专题921菱形（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.21菱形（分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）在菱形中，，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023下·海南海口·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（

）

A．20 B．24 C．30 D．483．（2019下·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（）

A．20° B．30° C．40° D．50°4．（2023上·山东·九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．邻边相等 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直5．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则的长为（

）A． B．2 C． D．6．（2023上·四川达州·九年级校考期末）下列说法中正确的是（

）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形7．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为和，其面积用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．8．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为（

）A． B． C． D．无法确定9．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022上·全国·九年级专题练习）菱形具有的一切性质．12．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为．13．（2016·宁夏银川·统考一模）如图，四边形是菱形，，于点，则．14．（2022·北京通州·统考一模）如图所示，某种“视觉减速带”是由三个形状完全相同，颜色不同的菱形拼成，可以让平面图形产生立体图形般的视觉效果．则的度数为．15．（2022下·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=°16．（2021下·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知点F是等边的边延长线上一点，以为边，作菱形，使菱形与等边在的同侧，且，连结，若的面积为．17．（2021下·上海奉贤·八年级统考期末）我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是．18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，已知第1个菱形中，，，以对角线为边作第2个菱形，使点在菱形的内部，且，再以对角线为边作第3个菱形，使点在菱形的内部，且，顺次这样作下去……，则第2023个菱形的面积为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．（1）你添加的条件是______（填序号）；（2）添加了条件后，请证明为菱形．20．（8分）（2022下·重庆·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，（1）用尺规完成基本作图：作∠BAM的角平分线AC交BN于点C，在射线AM上截取AD=AB，连接CD．（保留作图痕迹，不写作法、不下结论）（2）求证：四边形ABCD为菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵∴AM∥∴∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠BAC∴∠BAC=∵AB=BC∴AD=AB∴=AD∵BC∥AD∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴平行四边形ABCD是菱形（）（填推理依据）21．（10分）（2023·广东广州·统考一模）已知．（1）化简；（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．22．（10分）（2021上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，在边长为4的菱形中，，E、F分别是上的动点，且，连接．

（1）试探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）求四边形的面积．23．（10分）（2021上·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，有A、B、C、D四个点，若A（2，0），B（﹣1，3），C（m，n）．（1）当m＝﹣2，n＝1时，①请在（图一）中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；②求△ABC的面积＝．③若四边形ABCD为平行四边形，请直接写出满足条件的D点坐标．（2）当m＝﹣1时，若以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，则满足条件的C点有个．24．（12分）（2021上·河南平顶山·九年级统考期中）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？小西进行了以下操作研究（如图1）：第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：①直接写出BE和BN的数量关系：；②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；③求证：四边形BGHM是菱形．参考答案：1．B【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键．解：如图，∵四边形是菱形，，∴；故选：B．2．B【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．解：在菱形中，，，菱形的面积为，故选：B．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．3．A【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°∠OEB即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=70°，∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，∴∠OEB=∠OBE=70°，∴∠OED=90°70°=20°，故选A．【点拨】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．4．B【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，由“矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直”即可求得答案．解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：B．5．C【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得，由菱形的性质得出，，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出，即可得出答案．解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵菱形的面积，∴，∴，故选：C．6．C【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定；运用矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解．解：A、有一组对边平行的四边形是平行四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故该选项错误；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项错误；故选：C．7．A【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算，或者利用菱形对角线垂直的性质进行面积求解，最后化为科学记数法的形式即可．解：菱形的对角线相互垂直菱形的面积=对角线成绩的一半=【点拨】本题考查用对角线计算菱形的面积及科学记数法，也可以利用对角线垂直的性质进行面积的计算，注意所有对角线垂直的四边形面积均等于对角线乘积的一半．正确的使用公式和理解科学记数法的写法是解题的关键．8．A【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质．利用基本作图得到，，根据平行四边形的性质得，则，可得，从而得到，于是可判断四边形为菱形，于是得到四边形的周长．解：由作法得：平分，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，，，∴，，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形，∴四边形的周长．故选：A．9．A【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．解：点为的中点，，又，，，是等边三角形，，，，即，故①正确；在平行四边形中，，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，点为的中点，，平行四边形是菱形，故③正确；，在中，，，故②正确；在平行四边形中，，又点为的中点，，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A．【点拨】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．10．A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．解：如图：连接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD，∴故选：A．【点拨】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．11．平行四边形【解析】略12．12【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得．解：四边形是菱形，，点是边的中点，是的中位线，，故答案为：12．【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．13．【分析】根据菱形的性质，直角三角形的勾股定理，先求出的长度，在中根据面积相等方法即可求解．解：∵四边形是菱形，，∴，，∴在中，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直且相互平分，直角三角形的勾股定理，等面积法求边长或高是解题的关键．14．【分析】如图是由三个形状完全相同的菱形拼成的一个平面图形，根据平面图形的镶嵌的定义可知，以点A为顶点的三个角之和为，根据题意又可知这三个角相等，所以，然后再利用菱形对角相等的性质即可得到答案．解：∵如图是由三个菱形拼成的一个平面图形；∴以点A为顶点的三个角之和为，又∵这三个菱形的形状完全相同；∴以点A为顶点的三个角相等，∴∴．故答案为：【点拨】本题考查了平面图形的镶嵌和菱形的性质．解答本题的关键是理解平面图形的镶嵌的定义．15．30【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则．解：∵四边形OD'DC为菱形，∴，∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，故答案为：30．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．16．【分析】作EH⊥BF延长线于H点，根据菱形以及等边三角形的性质推出∠EFH=60°，结合边长即可求出EH的长度，从而根据BF和EG求出△BEF的面积即可．解：如图所示，作EH⊥BF延长线于H点，则∠EHF=90°，∵△ABC为等边三角形，四边形CDEF为菱形，CD∥AB，∴∠ABC=60°，CD∥EF，∴∠ABC=∠DCF=∠EFH=60°，∠FEH=30°，∵EF=8，∴CF=EF=8，FH=4，EH=4，∴BF=BC+CF=18，∴，故答案为：．【点拨】本题考查等边三角形以及菱形的性质，理解图形的基本性质是解题关键．17．【分析】由题意可证是等边三角形，可求菱形的面积，可证四边形是平行四边形，可得的面积，，即可求解．解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，菱形的面积，是对边中位线，，，，且，四边形是平行四边形，的面积，，是邻边中位线，，故答案为．【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键．18．【分析】先分别求出菱形的对角线长，再依次求出面积，然后得出规律，进而得出答案．解：如图，连接，根据题意可知，，，且，∴是等边三角形，∴.在中，，∴，根据勾股定理，得，∴.可知，得；

