高考数学一轮难题复习数列典型解答题(学生版+解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习数列典型解答题1．牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中n∈N*)等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(1)q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)；(2)q＝1，Sn＝na12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{an}的常用性质等差数列等比数列性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)(2)判断等差数列的常用方法①定义法an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；②通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；③中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；④前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法eq\f(an＋1,an)＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；②通项公式法an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；③中项公式法aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)通项公式形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．(3)通项公式形如an＝eq\f(c,an＋b1an＋b2)(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.4．数学归纳法用数学归纳法证明分以下两个步骤：(1)证明当n＝1时，命题成立；(2)假设n＝m时，命题成立，那么可以推导出在n＝m＋1时命题也成立．(m代表任意自然数)例题1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：①；②该数列的前项和为2的整数幂例题2．已知数列，满足；（1）若，，，求的通项公式；（2）若，，，求的前项和为；（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；例题3．已知数列满足，，.（1）若，写出所有可能的值；（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.例题4．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.例题5．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．例题6．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.例题7．（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.（1）试用表示，其中、均为正整数；（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论.若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”例题8．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.（1）设数列满足，，（、不同时为），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；（2）设数列的前项和为，且．①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列满足，，，，数列的前项和为，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若存在，求出、的取值范围；不存在，说明理由.例题9．已知点、是双曲线：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.例题10．定义的“倒平均数”为．已知数列前项的“倒平均数”为，记．（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．例题11．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.例题12．给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.例题13．已知数列的前项和，满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习数列典型解答题1．牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中n∈N*)等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(1)q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)；(2)q＝1，Sn＝na12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{an}的常用性质等差数列等比数列性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)(2)判断等差数列的常用方法①定义法an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；②通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；③中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；④前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法eq\f(an＋1,an)＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；②通项公式法an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；③中项公式法aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)通项公式形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．(3)通项公式形如an＝eq\f(c,an＋b1an＋b2)(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.4．数学归纳法用数学归纳法证明分以下两个步骤：(1)证明当n＝1时，命题成立；(2)假设n＝m时，命题成立，那么可以推导出在n＝m＋1时命题也成立．(m代表任意自然数)例题1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：①；②该数列的前项和为2的整数幂【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897【解析】【分析】（1）讲数列按照规律重新书写成行列形式，依次观察三位数出现的顺序；（2）根据第一问重新书写的形式找到第一个四位数1024所在位置即可求和；（3）先确定第1000项出现在哪一行，再计算前m行所有项之和，要变成2的整数幂形式需要再加多少，即可求解.【详解】（1）由题可以将数列排成如下形式：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，4，8，16，32，…由2的整数幂可知：第一个三位数是，下一行产生第二个和第三个三位数，依次是，下一行产生第四个三位数，观察数列规律：①每行的行数即该行的项数，②第行的最后一项，第三个三位数出现在第9行最后一项，第四个三位数出现在第10行第8项，其项数为，所以A款应用软件的激活码是2809.（2）由2的整数幂可知第一个四位数是，第11行第11项，根据规律：设上面数列第行数列之和为，可得，所以第一个四位数及其以前所有项之和为（3）由题：前行一共项，由条件①，设，可得，满足条件的最小整数至少在第45行或大于第45行中的某个项数，根据条件②：前行所有项之和，要满足这个数是2的整数幂，必须第行前项之和为，且前项之和即，，，即，要使取值最小，只有当时满足题意，此时，所以满足条件的最小整数.【点睛】此题考查对数列的综合应用，对理解辨析能力要求较高，对已知数列进行重新排成一个方便思考观察规律的形式进行解题，能够事半功倍.例题2．已知数列，满足；（1）若，，，求的通项公式；（2）若，，，求的前项和为；（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）若，，，，利用等差数列求通项公式；（2）若，，，，，构造新的等比数列，再求通项公式和前项和为；（3）若，，，满足恒成立，通过得出，再证明其充分性即可.【详解】（1）若，，，，所以是以3为首相，1为公差的等差数列，，即；（2）若，，，，所以，是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以，前项和；（3）若，，，满足恒成立，，满足恒成立，即恒成立，必有即即，解得；下面证明其充分性：当时，先用数学归纳法证明：由题：，，，，当时，，命题成立；假设当时，命题成立，即，则则，所以对于，都有所以，，当时，，所以，当时，恒成立，综上所述：的取值范围.