2025届辽宁省沈阳市郊联体高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2025届辽宁省沈阳市郊联体高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（）A. B.C. D.2．若数列的前项和，则此数列是（）A.等差数列 B.等比数列C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对3．若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）A. B.C. D.4．已知两直线与，则与间的距离为（）A. B.C. D.5．如图，在长方体中，，，则直线和夹角余弦值为（）A. B.C. D.6．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）A B.C. D.7．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（）A.或 B.C. D.8．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．椭圆的焦点坐标为（）A. B.C. D.10．在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.5612．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（）A.5 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量X服从正态分布，若，则______14．过点作圆的切线l，直线与l平行，则直线l过定点_________，与l间的距离为____________15．四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4（I）证明：AB⊥面BCDE；（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值16．在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在处的切线与直线平行（1）求值，并求此切线方程；（2）证明：18．（12分）某餐馆将推出一种新品特色菜，为更精准确定最终售价，这种菜按以下单价各试吃1天，得到如下数据：（1）求销量关于的线性回归方程；（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每份特色菜的成本是15元，为了获得最大利润，该特色菜的单价应定为多少元？（附：，）19．（12分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程20．（12分）已知数列满足，（1）设，求证:数列是等比数列;（2）求数列的前项和21．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.22．（10分）甲、乙等6个班级参加学校组织广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，其中和为偶数的有共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.2、D【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D3、C【解析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C4、B【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B5、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.6、B【解析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.【详解】因为，所以，故选：B7、D【解析】利用斜率公式可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值.详解】由斜率公式可得，即，解得.故选：D.8、D【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得，故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.9、B【解析】根据方程可得，且焦点轴上，然后可得答案.【详解】由椭圆的方程可得，且焦点在轴上，所以，即，故焦点坐标为故选：B10、A【解析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.11、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B12、C【解析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##25【解析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.【详解】，，又，，.故答案为：.14、①.②.##2.4【解析】利用直线与平行，结合切线的性质求出切线的方程，即可确定定点坐标，再利用两条平行线间的距离公式求两线距离.【详解】由题意，直线斜率，设直线的方程为，即∴直线l过定点，由与圆相切，得，解得，∴的方程为，的方程为，则两直线间的距离为故答案为：；.15、(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）推导出BE⊥BC，从而BE⊥平面ABC，进而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能证明AB⊥面BCDE（Ⅱ）以B为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值【详解】由侧面底面，且交线为，底面为矩形所以平面，又平面，所以由面面，同理可证，又面在底面中，，由面，故,以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量，则，取所以平面的法向量，同理可求得平面的法向量.设二面角的平面角为，则故所求二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16、【解析】根据向量坐标意义及投影的定义得解.【详解】因为向量，所以在轴上的投影向量为.故答案为:三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，在处的切线与直线平行，即切线斜率为，，解得：，，，所求切线方程为：，即；【小问2详解】要证，即证；①当时，，，，即，；②当时，令，，，当时，，，，，即，在上单调递增，，在上单调递增，，即在上恒成立；综上所述：.【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.18、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根据公式求出的值，代入公式即可求出回归直线方程（2）根据（1）的结论，求出利润，根据二次函数的性质，即可求解【详解】解：（1）由题意得，，，，得，，所以关于的线性回归方程为：.（2）由题意得，每份菜获得的利润，∴当时，取最大值，∴单价应定为24元，可获得最大利润.【点睛】本题考查回归直线的求法与应用，着重考查计算化简的能力，属基础题19、；【解析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.【详解】解：过的两点式方程为，整理得即边所在直线的方程为，边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，即过，的直线的方程为，即整理得所以边上中线所在直线的方程为20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）将变形为，得到为等比数列，（2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得【详解】（1）由，，可得，因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1），由，可得，，，上面两式相减可得：，则【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.21、（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆离心率为，所以有.椭圆过点，所以，由可解：，所以该椭圆方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，设，，，因为，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，当时，直线，直线恒过定点，此时与点重合，不符合题意，当时，，直线恒过点，当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以，两点不在椭圆上，不符合题意，综上所述：过C，D两