2025届山东省枣庄市薛城区高二上数学期末经典试题含解析

2025届山东省枣庄市薛城区高二上数学期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A. B.C. D.2．设，，则与的等比中项为（）A. B.C. D.3．已知圆，则圆C关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.4．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）A.30 B.29C.28 D.275．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日6．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.7．直线的斜率为（）A.135° B.45°C.1 D.-18．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.A.6 B.5C.4和6 D.5和79．已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.410．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.11．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正方形的边长为2，对部分以为轴进行翻折，翻折到，使二面角的平面角为直二面角，则___________.14．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列15．双曲线的渐近线方程为___________.16．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p为“方程没有实数根”，命题q为“”.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p和q有且只有一个为真命题，求m的取值范围.18．（12分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.（1）若甲、乙两人共付费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？19．（12分）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为A（1）求点A的坐标；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与A，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称20．（12分）已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.（1）若直线过点且，求；（2）若平分线段，求直线的方程.21．（12分）设函数，（1）求的最大值；（2）求证：对于任意x∈(1,7),e1-x+22．（10分）如图，在正方体中，E为的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.【详解】由双曲线可知：的周长为.当轴时,周长最小值为故选：C2、C【解析】利用等比中项的定义可求得结果.【详解】由题意可知，与的等比中项为.故选：C.3、B【解析】求得圆的圆心关于直线的对称点，由此求得对称圆的方程.【详解】设圆的圆心关于直线的对称点为，则，所以对称圆的方程为.故选：B4、B【解析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴偶数项共有n项，其和为，∴故选：B5、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C6、D【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题7、D【解析】由斜截式直接看出直线斜率.【详解】由题意得：直线斜率为-1，故选：D8、A【解析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.故选：A9、B【解析】利用方差的定义即可解得.【详解】由方差的定义，，则，所以数据的方差为：.故选：B10、A【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A11、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.12、B【解析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-2【解析】根据，则，根据条件求得向量夹角即可求得结果.【详解】由题知，，取的中点O，连接，如图所示，则，又二面角的平面角为直二面角，则，又，则，为等边三角形，从而，则，故答案为：-214、【解析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，所以.故答案为：15、【解析】将双曲线化为标准方程后求解【详解】，化简得，其渐近线方程故答案为：16、【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）方程无根，利用根的判别式小于0求出m的取值范围；（2）和有且只有一个为真命题，分两种情况进行求解，最终求出结果.【小问1详解】由方程没有实数根，得，解得：.所以m的取值范围为.【小问2详解】和有且只有一个为真命题，分为下列两种情况：①当真且假时，且，得；②当假且真时，且，得.所以，的取值范围为.18、（1）24（种）（2）21（种）【解析】（1）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元，再确定人与乘坐站数，即可得结果；（2）先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元，再求甲比乙先下地铁的方案数.【小问1详解】由已知可得：甲、乙两人共付费6元，则甲、乙一人付费2元一人付费4元，又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，所以甲、乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）.【小问2详解】甲、乙两人共付费8元，则甲、乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）先求出直线的方程，联立直线与椭圆，求出A点坐标；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出两点的纵坐标，证明出，即可证明关于轴对称.【小问1详解】由题意得，，所以直线方程为，与椭圆方程联立得解得或，当时，，所以【小问2详解】设，，的方程为，联立消去得，则，直线的方程为，设，则，直线的方程为，设，则，因为，即，所以点，关于轴对称20、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得；（2）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，，因此，.【小问2详解】解：设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.【小问1详解】，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故.【小问2详解】因为，故当时，，即，而在为减函数，故在上有，故任意的，总有.要证任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即证：任意恒成立，设，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，设，则，而在为增函数，，故存在，使得，且时，，时，，故在为减函数，在为增函数，故任意，总有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.22、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角设正方体的棱长为2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直线与平面所成角的正弦值为[方