【点睛】此题考查根据数列递推关系求数列通项公式的常用解法，第三问根据含参递推关系证明不等式，用到一种思路：通过题目已知条件推出一个必要条件，再探究其充分性得解，在涉及探索性的问题中应用较广，与正整数有关的命题可以考虑数学归纳法证明.例题3．已知数列满足，，.（1）若，写出所有可能的值；（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.【答案】（1）、、、；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，，，分别取、、即可得出的所有可能取值；（2）由数列是递增数列，得出，且有，得出、关于的表达式，然后利用、、成等差数列得出关于的方程，解出即可；（3）由数列是递增数列得出，可得，但，可得出，可得出，由数列为递减数列，同理可得，进而得到，再利用累加法可求出数列的通项公式.【详解】（1）当时，，则，，或.当时，或；当时，或；当时，或.因此，的所有可能取值有、、、；（2）数列是递增数列，则，则，，，同理得，由于、、成等差数列，则，即，整理得，，解得；（3）数列是递增数列，所以，即①，但，所以②，由①②知，，所以③.数列是递减数列，同理可得，所以④，由③④知，.由累加法得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式、数列的递推关系、绝对值的性质、不等式的性质，同时也考查了利用累加法求数列通项，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.例题4．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.【答案】（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.【详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，因此，，，；（2）真命题，证明如下：①当时，则，，，此时，当时，；②当时，设，则，，，此时，当时，.综上所述，命题为真命题；（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.则数列的前项为，，，，，，后面的项顺次为，，，，故对任意的，，对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，令，则，此时，有，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.另外：当时，数列为，故，则.【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.例题5．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．【答案】略【解析】【详解】（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）（2）设等比数列为，其公比，，（6分）由题设．假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）（3）①设的无穷等比子数列为，其公比（），得，由题设，在等差数列中，，，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得，由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数．（14分）②再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．在等比数列中，，在等差数列中，，，若为数列中的第项，则由，得，整理得，由，均为正整数，得也为正整数，故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．（18分）例题6．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2），，；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围．【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是：；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，当时，当时，，综上，数列的通项公式为，．（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上，．【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力．例题7．（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.（1）试用表示，其中、均为正整数；（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论.若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）解：不妨设，则有，∴.（2）（文科）解法一：由条件，可得得：，由（1）中结论得：．解法二：，则．（理）由条件，可得得：，则.（3）（理科）推广的结论为：若公差为的等差数列的前项和为，则该数列的前项和为：+…………（）对正整数，可用数学归纳法证明如下：1当时，由问题（1）知，等式（）成立；2假设当时结论成立，即，当时，，这表明对等式（）也成立；根据1、2知，对一切正整数，（）式都成立.利用以上结论，问题解法如下：由，则利用探究结论可得：.不利用以上结论，解法如下：由得：；代入①可得.所以，.例题8．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.（1）设数列满足，，（、不同时为），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；（2）设数列的前项和为，且．①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列满足，，，，数列的前项和为，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若存在，求出、的取值范围；不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）①不是；②是，且最小正周期为；（3）存在，且，.【解析】【分析】（1）直接利用数列是周期为的周期数列以及可以推出即可求出实数的值；（2）先利用求得或.①由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列；②由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列；（3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围.【详解】（1）由数列是周期为的周期数列，且，即；（2）当时，，又，得；当时，.即或.①由有，则为等差数列，即，由于对任意的都有，所以不是周期数列；②由有，数列为等比数列，即，即对任意都成立，即当时，是周期为的周期数列；（3）假设存在、，满足题设.于是，又，则.所以是周期为的周期数列，所以的前项分别为、、.则，；当时，；当时，；当时，.综上所述：，为使恒成立，只要，即可，综上，假设存在、，满足题设，，.【点睛】本题是在新定义下对数列知识的综合考查，考查数列的周期性、等差数列通项以及求和，解题时要充分理解数列周期性的定义，考查分类讨论数学思想方法、推理能力与计算能力，属于难题.例题9．已知点、是双曲线：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）由渐近线为，可知，由右顶点到左焦点的距离为3，可知，再根据，求解，，即可.（2）由题意可知，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，得，根据韦达定理，确定，，再由，得，求解的值，即可.（3）有（2）可知，从而确定，设，由得，代入双曲线的方程，解得值以及点坐标，利用点到直线距离公式，求解点到直线的距离.再求解的面积即可.【详解】解：（1）由题意得解得，，所以双曲线的方程为：.（2）直线的方程为，由，得（*）所以由得即代入化简，并解得（舍去负值）（3）把代入（*）并化简得，此时，所以设，由得代入双曲线的方程解得（舍），，所以，点到直线的距离为，所以.【点睛】本题考查了求双曲线方程，直线与双曲线位置关系以及弦长问题.同时也考查运算能力，属于难题.例题10．定义的“倒平均数”为．已知数列前项的“倒平均数”为，记．（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解析】【分析】（1）根据求出，得到，进而求出，作出比较大小即可；（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由(1)的结果，即可求出实数；（3）由得，分类讨论和，根据是周期为3的周期数列，即可求出数列的前项和，进而得到，即可求出结果.【详解】（1）设数列前项和为，由题意得，所以，当时，，当时，，而也满足此式.所以，因此，所以，故；(2)假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，解得或，所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立；(3)由得；①若，则，，，因为是周期为3的周期数列，所以，即，解得，此时，为符合题意；②若，则，，因为是周期为3的周期数列，所以，即，解得或，不符合题意，设数列的前项和为，则对，