湖南省衡阳市高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值说课稿 新人教A版必修1

湖南省衡阳市高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值说课稿新人教A版必修1课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、设计意图本节课通过引导学生探究函数的单调性和最大（小）值，旨在帮助学生理解函数的基本性质，掌握利用函数单调性分析问题的方法，为后续学习函数的图像、导数等知识打下基础。结合高中生的认知水平，本节课将采用实例讲解、学生讨论、练习巩固等方式，让学生在实际操作中深化对函数单调性和最大（小）值的认识，提高学生的数学思维能力。二、核心素养目标发展学生的数学抽象能力，通过探究函数的单调性和最值问题，培养学生逻辑推理和数学建模素养；提高学生运用数学语言表达问题和分析问题的能力，增强数学直观和数学运算的熟练度。三、教学难点与重点1.教学重点

①理解函数单调性的概念及其数学表达。

②掌握判断函数单调性的方法，并能应用于具体函数的分析。

③学会利用函数单调性求函数的最大值和最小值。

2.教学难点

①函数单调性证明过程中逻辑推理的严密性。

②复杂函数单调性的判断，特别是在分段函数和多变量函数情况下。

③在实际问题中，如何准确识别和应用函数的最大值和最小值。四、教学资源准备1.教材：新人教A版必修1《数学》第一章《集合与函数概念》1.3节相关内容。

2.辅助材料：准备函数图像、单调性变化示例图、最大值最小值问题实际应用案例等PPT资料。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、计算机（用于展示PPT）及投影仪。五、教学过程1.导入新课

同学们，上一节课我们学习了集合的基本概念和运算，那么大家思考一下，在数学中，还有什么与集合一样重要的基础概念呢？对了，就是函数。今天我们将继续深入学习函数的基本性质，特别是函数的单调性和最大（小）值。请大家打开教材，翻到第一章《集合与函数概念》的1.3节。

2.知识回顾

在开始新内容之前，我想先请大家回顾一下我们已经学过的函数相关知识。请问有谁能告诉我，函数是什么？很好，函数是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。那么，我们之前学过的函数的性质有哪些呢？对，包括奇偶性、周期性等。那么，今天我们要学习的单调性又是什么呢？请大家带着这个问题，进入新课的学习。

3.探究单调性

首先，我们来看一下什么是函数的单调性。请大家看PPT上的第一个例子，这是一个一次函数的图像，我们可以直观地看到，随着x的增加，函数值y也在增加，这种性质我们称之为单调递增。接下来，请大家看第二个例子，这是一个二次函数的图像，我们可以看到，在顶点左侧，函数值随着x的增加而减小，在顶点右侧，函数值随着x的增加而增加，这种性质我们称之为单调递减。那么，如何用数学语言来描述这种单调性呢？请大家阅读教材上的定义，并尝试用自己的话解释一下。

4.实例分析

现在，我们已经知道了函数单调性的定义，那么接下来，我们通过一些具体的函数例子来分析一下单调性。请大家看教材上的例1，这是一个分段函数，我们需要分别讨论每一段的单调性。请大家先自己思考一下，然后我们在班上讨论。好，哪位同学愿意分享一下你的想法？

5.证明单调性

了解了单调性的概念和实例分析之后，我们还需要学会如何证明一个函数的单调性。请大家看教材上的例2，这里给出了一个证明单调性的方法。首先，我们需要确定函数的定义域，然后任取定义域内的两个数，比较它们的函数值。如果对于任意的两个数，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么函数就是单调递增的。反之，如果f(x1)>f(x2)，那么函数就是单调递减的。请大家尝试用这种方法证明一下教材上的例2。

6.最大值与最小值

7.练习巩固

现在，我们已经学习了函数的单调性和最大值最小值的求解方法，那么接下来，请大家做一些练习来巩固所学知识。请大家完成教材上的练习题1和2，完成后，我们可以一起讨论答案。

8.总结提升

9.作业布置

最后，我给大家布置一些作业。请大家完成教材上的习题1、2、3，并在下节课前交给我。同时，我建议大家在课后自主查找一些关于函数单调性和最大值最小值的实际应用案例，下节课我们一起来分享。

10.结束语

好了，今天的课程就到这里，感谢大家的积极参与和认真听讲。希望大家能够在课后认真复习，巩固所学知识。下课！六、知识点梳理1.函数的定义与表示

函数是描述两个变量之间依赖关系的数学模型，每个输入值对应一个唯一的输出值。函数可以通过解析式、表格、图像等方式表示。

2.函数的单调性

函数的单调性是指函数在定义域内随着自变量的增加或减少，函数值相应地增加或减少的性质。单调性分为单调递增和单调递减两种情况。

-单调递增：对于定义域内的任意两个数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≤f(x2)。

-单调递减：对于定义域内的任意两个数x1和x2，如果x1<x2，则f(x1)≥f(x2)。

3.函数单调性的判断方法

-定义法：根据单调性的定义，通过比较函数值的大小来判断函数的单调性。

-导数法：利用函数的导数来判断函数的单调性。如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。

-图像法：通过观察函数的图像来判断函数的单调性。

4.函数的最大值与最小值

函数的最大值和最小值是指在函数的定义域内，函数值取得最大或最小的点。最大值和最小值分为绝对最大值、绝对最小值、相对最大值和相对最小值。

-绝对最大值：函数在整个定义域内取得的最大值。

-绝对最小值：函数在整个定义域内取得的最小值。

-相对最大值：函数在某个局部区间内取得的最大值。

-相对最小值：函数在某个局部区间内取得的最小值。

5.求解函数最大值和最小值的方法

-导数法：利用函数的导数来求解函数的最大值和最小值。首先，求导数等于0的点，这些点可能是函数的最大值或最小值点。然后，比较这些点的函数值，找出最大值和最小值。

-完全平方法：对于二次函数，可以通过配方将其写成完全平方的形式，从而得到函数的最大值或最小值。

-图像法：通过观察函数的图像来估计函数的最大值和最小值。

6.函数单调性与最大值最小值的关系

-函数在单调递增区间内，最大值出现在区间的右端点；最小值出现在区间的左端点。

-函数在单调递减区间内，最大值出现在区间的左端点；最小值出现在区间的右端点。

7.实际应用

函数的单调性和最大值最小值在现实生活中有广泛的应用。例如，在经济学中，通过研究商品价格与需求量之间的函数关系，可以找到价格的最大值和最小值，从而制定合理的定价策略。在物理学中，研究物体运动的速度与时间之间的函数关系，可以找到物体运动的最大速度和最小速度，从而了解物体运动的规律。七、板书设计1.函数单调性的定义及判断

①函数单调性的定义：函数在定义域内随着自变量的增加或减少，函数值相应地增加或减少的性质。

②单调递增与单调递减的定义。

③判断方法：定义法、导数法、图像法。

2.函数的最大值与最小值

①最大值与最小值的定