同理：，，则；，，则；···．故答案为：．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，数字变化规律问题等，根据变化特点得出规律是解题的关键．19．（1）①；（2）见分析【分析】（1）添加合适的条件即可；（2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论．（1）解：添加的条件是．故答案为：①．（2）证明：∵四边形是平行四边形，∴，在和中，，∴，∴，∴为菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．20．（1）见分析；（2）BN；∠BCA；BC；有一组邻边相等的平行四边形是菱形【分析】（1）根据角平分线的作法，和作一条线段等于已知线段的作法，即可求解；（2）根据，可得AM∥BN，从而得到，再由AC平分∠BAD，可得∠BAC=∠BCA，从而得到AB=BC，进而得到BC=AD，可得到四边形ABCD是平行四边形，即可求证．（1）解：根据题意，画出图形，角平分线AC，点D，线段CD即为所求；（2）证明：∵∴BN，∴，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∵AD=AB，∴BC=AD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【点拨】本题主要考查了尺规作图，菱形的判定，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，去括号后再合并同类项即可；（2）根据菱形的面积公式可求出的值，然后整体代入由（1）所得的结果进行计算即可．（1）解：；（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，∴，∴，∴．∴的值为．【点拨】本题是求代数式的值的应用，考查了整式的混合运算，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式，合并同类项，菱形的面积等知识点，运用了整体代入的思想．掌握整式的混合运算和菱形的面积的计算方法是解题的关键．22．（1），证明见分析；（2）【分析】（1）由四边形是菱形，得，可证、均为等边三角形，进一步求证（），得．（2）连接交于点O，由菱形知，，中，勾股定理得，由得，运用移补思想，．（1）解：，证明如下：∵四边形是菱形，∴，又∵，∴，∴、均为等边三角形，∴，在和中，，，，∴（），∴．（2）连接交于点O，如图．

∵四边形是菱形，∴，且，在中，，∴，由（1）知，∴，∴．【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；求解面积时移补的思想是解题的关键．23．（1）①见分析，②4.5，③（3，2）或（1，2）或（5，4）；（2）4【分析】（1）①分别画出B、C关于x轴对称的点，再顺次连接即可；②用长方形的面积减去三个三角形面积即可；