云南省曲靖市罗平县一中2025届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

云南省曲靖市罗平县一中2025届高二数学第一学期期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（）A.6 B.C. D.2．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B.C. D.3．数列的通项公式是（）A. B.C. D.4．数列，，，，…的一个通项公式为（）A. B.C. D.5．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B.0C.3 D.57．椭圆的一个焦点坐标为，则（）A.2 B.3C.4 D.88．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）A.2 B.4C.5 D.259．若函数恰好有个不同的零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知命题：，；命题：在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.11．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）A. B.C. D.12．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于()A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某人有楼房一栋，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为___________元.14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.15．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.16．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，是等边三角形.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.18．（12分）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.19．（12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的观测值：（其中）.20．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，.（1）求证：平面；（2）点M在线段上，且，试问在线段上是否存在一点N，满足平面，若存在求的值，若不存在，请说明理由？21．（12分）设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.22．（10分）排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B2、A【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，∴，∴异面直线，所成角的余弦值为.故选：A3、C【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意，数列的前几项为：；；；……则其通项公式.故选C.【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.4、B【解析】根据给定数列，结合选项提供通项公式，将n代入验证法判断是否为通项公式.【详解】A：时，排除；B：数列，，，，…满足.C：时，排除；D：时，排除；故选：B5、B【解析】根据题意得到，根据，化简得到，进而得到离心率的不等式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左顶点为，上顶点为，所以，，因为，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因为椭圆的离心率，所以，即椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】求解椭圆或双曲线离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.6、D【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果【详解】不等式组表示的可行域，如图所示由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：D7、D【解析】由条件可得，，，，由关系可求值.【详解】∵椭圆方程为：，∴，∴，，∵椭圆的一个焦点坐标为，∴，又，∴，∴，故选：D.8、B【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.【详解】解：设等比数列的公比为，则，所以，则.故选：B.9、D【解析】分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】令，可得，构造函数，其中，由题意可知，直线与函数的图象有个交点，，由，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，，，作出直线与函数的图象如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点.故选：D.10、C【解析】分别求得的真假性，从而确定正确答案.【详解】对于，由于，所以为假命题，为真命题.对于，在三角形中，，由正弦定理得，所以为真命题，为假命题.所以为真命题，、、为假命题.故选：C11、A【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.故选：A.12、D【解析】连接，利用，化简即可得到答案.【详解】连接，如下图.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3600【解析】先设分割大房间为间，小房间为间，收益为元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的整数点时，从而得到值即可【详解】解：设装修大房间间，小房间间，收益为万元，则，目标函数，由，解得画出可行域，得到目标函数过点时，有最大值，故应隔出大房间3间和小房间8间，每天能获得最大的房租收益最大，且为3600元故答案为：360014、【解析】根据投影向量的计算公式，计算出正确答案.【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为：15、5【解析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果详解】解：抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为，设点，，，，的中点为，，则，，两式相减得，即，又因为，两点关于直线对称，所以，解得，可得，则，故答案为：516、【解析】分析可知，由可求得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等边三角形的性质、线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用余弦定理，结合三棱锥的等积性进行求解即可.【小问1详解】证明：设，因为是等边三角形，且，所以是的中点，则.又，所以，所以，即.又平面平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：因为，所以.在中，，所以，则又平面，所以.如图，连接，则，所以.设点到平面的距离为，因为，所以，解得，即点到平面的距离为.18、（1）（2）【解析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【小问1详解】（1）由题可设椭圆的方程为，由椭圆经过点，可得，解得或（舍）.所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知，设点，则，且，，，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.19、（1）列联表见解析，能有；（2）分布列见解析，.【解析】（1）利用数据直接填写联列表即可，求出，即可回答是否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系；（2）由题意可得的可能值为0，1，2，3，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望.【详解】（1）服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200，因为，所以能有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”（2）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列为：0123所以.【点睛】本题主要考查独立检验以及离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20、（1）证明见解析；（2）存在，的值为.【解析】（1）先证明,再证明，由线面垂直的判定定理求证即可;（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【详解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，，，，，所以，，设平面的法向量，则，取，得，点M在线段上，且，点N在线段上，设，，设，则，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值为.21、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当吋，，在单调递减，单调递增.综上所述，当吋，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.【小问2详解】由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增