新高考数学各地市期末好题分类汇编专题15数列解答题(原卷版+解析)

试卷第页，共SECTIONPAGES页专题15数列解答题一、解答题1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是数列的前n项和，，且．(1)证明：为常数列；(2)若，求数列的前n项和．2．（2022·河北保定·高三期末）在数列中，，且数列是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.3．（2022·河北张家口·高三期末）已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.4．（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前n项和为，证明：．5．（2022·山东莱西·高三期末）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.6．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知数列的前项和，满足：，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和．7．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；(2)若数列满足：；（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若，求数列的前项和.8．（2022·山东临沂·高三期末）设数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列的前n项和．9．（2022·山东淄博·高三期末）已知数列满足．(1)设，求的通项公式；(2)若，求的通项公式．10．（2022·山东枣庄·高三期末）已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项．(1)求的值；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，求．11．（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列中，分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列的前项和为.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.12．（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.13．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.(1)求证：存在实数，使得；(2)求数列的通项公式.14．（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.15．（2022·山东烟台·高三期末）已知数列满足，．(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前2n项和．16．（2022·山东济南·高三期末）已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知数列中，，，且满足.(1)设，证明：是等差数列；(2)若，求数列的前项和.19．（2022·湖北襄阳·高三期末）设是正项等比数列，是等差数列，已知，，，．(1)求和的通项公式；(2)设数列满足，是否存在实数、，使得前项和为，如果存在，求实数、的值，如果不存在，请说明理由．20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)设，求前项和.21．（2022·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．(1)求；(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．23．（2022·湖南娄底·高三期末）在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．(1)求，；(2)求的通项公式．24．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列前20项的和．25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知数列的前项和为，，且，是公差不为0的等差数列，且成等比数列，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．26．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.27．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)若，求数列的前n项和．在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)28．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.29．（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列满足，，且（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．30．（2022·广东清远·高三期末）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．①，②，③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．31．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.32．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.(1)求证：、、成等差数列；(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.33．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.34．（2022·江苏海门·高三期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．35．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.(1)求数列的通项公式；(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.36．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.(1)设，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.37．（2022·江苏扬州·高三期末）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分别是数列{bn}的前3项．(1)求数列{bn}的公比q；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．38．（2022·江苏海安·高三期末）已知数列{an}满足，且．(1)请你在①，②中选择一个证明：①若，则{bn}是等比数列；②若，则{bn}是等差数列．注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．39．（2022·江苏如东·高三期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a1＝2，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.40．（2022·江苏如皋·高三期末）已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn.