清单08勾股定理的实际应用（12种题型解读（30题））

清单08勾股定理的实际应用（12种题型解读（30题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】求梯子滑落高度1．如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处(1)该火车站墙面破损处A距离地面有多高？(2)如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？【答案】(1)该火车站墙面破损处A距离地面的高度为5(2)梯子底部需要向墙角方向移动8【分析】（1）利用勾股定理求出DN的长度，则AN=AD+DN；（2）设BC是梯子移动后的位置，利用勾股定理求出BN，则BE=EN-BN．【详解】（1）解：根据题意，得在Rt△DEN中，DE=5m，由勾股定理，得DN=D∵AD=1m∴AN=AD+DN=1+4=5m答：该火车站墙面破损处A距离地面的高度为5m（2）解：如图，此时BC是梯子移动后的位置．∵在Rt△BCN中，BC=5m，∴由勾股定理，得BN=B∴BE=EN-BN=3-7答：梯子底部需要向墙角方向移动85【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，即直角三角形两角直角边长平方的和等于斜边长的平方．2．一梯子AC长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．(1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m，底端到垂直墙面的距离为n，若mn=a，根据经验可知：当2.7<a<5.6【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)此时使用不安全【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出BC'，利用公式mn【详解】（1）解：由题意可知在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2.5，BC=0.7∴由勾股定理可得，AB即AB=A∴AB=2.4(m)，即这架梯子的顶端离地面2.4（2）解：如图所示，AA'=0.4，则在△A'∴由勾股定理可得，BC∴可得mn∴此时使用不安全．．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．3．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.【答案】梯子下滑0.5米.【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，同理DE与CE、CD正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【详解】解：设AE的长为x米，依题意得CE=ACx，∵AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C=90°，∴AC∴AC=2米，∵BD=0.5米，∴在Rt△ECD中，C∴2-x=1.5，x=0.5，即AE=0.5米，答：梯子下滑0.5米.【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【考试题型2】求旗杆高度4．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”【答案】292【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x4）2，解之即可．【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+（x4）2，解得：x=292∴秋千的绳索长为292【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．5．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x-1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x-1，CE=6根据勾股定理得：AC2=A解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．【考试题型3】求小鸟飞行距离6．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？【答案】小鸟至少飞行了10米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），∴AE=ACEC=104=6（米），在Rt△AEB中，AB=A答：小鸟至少飞行了10米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．7．如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程．【答案】小鸟飞行的最短路程为13米．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，过B点作BE⊥AC于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AB．∵AC=10米，BD=5米，∴EC=5米，EB=12米，AE=AC-EC=10-5=5米，在Rt△AEB中，AB=AE2故小鸟飞行的最短路程为13米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．【考试题型4】求大数折断前高度8．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC=8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？【答案】这棵树在离地面6米处被折断【分析】设AC=x，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解：设AC=x，∵在Rt△ABC中，A∴x2∴x=6．答：这棵树在离地面6米处被折断【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．9．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）【答案】8尺【分析】设原处还有x尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．【详解】解：设折处离地还有x尺高的竹子,如图，在Rt△ABC中，AC=x尺，则AB=一丈八AC=(18x)尺由勾股定理得AC所以x2解得：x=8．答：折处离地还有8尺高的竹子．【点睛】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．【考试题型5】解决水杯中筷子高度10．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？【答案】5cm【分析】利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.【详解】盒子底面的对角线长为62+∴盒子的对角线长为102+则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.【点睛】本题考点：勾股定理的应用.11．如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．【答案】水池的深度AC为3米．【分析】首先设水池中水的深度AC为x米，则AB=AD=x+2米，然后再利用勾股定理可得方程x【详解】解：设水池中水的深度AC为x米，则AB=AD=x+2在Rt△ACD中，根据勾股定理，得A即x2解得x=3．所以水池的深度AC为3米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法．12．如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16

(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？【答案】(1)最短路程是20cm(2)筷子的最大长度是282【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。【详解】（1）解：如图1所示：

图1由题意得：AB=BC=6cm，CD=16∴AC=AB+BC=12cm在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=∴最短路程是20cm；（2）将筷子斜着放，

∵AB=BC=6cm，CD=16∴AC=6∴AD=A即筷子的最大长度是282cm【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。【考试题型6】解决航海问题13．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【答案】乙船的航速是12海里/时．【分析】根据甲船和乙船航行的角度，可知∠CAB＝90°，用勾股定理即可求出AB的长度，最后求出乙船的速度即可．【详解】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∵AC＝16×3＝48，BC＝60，∴AB=BC∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边大的平方”是解题的关键．14．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)会，理由见解析(2)7h【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC∴△ABC为直角三角形，∴12∴300×400=500CD，∴CD=240km∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时△ECF为等腰三角形，∵ED=E∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．

