天津开发区第一中学2025届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

天津开发区第一中学2025届高一数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知弧长为cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2A. B.C. D.2．已知,,,则的大小关系A. B.C. D.3．已知实数，，且，则的最小值为（）A. B.C. D.4．已知函数，则A. B.0C.1 D.5．如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是A.直线与直线所成的角是 B.直线与平面所成的角是C.二面角的大小是 D.直线与平面所成的角是6．函数的零点个数为（）A.个 B.个C.个 D.个7．要得到函数的图像，只需将函数图的图像A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位8．已知向量，，，则A. B.C. D.9．已知函数与的图像关于对称，则（）A.3 B.C.1 D.10．若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算：=_______________.12．已知函数，若关于的不等式在[0，1]上有解，则实数的取值范围为______13．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若是角终边上的一点，则______14．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.15．已知是第四象限角，，则______16．已知函数的图上存在一点,函数的图象上存在一点，恰好使两点关于直线对称，则满足上述要求的实数的取值范围是___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，集合.（1）若，求和（2）若，求实数的取值范围.18．已知向量，不共线，，（1）若，求k的值，并判断，是否同向；（2）若，与夹角为，当为何值时，19．为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长（1）写出第年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始（年为第一年），每年投入的资金数将超过万元？（参考数据：，，，，）20．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可以美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：上市时间（t）50110250种植成本（Q）150108150（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系并求出函数关系式．；；；（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本21．已知实数，且满足不等式.（1）解不等式；（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据弧长计算出半径，再利用面积公式得到答案.【详解】弧长为cm的弧所对的圆心角为，则故选【点睛】本题考查了扇形面积，求出半径是解题的关键.2、D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，∴c＜a＜b故选D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3、C【解析】由题可得，则由展开利用基本不等式可求.【详解】，，且，则，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.4、C【解析】根据自变量所在的范围先求出，然后再求出【详解】由题意得，∴故选C【点睛】根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题5、D【解析】选项，连接，，因为，所以直线与直线所成的角为，故错；选项，因为平面,故为直线与平面所成的角，根据题意；选项，因为平面,所以，故二面角的平面角为，故错；用排除法，选故选：D6、C【解析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.详解】由得：，即，解得，即，所以函数的零点个数为2.故选：C7、D【解析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.8、D【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.B项：利用向量模的公式即可判断.C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.【详解】A选项：因为，，所以与不共线.B选项：，，显然，不正确.C选项：因为，所以，不正确；D选项：因为，所以，正确；答案为D.【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.9、B【解析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解.【详解】由题知是的反函数，所以，所以.故选：B.10、D【解析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为，，故，故A错误对于B，因为，，故，故，故B错误对于C，取，易得，故C错误对于D，因为，所以，故D正确故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】考点：两角和正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.12、【解析】不等式在[0，1]上有解等价于，令，则.【详解】由在[0，1]上有解，可得，即令，则，因为，所以，则当，即时，，即，故实数的取值范围是故答案为【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.13、【解析】根据余弦函数的定义可得答案.【详解】解：∵是角终边上的一点，∴故答案为：.14、②④【解析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面【详解】解：根据题意，在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；图④中，、、共面，但面，与异面所以图②④中与异面故答案为：②④.15、【解析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为是第四象限角，，则，所以，.故答案为：.16、【解析】函数g(x)=lnx的反函数为，若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点，即在x∈R上有解，，∵x∈R，∴∴即.三、三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】⑴把代入求出，，即可得到和⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；解析：（1）若，则．，（2）因为,若，则，若，则或，综上，18、（1）k=-1,反向；（2）k=1【解析】由题得由此能求出，，与反向．由，得，由数量积运算求出【详解】，，，，即又向量，不共线，，解得，，即，故与反向，与夹角为，

，又故，即解得故时，【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题19、（1），其定义域为（2）第年【解析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，然后进一部确定函数解析式及定义域；（2）由（1）得，然后利用对数运算求解集.【小问1详解】第一年投入的资金数为万元，第二年投入的资金数为万元，第x年（年为第一年）该企业投入的资金数（万元）与的函数关系式为，其定义域为【小问2详解】由（1）得，，即，因为，所以即该企业从第年，就是从年开始，每年投入的资金数将超过万元20、（1）应选择二次函数；（2）当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10kg【解析】（1）根据数据变化情况可得应选择二次函数，代入数据即可求出解析式；（2）根据二次函数的性质可求解.【小问1详解】由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用所给四个函数中任意一个来反映时都应有，而函数，，均为单调函数，这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数将表中数据代入，可得解得所以，芦荟种植成本Q与上市时间t之间的关系式为【小问2详解】当（天）时，，即当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/10