.

商品利润

利润=售价一成本————=商品利润率

成本

二、新投

在本章6.1练习中讨论过的效*储蓄，是我国目前皆不征收利息税的储种，国

家对其他储蓄所产生的利息征收20%的个人所得税，即利凡税.今天我们来探索一

般的储蓄问题.

问题4.小明爸爸前年有了年利率为2.43%的二年期定期储蓄，今年到期后，

扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，向小明爸爸为

隼存了多少元？

先让学生思考，试詈列出方程，对有困难的学生，数师可引导他们进行分析，

找出分置关系.

利息-利息税=48.6

可设小明爸爸前年存了X元，那么二年后共得利凡为

2.43%xXx2,利息税为2.43%Xx2x20%

根据关系，得2.43%x•2-2.43%xx2x20%=48.6

问，扣除利息的20%,那么实际得到的利息是多少？你能否列出

校简单的方程？

扣除利息的20%,实际得到利息的80%,因此可得

2.43%x,2・80%=48.6

解方程，得x=1250

例1.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的

80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这种服装每件的成本是多少元？

大家慈一慈这15元的利润是怎么来的？

标价的80%（即售黄）-成本=15

若设这种服装每件的成本是x元，那么

每件服装的标价为：（1+40%）x

有■件服装的实际售价为：（1+40%）x•80%

每件服装的利润为：（l+40%）x・80%-x

由等量关系，列出方程：

（l+40%）x«80%-x=15

解方程，售x=125

答：每件服装的成本是125元.

三、巩固练习

练习1、2.

四、小结

本节课我们利用一元一次方程解决有关储蓄、商品利润等实际问题，当运用方

程解决实际问题时，首先要弄清题意，从实际问题中抽象出数学问叫然后分析数

学问题中的等■•关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性.应

用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等■•关系”.

五、作业

习题6.3.1,第4、5题.

数学反思：

6.3实践与探索（三）

数学目标：

知识目标：使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律;通过对“工程

问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的艇力。

能力目标：使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和卷握基本的数学知

识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。

情感目标：通过解决问题，培养积极进取■的人生态度

数学宜:点：工程中的工作置、工作的效率和工作时间的关系.

数学难点：把全部工作■•看作“1”.

教学过程：

一、复习提问

1.一件工作，如果甲单独做2小时窕成，那么甲独做I小时完成全部工作置

的多少？

2.一件工作，如果甲单独做.小时完成，那么甲独做1小时，完成全部工作置

的多少？

3.工作置、工作效率、工作时间之间有怎样的关系？

•—W3X

让学生阅读散科书第18页中的问题6.

分析：1.这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什

么？小刘提出什么问疽？

已知：制作一块广告牌，师傅单独完成哪4天，徒弟单独做要6天.

小刘提出的问题是：两人合作娜要几天完成？

2.怎样用列方程解决这个问题？本瓶中的等・•关系是什么？

［等*关系是：师傅做的工作■•+徒弟做的工作・•=1）

若设两人合作姆要x天完成，那么甲、乙分别做了几天？甲、乙的工作效率是

多少？

本题中工作总■•没有告诉，我们把它看成“1”，那么师傅每天完;，徒弟每

1

天完成片，根据等量关系可得.

0

XX

一十一=1

46

解得x=2.4（天）

3.你还能提出什么问题？试试看，并解答这整问题.

让学生充分思考，大胆提出问题,，互相交流，对于合理的问题，让大家共

同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理？应改为怎样提？

4.李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么？求什么？

［“