山东省文登市大水泊中学2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析

山东省文登市大水泊中学2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）A. B.C. D.2．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1283．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.44．在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.5．下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.6．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是A. B.C. D.7．已知圆与圆外切，则（）A. B.C. D.8．平面与平面平行的充分条件可以是（）A.平面内有一条直线与平面平行B.平面内有两条直线分别与平面平行C.平面内有无数条直线分别与平面平行D平面内有两条相交直线分别与平面平行9．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.10．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含11．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.12．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤A.6 B.7C.9 D.15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下图是个几何体的展开图，图①是由个边长为的正三角形组成；图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成；图③是由个边长为的正三角形组成；图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）.14．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.15．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.16．已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知首项为1的数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.18．（12分）已知抛物线C：（）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点关于点Q的对称点，也在抛物线C上（1）求p的值；（2）设直线l交抛物线C于不同两点A、B，直线、与抛物线C的另一个交点分别为M、N，，，且，求直线l的横截距的最大值.19．（12分）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)20．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.21．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.22．（10分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为前三项的系数为，，，当时，为有理项，从而概率为.故选：A.2、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C3、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B4、B【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.【详解】根据题意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故选：B.5、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.6、D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.7、D【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，∴由外切关系知：，可得.故选：D.8、D【解析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.【详解】对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.故选：D.9、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.10、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.11、D【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D12、D【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.【详解】设该等差数列为，其公差为，由题意知，，由，解得，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与比较大小，即可确定答案.【详解】①由题设，几何体为棱长为的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，且正方体的棱长为，该正四面体的外接球半径为，满足要求；②由题设，几何体为棱长为的正四棱锥，如下图所示：设，连接，则为、的中点，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，所以，，所以，，，所以点为正四棱锥的外接球球心，且该球的半径为，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为的正四棱锥拼接而成，由②可知，该正八面体的外接球半径为，不满足要求；④由题设，几何体为棱长为的正方体，其外接球半径为，不满足要求；故答案为：①.14、【解析】由条件可得存在实数，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.详解】P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得所以即所以，解得故答案为：15、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.16、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根据降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可；（2）根据特殊角的三角函数值，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的单调递增区间为，（2）因为，所以，即，又，所以，所以或，或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以，，，，此时为等腰三角形，所以，所以，即的面积为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2）由（1）得，利用裂项相消可求.【小问1详解】由，得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，故数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，所以.因为，所以，所以数列的前n项和.18、（1）；（2）最大横截距为.【解析】（1）首先写出的坐标，根据对称关系求出的坐标，带入即可求出.（2）设直线l的方程为，带入抛物线方程利用韦达定理，计算出直线l的横截距的表达式从而求出其最大值.【详解】（1）由题知，，故，代入C的方程得，∴；（2）设直线l的方程为，与抛物线C：联立得，由题知，可设方程两根为，，则，，（*）由得，∴，，又点M在抛物线C上，∴，化简得，由题知M，A为不同两点，故，，即，同理可得，∴，将（*）式代入得，即，将其代入解得，∴在时取得最大值，即直线l的最大横截距为.19、每年至少要还6.17万元.【解析】根据贷款总额和还款总额相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【详解】50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，从而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.20、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】1函数的定义域是R，，令，解得令，解得或，所以的单调递增区间为，单调减区间为和；2由在单调递减，在单调递增，所以，而，，故最大值是.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；【小问1详解】证明：连接DE因为，且D为AC的中点，所以因为，且D为AC的中点，所以因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面因为，所以平面BDE，所以【小问2详解】解：由（1）可知因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系