【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．15．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C则信号次数为140×2÷20＝答：最多能收到14次信号．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．【考试题型7】求河宽问题16．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．【答案】60m【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB＝AC2-B∴该河流的宽度为60m．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．17．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米．(1)求该河的宽度AB；（两岸可近似看作平行）(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．【答案】(1)AB=240米(2)航行总时间为67.5秒【分析】（1）根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边AB的距离．（2）根据时间=路程÷速度，求出行驶的时间即可．【详解】（1）解：设AB=x米，则BC=(x+10)米，在Rt△ABCx2解得：x=240，答：河宽240米．（2）解：240+10÷5=5070÷4=17.5（秒），50+17.5=67.5（秒），答：航行总时间为67.5秒．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．18．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C移动到点E，同时小船从点A移动到点B，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移动的距离为13-89【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE=AC-BC即可求解．【详解】（1）解：∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴AC=BC+CE，（2）解：连接AB，则点A、B、F三点共线，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF-AB=12-4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC-BC=13-89（米∴男孩需向右移动的距离为13-89【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．【考试题型8】求台阶上地毯长度19．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一级台阶的高为2分米；（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AC＝182答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．20．若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．（1）求地毯的长是多少米？（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？【答案】（1）7米；（2）140元【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长；（2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案．【详解】（1）∵BC=3m,AB=5m,∠ACB=90°，∴AC=AB∴AC+BC=7m，∴地毯的长为7m；（2）地毯的面积为7×2=14m2∴铺这个楼梯所需的花费为14×10=140（元）．【点睛】本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键．【考试题型9】判断汽车是否超速21．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s【答案】这辆小汽车超速行驶【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长．那么利用勾股定理可求得BC的长，根据小汽车2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速．【详解】解：根据题意AC⊥BC，AC=30m，AB=50∴在Rt△ABC中，BC=A∴小汽车的速度为v=40∵72km∴这辆小汽车超速行驶．【点睛】本题考查勾股定理的应用，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决，要注意题目中单位的统一．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．22．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，(1)求AP的长？(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（3≈1.732【答案】(1)AP的长为200m(2)此车超过了80km/h的限制速度【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；（2）根据勾股定理可得AO=1003m，再由等腰直角三角形的判定可得BO【详解】（1）解：在Rt∴∠∴AP（2）解：在RtΔAPO中，

∴AO在RtΔBOP中，∠∴∠BPO∴BO=∴V∴此车超过80km/h的限制速度．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．【考试题型10】受否受台风影响23．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析．(2)台风影响该海港持续的时间有45小时．【分析】（1）判断海港C是否受影响，只需要求得台风距离海港C的最近距离是否在台风的影响范围即可，转换成数学知识就是点到直线之间的最短距离，也就是垂线段最短，通过勾股定理的知识解题即可．（2）当台风中心距离海港C的距离为600千米时，开始受到影响，如图当台风在PQ段海港C受影响，构建三角形，根据勾股定理即可求出PQ的长度，根据速度即可解出受影响的时间．【详解】（1）过点C作CH⊥AB交AB于点H设CH=x在Rt△ACH中，∠A=45°，在Rt△BCH中，∠B=30°，∴AB=(∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）设台风在P点，海港开始受到影响，Q点时停止受影响，在Rt△PCH中，CP=600，∴PH=∴PQ=2PH=400则时间：t=400答：台风影响该海港持续的时间有45小时．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构建出直角三角形，再利用勾股定理解答．24．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？【答案】(1)会，说明见解析(2)10小时【分析】（1）过点A作AD⊥BF于点D，根据直角三角形的性质可得AD=12AB（2）设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时，A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米，根据等腰三角形的性质可得CE=DE，再由勾股定理求出CD，即可求解．【详解】（1）解：A市会受到台风的影响，理由如下∶如图，过点A作AD⊥BF于点D，在RtΔABD中，∠ABD=30°，AB∴AD=1∵AD=150千米＜200千米，∴A市会受到台风的影响；（2）解∶设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时，A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米，∵AD⊥BF，∴CD=DE，∴DC=A∴CE=1007∴A市受台风影响的时间为1007107=10【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键．25．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【答案】(1)村庄能听到宣传，理由详见解析(2)村庄总共能听到4分钟的宣传【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论．【详解】（1）解：村庄能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ=AP2∴PQ=1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟），∴村庄总共能听到4分钟的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．【考试题型11】选址到两地距离相等26．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距【答案】E应建在距A点15km处【分析】设AE=x，则BE=25-x，根据勾股定理求得DE2和CE【详解】设AE=x，则BE=25-x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE在Rt△BCE中，CE由题意可知：DE=CE，所以：102解得：x=15km．所以，E应建在距A点15km处．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键．27．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E【答案】市场E应建在距A的20千米处；ΔDEC【分析】可以设AE=x，则BE=50-x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【详解】解：设AE=x，则BE=50-x，在直角△ADE中，DE在直角△BCE中，CE∴302解得：x=20，即AE=20km∴市场E应建在距A的20千米处；∵AE=BC=20km，BE=50-20=30在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC可得△DAE≌△EBCSAS∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据DE2=302【考试题型12】求最短距离28．如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外