《正态分布》教学设计

高中数学精选资源3/3《正态分布》教学设计教学设计教学环节教学内容师生活动设计意图情境引入教材第87页“尝试与发现”：已知服从参数为的二项分布,即,你能手工计算出的值吗?教师请学生阅读教材“尝试与发现”栏目内容，并思考、尝试进行回答.学生阅读，思考，回答.预设学生求不出来，使用一般的计算器也不行.教师借助计算机软件算出结果，引出课题.开门见山，提出问题，引发学生思考,为引入新知做好铺垫.新知探究一、正态曲线1.概念.一般地,对应的图像称为正态曲线(或钟形曲线),其中,即的均值;,即的标准差.2.正态曲线的性质.（1）正态曲线关于对称(即决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;（2）正态曲线与轴所围成的图形面积为1；（3）决定正态曲线的“胖瘦”:越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.例1求正态曲线与轴在下列区间内所围的面积:（1）;（2）（3）;（4）,,.解（1）因为正态曲线是关于对称的,而且正态曲线与轴所围成的图形面积为1,因此所求面积为.（2）利用对称性可知,所求面积为区间内面积的2倍,即约为（3）利用对称性可知,所求面积约为（4）利用对称性可知,所求面积约为二、正态分布1.概念.一般地,如果随机变量落在区间内的概率,总是等于对应的正态曲线与轴在区间内围成的面积,则称服从参数为与的正态分布,记作,此时称为的概率密度函数.更进一步的研究表明,此时是的均值,而是的标准差,是的方差.原则.若,那么：（1）;（2）;（3）（4）最后的式子意味着,约有的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约的可能会落入这一范围之外（这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“原则”例2假设某个地区高二学生的身高服从正态分布,且均值为170(单位:,下同),标准差为.在该地区任意抽取一名高二学生,求这名学生的身高：（1）不高于170的概率;（2）在区间内的概率;（3）不高于180的概率.解设该学生的身高为,由题意可知.（1）易知.（2）因为均值为170,标准差为10,而,所以（3）由概率的加法公式可知.又由(2)以及正态曲线的对称性可知，因此.例3假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布(单位:,该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量均大于.（1）求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于的概率为多少;（2）检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修.检测员的判断是否合理?请说明理由.解设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为,由题意可知.（1）由于,所以根据正态分布的对称性与“原则”可知（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都大于的概率约为.几乎为零,但这样的事件竟然发生了.所以有理由认为生产线出现了异常,检测员的判断是合理的.三、标准正态分布且的正态分布称为标准正态分布,其在正态分布中扮演着核心角色,这是因为如果,那么令,可得,即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.2.如果,那么对于任意,通常记,也就是说表示对应的正态曲线与轴在区间内所围的面积.例4已知,利用教材第92页上的表格求以下概率值;（1）;（2）;（3）.解（1）.（2）因为,而,且由教材中表格可知,所以（3）由概率的加法公式以及教材中表格可知.教师请学生求的分布列,并用直观图表示出来.学生计算概率分布,并画出直观图.教师引导学生观察概率分布直观图,探索性质.学生思考,得出性质:（1）中间高、两边低;（2）图形关于直线对称,而且;（3）某一整数上方的矩形面积正好等于,其中,,;（4）所有矩形的面积之和为.教师提供计算机软件请学生类比作出,的概率分布直观图,并分析直观图的性质.学生利用作图,对比、分析,发现共性.教师介绍正态曲线的概念,并引导归纳正态曲线的性质.学生分析、总结.教师给出如下数据,请学生完成例.学生根据提供的数据及图像特征完成例1的解答.教师对学生的解答进行点评,强调要利用正态曲线的性质解题.教师介绍正态分布的概念，请学生理解概念.学生从定义及参数意义等方面理解概念.教师给出正态分布的“原则”，并出示例2、例3，请两组学生进行板演.教师巡视课堂，了解学生解题过程中存在的问题，并进行适时指导，对学困生进行关注和思路点拨.学生完成例2、例3，并对板演结果进行补充.教师点评学生的答案，进行补充和完善，强调答题的规范性.师生共同总结解题的步骤，寻找通性通法.教师介绍标准正态分布的概念及的性质和相关图像，引导学生结合标准正态分布表思考、得出正态分布的概率求法，并请学生完成例4，以提问的方式检查学生的完成情况.学生理解概念，学会查表求概率，完成例4的解答，并积极回答.教师对学生的回答进行点评，并同学生一起梳理解题方法.教师通过例题介绍正态分布的作用，学生体会正态分布在近似计算中的作用.通过借助计算机软件，类比找出共同点，自然生成正态曲线的概念，同时通过极限思想观察得出正态曲线的性质，并结合例1进行理解，达到掌握正态曲线的目的，同时也能在学习过程中较自然地提升学生的数学抽象、逻辑推理与直观想象核心素养.学习正态分布的定义及性质，通过例题进一步理解正态分布的概念以及学会使用“原则”解题，积累基本的解题经验，培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，突破重难点，提升学生的数学运算与逻辑推理核心素养.理解正态分布与标准正态分布间的联系，学会将正态分布转化为标准正态分布，并通过查标准正态分布表求解概率问题，通过例题及实例，体会正态分布的实用性，提升学生数学建模核心素养.归纳小结1.正态曲线.2.正态分布.3.标准正态分布.教师引导学生分组回答，小组评价.培养学生概括总结的能力.布置作业教材第93~94页练习A第1，34题.学生独立完成，教师批改.巩固知识.板书设计4.2.5正态分布一、正态曲线1.概念一般地对应的图像称为正态曲线（或钟形曲线），其中即X的均值;,即的标准差2.正态曲线的性质（1）正态曲线关于对称（即决定正态曲线对称轴的位置）,具有中间高两边低的特点;（2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；（3）决定正态曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大,数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”例1二、正态分布1.概念一般地,如果随机变量X落在区间内的概率，总是等于对应的正态曲线与x轴在区间内围成面积,则称服从参数为与的正态分布,记作,此时称为X的概率密度函数.更进一步的研究表明,此时是X的均值,而是X的标准差,是X的方差原则若,那么：（1）;（2）（3）;（4）.最后的式子意味着,约有的可能会落在距均值3个标准差的范用之内,也就是说只有约的可能会落入这一范围之外（这样