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文档简介

§4-2一、函数单调性的判定法函数的单调性与极值二、函数极值及其求法经济数学基础》配套课件一、函数单调性的判定法若定理4.2.1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕经济数学基础》配套课件例1确定的单调性.解因为

且只有时，，

所以在内是单调增加的.

经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件练习

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为经济数学基础》配套课件说明:1)

单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.例如,2)

如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,经济数学基础》配套课件总结：求函数单调区间的步骤：

（1）求函数的定义域；（2）求导数，令．

求出驻点及找出导数不存在的点，用驻点与导数不存在的点将定义域分为若干个部分区间；（3）判断在各个部分区间内的符号，从而判定函数的单调性．经济数学基础》配套课件二、函数的极值及其求法定义4.2.1:在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.经济数学基础》配套课件注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(前面的练习)为极大点,是极大值是极小值为极小点,经济数学基础》配套课件定理4.2.2(必要条件)定义注意:例如,函数极值的求法经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件定理4.2.3

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)经济数学基础》配套课件总结得到求极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域，求出导数；（2）找出全部极值可疑点；（3）用极值可疑点把函数的定义域划分为若干个部分在每一个部分区间内的符号；区间，并确定（4）利用定理4.2.3确定在极值可疑点是否取得极值，如果是极值，确定是极大值还是极小值；（5）求出各极值点的函数值，即得函数的全部极值.经济数学基础》配套课件例3求函数的单调区间和极值.解（1）函数的定义域为；（2）令，得（3）列表讨论如下：经济数学基础》配套课件0-0-0+↘0↘↗极小值由上表可知，的单调减少区间为

单调增加区间为，极小值为

经济数学基础》配套课件另例求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为经济数学基础》配套课件定理4.2.4

(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:

(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.经济数学基础》配套课件例4

求函数的极值.解（1）函数定义域为；（2），；（3）令得，由于，所以为极大值；

，所以为极小值.

经济数学基础》配套课件另例.

求函数的极值

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