(1)求a2n；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.41．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；(2)若数列满足，求的前项和．42．（2022·江苏常州·高三期末）已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．43．（2022·江苏无锡·高三期末）已知数列中，，，其前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.专题15数列解答题一、解答题1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是数列的前n项和，，且．(1)证明：为常数列；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由已知得，即，利用与的关系化简可得化简即可得出结果.（2）由（1）可得，化简可知，通过裂项求和可得出结果.(1)由已知得，即，时，由，，两式相减得，则，又于是为常数列．(2)由（1）得．则，故．2．（2022·河北保定·高三期末）在数列中，，且数列是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据数列是公差为2的等差数列写出通项公式即可；（2）由，利用裂项相消法求和即可.(1)因为数列是公差为2的等差数列，所以，则.因为，所以，解得.故.(2)因为，所以.3．（2022·河北张家口·高三期末）已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用求得.（2）利用裂项求和法求得.(1)当时，由，得，则.当时，有，符合上式.综上，.(2)由（1）得，，则.4．（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前n项和为，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据得到是首项为3，公比为3的等比数列，即可得到数列的通项公式；（2）首先求出，令，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为，，当时，当时，，所以，即，即，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，即．（2）由（1）知，，令，则，所以．5．（2022·山东莱西·高三期末）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由等差数列的性质得，继而有，两式相减得，由此得数列是以2为公比的等比数列，求得，，再由此求得，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得.（2）由（1）将不等式转化为，再令，作，判断出当时，取得最大值，由此得，求解即可.(1)解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，即，所以数列是以2为公比的等比数列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)解：由（1）得不等式为，整理得，令，则，所以当，时，，即，当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，即，解得.所以实数m的取值范围为.6．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知数列的前项和，满足：，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)利用给定的递推公式变形即可推理作答.(2)由(1)求出的表达式，再借助裂项相消法计算作答.(1)数列的前项和，由，有，而，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知，，于是得，因此，，所以.7．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；(2)若数列满足：；（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由新定义直接验证即可证明（2）（I）由题意可得，先求出的通项公式，再由新定义直接验证即可.(Ⅱ)由题意可得，由分组求和即可得出答案.(1)为“指数型数列”(2)（I）将两边同除得：，是以为首项，公比为的等比数列是“指数型数列”（Ⅱ）因为，则8．（2022·山东临沂·高三期末）设数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式：(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据化简条件可得数列为等差数列，再由求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.(1)，是以2为公差的等差数列，，即，解得，(2)，.9．（2022·山东淄博·高三期末）已知数列满足．(1)设，求的通项公式；(2)若，求的通项公式．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）分析可得，由前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；（2）由已知可得，利用累加法与错位相减法可求得数列的通项公式.(1)解：由已知可得.当时，则有，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，所以，，满足，故.(2)解：由（1）可得，设，则，上述两个等式作差可得，所以，，由已知可得，，，，累加得，所以，，因此，，因为符合上式，所以.10．（2022·山东枣庄·高三期末）已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项．(1)求的值；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）等差数列的前四项为2，，，，分别讨论去掉第一项、去掉第二项、去掉第三项、去掉第四项，余下的三项成等比中项列可得答案；（2）由（1），，计算出，，，，得的前200项是由的前208项依次去掉的前8项得到的．再利用等差数列、等比数列的前n项和求和可得答案．(1)等差数列的前四项为2，，，，若去掉第一项，则有，解得，不符合题意，若去掉第二项，则有，即，由题意，这是不可能的，若去掉第三项，则有，解得（舍去），或，若去掉第四项，则有，解得，不符合题意，综上，．(2)由（1），，等比数列的前三项为2，4，8，故的公比，所以，由，，，，知的前200项是由的前208项依次去掉的前8项得到的，于是．11．（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列中，分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列的前项和为.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分别讨论、、时与的值构成的等比数列可得答案；（2）求出、、根据等差中项性质可得答案.(1)当时，不论取7还是12都不能与或构成等比数列，不合题意当时，当且仅当时符合题意，当时，不论取7还是都不能与或构成等比数列，不合题意，∴，∴.(2)，∴，，∵，∴或成等差数列，∴数列中的任意连续三项按适当顺序排列后可以成等差数列.12．（2022·山东日照·高三期末）数列中，已知，数列{bn}满足，点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列中满足：①；②存在使的项组成新数列{cn}，求数列{cn}所有项的和.【答案】(1)，(2)341【解析】【分析】(1)由与的关系式可得通项公式，再由点与直线的关系可得的通项公式；(2)找出满足条件的共同项再求和即可.(1)，，，①，，，满足①，所以是以1为首项2为公比的等比数列，所以.因为点在直线上，所以，，是首项为1公差为3的等差数列，所以.