浙江省西湖区翠苑中学教育集团2023-2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，103．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是A． B． C． D．4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是A． B． C． D．5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是A． B． C． D．6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是A．4 B．10 C．4或10 D．6或107．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件A． B．或 C．且 D．以上都不正确8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为A．4 B．6 C．8 D．109．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为A． B． C． D．10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为．13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为．15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为．16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为，的值为．三.解答题（本题有7个小题，共66分）17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．（1）在图中，作出关于直线对称的△；（2）在图中找一点，连接，使平分的面积；（3）在直线上找一点，使最小；（4）的面积为．19．（10分）如图，已知，．（1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的前提下，若，，求的长．20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．（1）已知，求的度数；（2）求与之间满足的数量关系．21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上．（1）求证：．（2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由．22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接．（1）求证：；（2）已知，．①求的面积；②求的长．23．（10分）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接（2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：；（3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别在边、上，且，若，，求长．

2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．【解答】解：、，无法构成三角形，不合题意；、，无法构成三角形，不合题意；、，无法构成三角形，不合题意；、，可以构成三角形，符合题意；故选：．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．3．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是A． B． C． D．【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．【解答】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，故选：．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是A． B． C． D．【分析】根据证明，即可推出．【解答】解：在和中，，，．故选：．【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：、，且，可求得，故不是直角三角形；、不妨设，，，此时，故是直角三角形；、，且，可求得，故是直角三角形；、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是A．4 B．10 C．4或10 D．6或10【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解．【解答】解：当时，，不符合三角形三边关系，舍去；当时，，符合三角形三边关系．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解．7．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件A． B．或 C．且 D．以上都不正确【分析】根据“”证明，因图中已经有为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．【解答】解：从图中可知为和的斜边，也是公共边．根据“”定理，证明，还需补充一对直角边相等，即或，故选：．【点评】此题主要考查学生利用“”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由等边三角形的性质推出，，由含角的直角三角形的性质推出，而，即可求出的长．【解答】解：是等边三角形，，，，，，，，，于点，，，．故选：．【点评】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形，关键是由含角的直角三角形推出．9．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为A． B． C． D．【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形的性质求得，设，进而求得，根据三角形的内角和定理求得，即可求解．【解答】解：在中，为中线，，，设，，，，，，，故选：．【点评】考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；③过点作于点，当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；④过点作于点，得出，求出，即可求出结果．【解答】解：①，是的角平分线，，，垂直平分，，，，，故①正确；②，，，是的角平分线，，，，，，，，，，，故②正确；③根据解析①可知，，当最小时，最小，过点作于点，如图所示：当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，平分，，，，，，即的最小值是，故③错误；④过点作于点，如图所示：平分，，，，，，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为3．【分析】过作于，根据角平分线的性质得出，求出即可．【解答】解：过作于，，，平分交于点，，，，，，，即到的距离为，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为或【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案．【解答】解：①当外角是底角的外角时，底角为：，②当外角是顶角的外角时，顶角为：，则底角为：，底角为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为．【分析】连接，根据列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接，，，，，的面积为，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积，作辅助线把分成两个三角形列出方程是解题的关键．15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为或．【分析】由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．【解答】解：将沿翻折至△处，，，，，，当，则，，；当，则，，，故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为6，的值为．【分析】证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，设，，由勾股定理及正方形的性质可得出，则可得出答案．【解答】解：由正方形的性质可得，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，，．故答案为：6；0．【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键．三.解答题（本题有7个小题，共66分）17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：．【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．【解答】证明：作于，（已知），（三线合一），又（已知），（三线合一），，即（等式的性质）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案．18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．（1）在图中，作出关于直线对称的△；（2）在图中找一点，连接，使平分的面积；（3）在直线上找一点，使最小；（4）的面积为8．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，作△即可；（2）取的中点，连接即可（3）连接交于点，则点满足条件；（4）根据正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，利用图形面积的和差即可计算出的面积．【解答】解：（1）过点作于，在的延长线上截取，则点与点关于直线对称，同理：作出点，，作△，则△为所求；（2）取的中点，连接，则平分的面积．故点为所求；理由如下：点为的中点，，与等底同高，与的面积相等，平分的面积；（3）连接交于点，则点为所求．理由如下：在上任取一点（不与点重合），连接，，，，点与点关于直线对称，为的垂直平分线，，，，，根据“两点之间线段最短”得：，，为最小；（4）正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，．【点评】此题主要考查了轴对称图形及其性质，最短路线等，解答此题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，理解两点之间线段最短，等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等．19．（10分）如图，已知，．（1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的前提下，若，，求的长．【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：（1）如图，为所作；（2）垂直平分，，在中，，，，即，解得．【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．（1）已知，求的度数；（2）求与之间满足的数量关系．【分析】（1）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数；（2）结合（1）进行分析即可．【解答】解：（1）是边上的高线，，是的外角，，，平分，，；（2），理由如下：是边上的高线，，是的外角，，平分，，；即．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上．（1）求证：．（2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由．【分析】（1）连结，由，，得，由是的中点，得，，，则，，所以，可证明，得；（2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以．【解答】（1）证明：连结，是等腰直角三角形，，，，是的中点，，，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，理由：，，，，，．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接．（1）求证：；（2）已知，．①求的面积；②求的长．【分析】（1）根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后再利用