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文档简介
2025届河南省登封市外国语高级中学高二上数学期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在棱长为1的正方体中,点B到直线的距离为()A. B.C. D.2.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为()A.1 B.2C.4 D.83.对于实数a,b,c,下列命题为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则4.已知动点满足,则动点的轨迹是()A.椭圆 B.直线C.线段 D.圆5.函数y=的最大值为Ae-1 B.eC.e2 D.6.如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,已知,,,,则()A. B.C. D.7.在等比数列中,若,则公比()A. B.C.2 D.38.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A. B.C. D.9.在各项都为正数的数列中,首项为数列的前项和,且,则()A. B.C. D.10.南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.如数列1,3,6,10,前后两项之差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列,其前7项分别为2,3,5,8,12,17,23,则该数列的第31项为()A.336 B.467C.483 D.60111.以下说法:①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;②设有一个回归方程,变量增加1个单位时,平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量的相关系数为,那么越接近于0,之间的线性相关程度越高;⑤在一个列联表中,由计算得的值,那么的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是()A.0 B.1C.2 D.312.已知点是双曲线的左、右焦点,以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则()A.与双曲线的实轴长相等B.的面积为C.双曲线的离心率为D.直线是双曲线的一条渐近线二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知一个样本数据为3,3,5,5,5,7,7,现在新加入一个3,一个5,一个7得到一个新样本,则与原样本数据相比,新样本数据平均数______,方差______.(“变大”、“变小”、“不变”)14.已知函数,若递增数列满足,则实数的取值范围为__________.15.已知椭圆的右顶点为,为上一点,则的最大值为______.16.已知圆M过,,且圆心M在直线上.(1)求圆M的标准方程;(2)过点的直线m截圆M所得弦长为,求直线m的方程;三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2022北京冬奥会即将开始,北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔.某学院有6名学生通过了志愿者选拔,其中4名男生,2名女生(1)若从中挑选2名志愿者,求入选者正好是一名男生和一名女生的概率;(2)若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位,那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛,共赛10局.A、B两组分数(单位:分)如下:A:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142B:126,115,143,126,143,115,139,139,115,139从统计学角度看,应选择哪个组更合适?理由是什么?18.(12分)设等差数列的前项和为(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和19.(12分)城南公园种植了4棵棕榈树,各棵棕榈树成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活棕榈树的株数,数学期望.(1)求p的值并写出的分布列;(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活,则需要补种,求需要补种棕榈树的概率.20.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)四边形的顶点在椭圆上,且对角线,均过坐标原点,若,求的取值范围.21.(12分)已知点,点为直线上的动点,过作直线的垂线,线段的中垂线与交于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)若过点直线与曲线交于,两点,求与面积之和的最小值.(为坐标原点)22.(10分)在2021年“双11”网上购物节期间,某电商平台销售了一款新手机,现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”,从购买了该款手机的顾客中抽取1000人,每人在规定区间内给出一个“满意度”分数,评分在60分以下的视为“不满意”,在60分到80分之间(含60分但不含80分)的视为“基本满意”,在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按,,,,分成5组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.(2)若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人,再从这20人中随机抽取3人,记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列,并求数学期望;②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴,其他被调查者将获得50元话费补贴,请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】以为坐标原点,以为单位正交基底,建立空间直角坐标系,取,,利用向量法,根据公式即可求出答案.【详解】以为坐标原点,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,取,,则,,则点B到直线AC1的距离为.故选:A2、C【解析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件,列出关于与的方程组,通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为,则,,联立,解得.故选:C.3、D【解析】判断不等式的真假,就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.