41微分中值定理

第四章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理与导数的应用经济数学基础》配套课件一、罗尔(Rolle)定理§4-1微分中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第四章四、洛必达（L’Hospital)法则经济数学基础》配套课件一、罗尔(Rolle)定理例如,经济数学基础》配套课件几何解释:经济数学基础》配套课件注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,经济数学基础》配套课件例1

判断函数在闭区间上是否满足罗尔定理，如果满足则求出满足定理的解（1）函数在闭区间上连续；（2）在闭区间上有意义，即在内可导；（3）.所以，函数在上满足罗尔定理.令，解得.即存在一点，使.经济数学基础》配套课件3.1微分中值定理练习验证罗尔中值定理对函数，在区间上的正确性。并求出罗尔定理结论中的。解：因为是初等函数，所以在上连续；在又因为，所以内可导；而所以满足定理的条件。且f

(x)=3x2+6x，所以有以下等式：

.因为x=0不在开区间(-3,0)内.故舍去.解得所以，取，使得经济数学基础》配套课件练习证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,经济数学基础》配套课件例2

不用求出函数的导数，判断方程有几个实根，并指出它们所在的区间.解

在，上满足罗尔定理的条件.

，

使得因此在内至少存在一点，

所以是的一个实数根.

，使又因为在内至少存在一点，所以是的又一个实数根.而是一个一元二次方程，

最多只能有两个实根.所以有两个实根，它们分别在区间

及内.经济数学基础》配套课件二、拉格朗日(Lagrange)中值定理经济数学基础》配套课件几何解释:证分析:弦AB方程为经济数学基础》配套课件作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.经济数学基础》配套课件拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理经济数学基础》配套课件经济数学基础》配套课件3.1微分中值定理问函数f(x)=x3

–3x在[0,2]

满足拉格朗日定理的条件吗？如果满足请写出其结论.练习解：显然f(x)在[0,2]上连续；在(0,2)内可导；定理条件满足。且f

(x)=3x2

–3，所以有以下等式：

由于f(2)=2，f(0)=0，f

(x)=3x

2

–3，将这些值代入，可解得是在开区间(0,2)内的，为所求结论.显然经济数学基础》配套课件例4证由上式得经济数学基础》配套课件推论1推论2经济数学基础》配套课件例证经济数学基础》配套课件三、柯西(Cauchy)中值定理经济数学基础》配套课件几何解释:经济数学基础》配套课件小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.经济数学基础》配套课件费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.经济数学基础》配套课件拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.经济数学基础》配套课件柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,经济数学基础》配套课件三、其他未定式二、型未定式一、型未定式四、洛必达法则经济数学基础》配套课件微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则经济数学基础》配套课件一、存在(或为)定理4.1.4型未定式(洛必达法则Ⅰ

)经济数学基础》配套课件(

在x,a

之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a

为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,存在(或为)经济数学基础》配套课件推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则经济数学基础》配套课件例5

求.解

(型)例6

求.解

经济数学基础》配套课件例7

求解

此式不存在，也不是无穷大，故罗必塔法则Ⅰ失效.经济数学基础》配套课件练习1.

求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!经济数学基础》配套课件练习2.

求解:原式思考:

如何求(n

为正整数)?经济数学基础》配套课件二、型未定式存在(或为∞)定理4.1.5(洛必达法则Ⅱ

)经济数学基础》配套课件说明:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.经济数学基础》配套课件例8.

求解:原式例9

求

解:原式经济数学基础》配套课件例10求

解

原式不存在，也不是无穷大，所以罗必塔法则Ⅱ失效.原式经济数学基础》配套课件例11.

求解:注意到～原式经济数学基础》配套课件三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例12求解:

原式经济数学基础》配套课件解:

原式通分转化取倒数转化取对数转化例13求经济数学基础》配套课件例14.

求通分转化取倒数转化取对数转化解:

原式因为所以经济数学基础》配套课件例15.

求解:

利用例12通分转化取倒数转化取对数转化经济数学基础》配套课件例16.

求通分转化取倒数转化取对数转化解:

原式因为所以经济数学基础》配套课件内容小结洛必达法则令取对数经济数学基础》配套课件思考与练习1.

设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限原式～分析:2.经济数学基础》配套课件分析:3.原式～～经济数学基础》配套课件洛必