全国统考2024高考数学一轮复习单元质检卷八立体几何A理含解析北师大版

单元质检卷八立体几何(A)(时间:60分钟满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024陕西咸阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32 B.23 C.22 D.22.(2024安徽黄山模拟)E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合),BD1∥平面B1CE,则()A.BD1∥CE B.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1 D.D1E=EC13.(2024山东济宁三模,7)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V,求这个球的直径d的近似公式,即d≈3169V.若取π=3.14,试推断下列近似公式中最精确的一个是(A.d≈32V B.dC.d≈32011V D.4.已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是边长为2的正方形,若过点P作平面ABCD的垂线,垂足为四边形ABCD的中心,且四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60°,则四棱锥P-ABCD的高为()A.22 B.3 C.6 D.235.(2024山东济南三模,4)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若O1O2=2,则圆柱O1O2的表面积为()A.4π B.5πC.6π D.π6.(2024广东珠海模拟)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2024山东莱芜模拟)一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为cm.

8.某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为.

三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)(2024河南郑州模拟)如图1,△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,E,F分别为边AB,AC的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置(如图2),且PB=BE.(1)证明:EF⊥平面PBE;(2)设N为线段PF上的动点(包含端点),求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.10.(12分)(2024山东日照一模,理19)如图,已知四边形ABCD为等腰梯形,BDEF为正方形,平面BDEF⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=AB=1,∠ABC=60°.(1)求证:平面CDE⊥平面BDEF;(2)点M为线段EF上一动点,求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围.11.(12分)(2024山东泰安一模,19)在四边形ABCP中,AB=BC=2,∠P=π3,PA=PC=2;如图,将△PAC沿AC边折起,连接PB,使PB=PA(1)求证:平面ABC⊥平面PAC;(2)若F为棱AB上一点,且AP与平面PCF所成角的正弦值为34,求二面角F-PC-A的大小参考答案单元质检卷八立体几何(A)1.B在正方体中还原该四棱锥,如图所示,可知SD为该四棱锥的最长棱.由三视图可知正方体的棱长为2,故SD=22+22+2.D如图,设B1C∩BC1=O,可得平面D1BC1∩平面B1CE=EO,∵BD1∥平面B1CE,依据线面平行的性质可得D1B∥EO,∵O为BC1的中点,∴E为C1D1中点,∴D1E=EC1,故选D.3.D由球体的体积公式得V=43πR3=43π×d23=πd36,得d=36Vπ,6π≈14.C如图,高为PO,依据线面角的定义可知∠PCO是侧棱PC与底面所成的角,据题设分析知,所求四棱锥P-ABCD的高PO=22+222tan60°5.C因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,不妨设圆柱底面半径为r,故2r=O1O2=2,解得r=1.故该圆柱的表面积为2πr2+2πr×O1O2=2π+4π=6π.故选C.6.A依据平面与平面平行的性质,将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.设平面CB1D1∩平面ABCD=m1.∵平面α∥平面CB1D1,∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,同理可得CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为3故选A.7.13如图,过点A作AC⊥OB交OB于点C.在Rt△ACB中,AC=12cm,BC=8-3=5(cm).所以AB=122+8.2π27圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O',圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM∵正四面体棱长为3,∴BM=32,O'M=12,∴AO'=2,设圆柱的底面半径为r,高为h,则0<r<12.由三角形相像得r12=2-h2∴圆柱的体积V=πr2h=2πr2(1-2r∵r2(1-2r)≤r+r+1-2r33=127,当且仅当r=1-2r即r=13时取等号.∴圆柱的最大体积为9.(1)证明因为E,F分别为边AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为∠ABC=90°,所以EF⊥BE,EF⊥PE,又BE∩PE=E,所以EF⊥平面PBE.(2)解取BE的中点O,连接PO,因为PB=BE=PE,所以PO⊥BE.由(1)知EF⊥平面PBE,EF⫋平面BCFE,所以平面PBE⊥平面BCFE.又PO⫋平面PBE,平面PBE∩平面BCFE=BE,所以PO⊥平面BCFE.过点O作OM∥BC交CF于点M,分别以OB,OM,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B12,0,0,P0,0,32,C12,2,0,F-12,1,0,PC=12,2,-32,PF=-12,1,-32,由N为线段PF上一动点,得PN=λPF(0≤λ≤1),则可得N-λ2,λ,32(1-λ),BN=-λ+12,λ,32(1-λ).设平面PCF的法向量为m=(x,y,z),即12x+2y-32z=0,-12x+y-32z=0,取y=1,则x=-1,z=3,所以m=(-1,1,3)为平面PCF的一个法向量.设直线BN与平面PCF所成的角为θ,则sinθ10.(1)证明在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠ABC=60°,∴∠BAD=∠CDA=120°,∠ADB=30°,∠CDB=90°.即BD⊥CD,BD=AB2+AD2-2AB·AD·cos120°=3,BC=2.∵平面BDEF⊥平面ABCD,∵CD⫋平面CDE,∴平面CDE⊥平面BDEF.(2)解由(1)知,分别以直线DB,DC,DE为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设EM=m(0≤m≤3则B(3,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M(m,0,3),BC=(-3,1,0),BM=(m-3,0,3),DB=(3,0,0),设平面BMC的法向量为n=(x,y,z),∴即-令x=3,则y=3,z=3-m,平面BMC的一个法向量为n=(3,3,3-m).设BD与平面BCM所成角为θ,∴sinθ=|cos<n,BD>|=|n·BD||n||BD|=33×(m-3)11.证明(1)在△PAC中,PA=PC=2,∠APC=π3,∴△PAC为正三角形,且AC=在△ABC中,AB=BC=2,∴△ABC为等腰直角三角形,且AB⊥BC.取AC的中点O,连接OB,OP,则OB⊥AC,OP⊥AC,∵OB=1,OP=3,PB=PA=2,∴PB2=OB2+OP2,∴OP⊥OB,∵OP∩AC=O,AC,OP⫋平面PAC,∴OB⊥平面PAC.∵OB⫋平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAC.(2)以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,3),AB=(1,1,0),AP=(0,1,3),CP=(0,-1,3),C