(2)且满足的中项一定是除3余1的数，即形如的数，同时满足，所以，，，，数列{cn}所有项的和为：.13．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.(1)求证：存在实数，使得；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先假设存在，再通过变形论证存在即可；（2）通过（1）先得到，再变形为即可求解.(1)证明：由变形整理得：，所以，解得或，经检验，或都满足题意.故存在实数，使得.(2)由（1）不妨取，则有，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，设其可变形为，解得，即有，而，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，经检验，也满足上式，故.14．（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列中，，首项，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)设中不包含的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前n项和为，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意求出，从而求出通项公式；（2）先求出的前25项和，再减去前25项中含有数列中的项的和，求出答案.(1)等差数列中，，，其前四项，，，中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列的前三项.根据题意，当删去数列中第三项时，满足，解得；删去时，满足，此方程无解，不满足题意，同理可证，删除与时，均不满足题意；故；所以，(2)已知等差数列中，，数列中的项为：4，8，16，32，64，128，256，…，所以.故数列的前25项和为，数列的前25项中含有数列中的项的和为，所以.15．（2022·山东烟台·高三期末）已知数列满足，．(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前2n项和．【答案】(1)证明见解析；，；(2).【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得，求出即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，，而，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.(2)由(1)知，，则有，又，则，于是有，因此，，所以.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，有的可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系，有的可利用奇偶分析逐步计算探求项间关系而解决问题.16．（2022·山东济南·高三期末）已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)353【解析】【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到(1)因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以(2)令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式.(2)由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案.(1)由，得，所以是等比数列.所以从而所以，．(2)设即，所以，，于是，．因为，且，所以，使成立的最大正整数．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知数列中，，，且满足.(1)设，证明：是等差数列；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列是等差数列；（2）求出数列的通项公式，可求得数列的通项公式，可得出，再利用等比数列的求和公式可求得.(1)证明：，，所以，，即，所以，数列是以为首项，公差的等差数列.(2)解：由（1）可得：，所以，，整理可得，所以，数列是以为首项，公比的等比数列，所以，，则，则所以，.19．（2022·湖北襄阳·高三期末）设是正项等比数列，是等差数列，已知，，，．(1)求和的通项公式；(2)设数列满足，是否存在实数、，使得前项和为，如果存在，求实数、的值，如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)存在，，.【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式即求；（2）由题可得，然后利用错位相减法可得，再结合条件即得.(1)设数列的公比为，数列的公差为，则由，得，即，解得或（舍），又，所以，∴，即，解得，所以；(2)∵，∴于是，，两式相减可得：，∴，又因为所以存在，，使得前项和为.20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列满足，；数列前项和为，且，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)设，求前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.(1)，，∴，又，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.∴，∴，∴，∵，∴时，，∴，又，∴时，，，∴；(2)由（1）得，设①则②①②得，，∴21．（2022·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．(1)求；(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式，列出方程组，解出和公比，则可求出其通项公式；（2）由（1）可求得，且当时，，可依次求出的值，再求和即可.(1)由得，则，因为，则，，又，，则，所以.(2)（2）由题设及（1）得，且当时，，即，，所以．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式．（2）数列可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．【详解】（1）由题意得，，故，所以的通项公式为．（2）设数列的前项和为，则，，两式相减得，所以．【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题．23．（2022·湖南娄底·高三期末）在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根．(1)求，；(2)求的通项公式．【答案】(1)，或，(2)或【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.(1)因为，所以或14，所以，；或，．(2)设公差为d，若，，得，所以通项公式为；若，，则，所以通项公式为．故的通项公式：或.24．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列前20项的和．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）在已知条件中分别取,可求得的值，当时利用和与项的一般关系得到，从而判定数列为等差数列，然后得到通项公式；（2）利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列前20项的和．(1)解：由题可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴数列是首项与公差都为2的等差数列,∴.(2)解：题可知，当时，,∴.当时，,∴,∴.25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知数列的前项和为，，且，是公差不为0的等差数列，且成等比数列，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由已知列式解方程组可得解.