【详解】若,令,,,,,故A错误;若,令c=0,则,故B错误;若,令a=-1,b=-2,,,故C错误;∵,故,根据不等式运算规则,在不等式的两边同时乘以或除以一个正数,不等式的方向不变,故D正确.故选:D.4、C【解析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.【详解】由题意可知表示动点到点和点的距离之和等于,又因为点和点的距离等于,所以动点的轨迹为线段.故选:5、A【解析】,所以函数在上递增,在上递减,所以函数的最大值为时,y==故选A点睛:研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性,找到最值,分式求导公式要记熟6、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD,如图,则故选:A7、C【解析】由题得,化简即得解.【详解】因为,所以,所以,解得.故选:C8、B【解析】由已知可设,则,得,在中求得,再在中,由余弦定理得,从而可求解.【详解】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得所求椭圆方程为,故选B法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有.在和中,由余弦定理得,又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养9、C【解析】当时,,故可以得到,因为,进而得到,所以是等比数列,进而求出【详解】由,得,得,又数列各项均为正数,且,∴,∴,即∴数列是首项,公比的等比数列,其前项和,得,故选:C.10、B【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式,直接带入即可求得.【详解】根据题意,数列2,3,5,8,12,17,23……满足,,所以该数列的第31项为.故选:B11、C【详解】方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,故①正确;一个回归方程,变量增加1个单位时,平均减少5个单位,故②不正确;线性回归方程必过样本中心点,故③正确;根据线性回归分析中相关系数的定义:在线性回归分析中,相关系数为r,越接近于1,相关程度越大,故④不正确;对于观察值来说,越大,“x与y有关系”的可信程度越大,故⑤正确.故选:C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.12、B【解析】由题意及双曲线的定义可得,的值,进而可得A不正确,计算可判断B正确,再求出,的关系可得C不正确,求出,的关系,进而求出渐近线的方程,可得D不正确【详解】因为,又由题意及双曲线的定义可得:,则,,所以A不正确;因为在以为直径的圆上,所以,所以,所以B正确;在△中,由勾股定理可得,即,所以离心率,所以C不正确;由C的分析可知:,故,所以渐近线的方程为,即,所以D不正确;故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.不变②.变大【解析】通过计算平均数和方差来确定正确答案.【详解】原样本平均数为,原样本方差为,新样本平均数为,新样本方差为.所以平均数不变,方差变大.故答案为:不变;变大14、【解析】根据的单调性列不等式,由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列,所以.所以的取值范围是.故答案为:15、【解析】设出点P的坐标,利用两点间距离公式建立函数关系,借助二次函数计算最值作答.【详解】椭圆的右顶点为,设点,则,即,且,于是得,因,则当时,,所以的最大值为.故答案为:16、(1)(2)或【解析】(1)首先由条件设圆的标准方程,再将圆上两点代入,即可求得圆的标准方程;(2)分斜率不存在和存在两种情况,分别根据弦长公式,求得直线方程.【小问1详解】圆心在直线上,设圆的标准方程为:,圆过点,,,解得圆的标准方程为【小问2详解】①当斜率不存在时,直线m的方程为:,直线m截圆M所得弦长为,符合题意②当斜率存在时,设直线m:,圆心M到直线m的距离为根据垂径定理可得,,,解得直线m方程为或.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)答案见详解【解析】(1):把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件,同时可得出,两人是一男一女的基本事件,计数后可计算概率;(2):求出两组数据的均值和方差,比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A,B,C,D表示:2名女生分别用1,2表示.基本事件为:,,,,,,,,,,,,共15种,所以所求概率为;【小问2详解】A组数据的平均数,B组数据的平均数,A组数据的方差,B组数据的方差,所以选择A队.理由:A、B两队平均数相同,且,A组成绩波动小18、(1);(2).【解析】(1)根据等差数列前n项和求和公式求出首项和公差,进而求出通项公式;(2)结合(1)求出,再令得出数列的正数项和负数项,进而结合等差数列求和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列的首项和公差分别为和,∴,解得:所以.【小问2详解】,所以.当;当,当,时,,当时,.综上:.19、(1),分布列见解析;(2).【解析】(1)根据二项分布知识即可求解;(2)将补种棕榈树的概率转化为成活的概率,结合概率加法公式即可求解.【小问1详解】由题意知,,又,所以,故未成活率为,由于所有可能的取值为0,1,2,3,4,所以,,,,,则的分布列为01234【小问2详解】记“需要补种棕榈树”为事件A,由(1)得,,所以需要补种棕榈树的概率为.20、(1)(2)【解析】(1)根据椭圆的离心率为,且过点,由求解;(2)设直线AC方程为,则直线BD的方程为,分时,与椭圆方程联立求得A,B的坐标,再利用数量积求解.【小问1详解】解:因为椭圆的离心率为,且过点,所以,所以,所以椭圆的方程为;【小问2详解】设直线AC的方程为,则直线BD的方程为.当时,联立,得,不妨设A,联立,得,当B时,,,当B时,,,当时,同理可得上述结论.综上,21、(1)(2)【解析】(1)根据抛物线的定义可得轨迹方程;(2)联立直线与抛物线方程,利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值【小问1详解】如图所示,由已知得点为线段中垂线上一点,即,即动点到点的距离与点到直线的距离相等,所以点的轨迹为抛物线,其焦点为,准线为直线,所以点的轨迹方程为,【小问2详解】如图所示:设,点,,联立直线与抛物线方程,得,,,,,,所以,当且仅当,即,时取等号,此时,即,所以当直线直线,时取得最小值为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式22、(1)65分(2)①分布列答案见解析,数学期望:;②172.5元【解析】(1)由图可知中位数在第二组,则设中位数为,从而得,解方程可得答案,(2)①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人,“非常满意”的用户应抽取3人,则X的可能取值分别为
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