2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.4简单计数问题学案含解析北师大版选修2-3

PAGE4简洁计数问题授课提示：对应学生用书第17页[自主梳理]解答排列组合问题首先要仔细审题，弄清晰是排列问题还是组合问题，还是排列与组合的综合问题，其次要抓住问题的本质特征．1．对于比较困难的组合问题，常常不是简洁地用一个组合公式就可以得到结果的，而须要分________，恰当地运用__________、__________、__________，才能得到正确的计算式子，特殊是对有肯定限制条件的问题，列式时更要谨慎当心．2．较为困难的排列组合应用题，往往通过________或________转化为简洁的排列组合应用题，________是常常应用的选取程序．[双基自测]1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参与某档电视节目，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法数为()A．224 B．112C．56 D．282．5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为()A．18 B．20C．24 D．483．将4本不同的书摆在书架上，其中A，B两本书必需相邻的摆法有________种．4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种．[自主梳理]1．各种状况两个基本计数原理排列数公式组合数公式2.分类分步先组合后排列[双基自测]1．B依据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112种，故选B.2．C将甲乙和中间站的人视为一个元素，与剩余1人进行全排列，故不同站法有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(种)．3．12先将A、B看成整体与另外两本书进行排列，再将A、B进行排列，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12种摆法．4．30用间接法求得，Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝30(种)．授课提示：对应学生用书第17页探究一“先选后排法”的应用[例1](1)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法种数为()A．18 B．30C．36 D．48(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满意条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”A．60 B．90C．120 D．130解析：(1)由于a1，a3，a5的大小依次已定，且a1≠1，a3≠3，a5≠5，所以a1可取2,3,4，若a1＝2或3，则a3可取4,5，当a3＝4时，a5＝6，当a3＝5时，a5＝6；若a1＝4，则a3＝5，a5＝6.而其他的三个数字可以随意排列，因而共有(2×2＋1)Aeq\o\al(3,3)＝30种排列方法．(2)易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种状况探讨．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10种状况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＝40种状况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＝80种状况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.答案：(1)B(2)D对于困难的排列问题，先选出符合要求的元素，再考虑元素的依次，实质是运用排列的定义，把事务分为两个步骤完成，这种方法常称之为“先选后排法”．1．(1)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)个C．(Ceq\o\al(1,26))2104个 D．Aeq\o\al(2,26)104个(2)设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，映射f：A→A满意f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)，则这样的映射f的个数为()A．Aeq\o\al(4,7)Aeq\o\al(3,3) B．Ceq\o\al(4,7)C．77 D．Ceq\o\al(4,7)73解析：(1)英文字母可以相同，故有(Ceq\o\al(1,26))2种选法，而数字有0～9共10个，不允许重复，故有Aeq\o\al(4,10)种排法，由分步乘法计数原理，满意要求的牌照号码共有(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个，故选A.(2)先从集合A中任取4个不同的元素作为一个组合，并按从小到大的依次赋为1,2,3,4在映射f下的象，有Ceq\o\al(4,7)种方法，再依次为5,6,7确定象，有73种方法，故满意题意的映射f的个数为Ceq\o\al(4,7)·73.答案：(1)A(2)D探究二分组安排问题[例2]有6本不同的书，依据以下需求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．[解析](1)每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有Ceq\o\al(2,6)种，再由乙在余下的书中取2本，取法有Ceq\o\al(2,4)种，最终由丙取余下的2本书，有Ceq\o\al(2,2)种取法，由分步乘法计数原理可知共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种分法．(2)选取方法同(1)，所以共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种分法．(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的同等地位，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360种分法．(4)由于三堆的位置并无差别，可用(1)的分法数除以Aeq\o\al(3,3)，所以共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15种分法．(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种分法．(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全匀称分组，每组的元素个数均相等；②部分匀称分组，应留意不要重复，若有n组匀称，最终必需除以n！；③完全非匀称分组，这种分组不考虑重复现象．(2)安排问题属于“排列”问题，安排问题可以按要求逐个安排，也可以分组后再安排．2．(1)有甲、乙、丙三项任务，甲需2人担当，乙、丙各需1人担当，从10人中选派4人担当这三项任务，不同的选法有__________种．(2)在送医下乡活动中，某医院支配甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少支配一名医生，且甲、乙两名医生担心排在同一医院工作，丙、丁两名医生也担心排在同一医院工作，则不同的安排方法总数为________．解析：(1)先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(2,8),A\o\al(2,2))种分法．再考虑排列，甲任务需2人担当，因此2人的那个组只能担当甲任务，而一个人的两组既可以担当乙任务又可以担当丙任务，所以共有eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(2,8),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(2,2)＝2520种不同的选法．(2)当两所2人一所1人时，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))种，其中甲乙或丙丁在同一医院有Aeq\o\al(3,3)＋4Aeq\o\al(3,3)种；当一所3人两所1人时，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)种，故满意条件的安排方法总数为eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))－Aeq\o\al(3,3)－4Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝84.答案：(1)2520(2)84探究三排列组合的综合应用[例3]从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中的七位数中，随意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[解析](1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有Ceq\o\al(3,4)种状况；其次步，在5个奇数中取4个，可有Ceq\o\al(4,5)种状况；第三步，把3个偶数，4个奇数进行排列，可有Aeq\o\al(7,7)种状况．所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝14400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有：Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(个).(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4奇数排好，再把3个偶数分别插入5个空当中，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝28800(个)．解决排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先支配的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略．3．6个人进2间屋子，求满意下列条件的安排方法各有多少种？(1)每屋内至少进1人；(2)每屋都进3人．解析：(1)解法一按第1间屋子内进入的数目可分5类：进1人，2人，3人，4人，5人．因此，要把这5类安排进屋的方法数加起来，对于每一类而言，如“第1间屋进4人，第2间进2人”这类安排方式，又可看成先派4人进入第1间屋，再派余下的2人进入第2间屋．这样得到Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(2,2)种进屋方法，于是总共方法为Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(1,1)＝62(种)．解法二从6人进2间屋子的各种安排方法数中减去不合题意的安排方法数来计算．不合题意的安排方法只有2种，即6人全进第1间或全进第2间．即间接法解得：26－2＝62(种)．(2)解法一先派3人进第1间屋，再让其余3人进第2间屋，得安排方法为：Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(3,3)＝20(种)．解法二先把6人平均分成两组，方法有：eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))(种)，然后再安排到房间，共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝20(种)．因重复计算或遗漏计算致误[典例]4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有一个空盒子的放法有________种(用数字作答)．[解析]由题设，必有一个盒子内放入2个球，从4个球中取出2个球，有Ceq\o\al(2,4)种取法，此时把它看作一个球，与另2个球共3个球放入4个盒子中，有Aeq\o\al(3,4)种放法，所以满意题意的放法为Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144(种)．[答案]144[错因与防范]1.解答本题常见的错解与错因错解一：从4个球中任取3个球，有Ceq\o\al(3,4)种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有Ceq\o\al(3,4)种取法，将3个球放入到取出的3个盒子中，有Aeq\o\al(3,3)种取法，剩下的1个球放入到3个盒子中的一个，有3种放法．所以满意题意的放法有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(3,3)·3＝288(种)．