（2）裂项求和即可.(1)∵当，，两式相减可得由，代入可得，满足，所以为等比数列，∴，不妨设等差数列公差为，由条件可得，即，解得，所以(2)由（1）可知∴.26．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由条件可得，从而可解得，得到答案.（2）由（1）可得，则利用裂项相消法可得答案.(1)设数列的公比为，依题意可得解得或，又因为数列的各项均为正数，所以.从而可求得，所以，.(2)，【点睛】27．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)若，求数列的前n项和．在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)；(2)若选，；若选，.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式进行求解即可；（2）若选，利用错位相减法进行求解即可；若选，利用裂项相消法进行求解即可.(1)设等差数列的公差为，由，可得：；(2)若选.因为，所以，因此，，两个等式相减得：，，；若选，因为，所以，因此有：.28．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由求解；（2）方法一：由题意得到，的各项为，再确定数列的项求解；方法二：由在数列中，前面（包括）共有项，令，确定数列的项求解.(1)解：设等差数列的公差为，由题得，即，整理得，解得.所以.(2)方法一：由题意可知，的各项为即，因为，且，所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，所以，方法二：在数列中，前面（包括）共有项，令，则，所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，所以，29．（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列满足，，且（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）对递推公式进行变形，利用等比数列的定义进行证明；（2）先利用（1）结论得到，再利用累加法和等比数列的前n项和公式求出，再求出，再分离参数，利用放缩法进行求解.(1)解：因为，所以，又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；(2)解：由（1），得，所以，，…，（），所以（），经检验当时，，亦满足，所以()，所以，因为任意，均有，所以()，又因为()，所以，即实数的最小值为.30．（2022·广东清远·高三期末）已知数列的前n项和为，数列的前项和为，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．①，②，③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）、若选①②作为条件证明③：由①推出的关系，由②进而求出数列的通项公式，进而推出③；（2）、若选①③作为条件证明②：由①推出的关系，求出数列的通项公式，进而求出的通项公式；由③求出数列的通项公式，进而推出②；（3）、若选②③作为条件证明①：由③求出数列的通项公式，由②求出的通项公式，求出数列的前n项和为,进而推出①；【详解】（1）、若选①②作为条件证明③：因为，所以当时，．当时，，两式相减得，所以，所以．因为，所以，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以，所以．（2）、若选①③作为条件证明②：因为，所以当时，．当时，，两式相减得，所以，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以，所以．因为，所以当时，；当时，．因为当时也满足上式，所以，故．（3）、若选②③作为条件证明①：因为，所以当时，；当时，．经检验当时满足上式，所以.因为，所以，所以，故．31．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）结合等比数列性质，将全部代换为与有关的形式，结合等差中项性质化简即可求解；（2）结合（1）可得，由错位相减法可求.(1)设等比数列的公比为q，，又，∴，，；(2)，①，②，①-②得：，.32．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.(1)求证：、、成等差数列；(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.【答案】(1)证明见解析；(2)当或时，取得最大值.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，分析得出，利用已知条件可求得的值，再计算得出，即可证得结论成立；（2）分析可知是以为首项，以为公比的等比数列，求得，解不等式，求得的取值范围，可求得的最大值及其对应的值.(1)解：设等比数列的公比为.当时，则，则，故，由已知可得，得，整理得，即，因为，可得，故，，所以，，因此，、、成等差数列.(2)解：，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，显然，令，解得，故当或时，取最大值，且.33．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当时，，当时，，将代入上式验证显然适合，所以.（2）因为，，，，所以，所以.【点睛】本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.34．（2022·江苏海门·高三期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】(1)an＝4n－3(2)【解析】【分析】（1）由及成等差数列建立等式求解即可；（2）根据条件求出数列，再求和即可.(1)设等差数列的公差为d，d≠0，由条件得解之得所以数列的通项公式为an＝4n－3．(2)设4n－3＝3m，则n＝＝＝，当m＝2k，k∈N*时，(－1)m＋3＝4，所以N*，当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m＋3＝2，所以N*，所以，所以．35．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.(1)求数列的通项公式；(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；（2）求得数列的前n项和的解析式，求其最值后即可解决.(1)数列中，＝2，2()＝6－当时，2()＝6－则2()-2()＝6－－（6－），整理得当时，由2()＝6－，可得，满足综上，数列是首项为2，公比为的等比数列，(2)由（1）可知，等比数列的前n项和为当n为奇数时，，则当n为偶数时，，则综上得，数列的前n项和的最大值为2，最小值为故M－m36．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.(1)设，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）对已知的式子变形得，则，从而可得数列是以4为公比的等比数列，进而可求出的通项公式；（2）由（1）求出，从而可求出，进而可求出(1)由可知，，即，由可知，，所以是以12为首项，4为公比的等比数列，所以的通项公式为.(2)由（1）知，，所以所以，所以的前20项和.37．（2022·江苏扬州·高三期末）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分别是数列{bn}的前3项．(1)求数列{bn}的公比q；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列、等比数列的性质建立方程解得公差d，再利用等比数列的定义可求得答案；（2）由（1）得，运用数列错位相减法求和即可.(1)解：由题意得a62＝a3a12，即，解得d＝2或d＝0，因为d≠0，所以d＝2，所以．(2)解：由（1）可得，