122三角形全等的判定(一)（SSSSAS）原卷版

八年级上册数学《第十二章全等三角形》三角形全等的判定（一）“边边边”与“边角边”知识点一知识点一全等三角形的判定方法◆利用“SSS”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).◆利用“SAS”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE∴△ABC≌△DEF(SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.题型一全等三角形判定的条件题型一全等三角形判定的条件【例题1】如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定（）A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACD C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对解题技巧提炼判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备SSA时一般是不能判定三角形全等的．【变式11】如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需添加的一个条件可以是（）A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对【变式12】下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）A． B． C． D．【变式13】如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AC∥EF B．∠E＝∠C C．∠ABC＝∠FDE D．AB＝DF【变式14】如图，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△BDA≌△ACB，还需加上条件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB题型二利用“边边边”直接判定两三角形全等题型二利用“边边边”直接判定两三角形全等【例题2】如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE．求证：△ABC≌△AED．解题技巧提炼三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.【变式21】（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．【变式22】如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．【变式23】（2023•永善县三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．题型三利用“边边边”尺规作图题型三利用“边边边”尺规作图【例题3】11．（2018秋•庆云县校级月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是．解题技巧提炼用尺规作一个角等于已知角的依据是“边边边”.【变式31】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【变式32】（2023春•白银期中）已知∠AOB，点C是OB边上的一点．用尺规作图画出经过点C与OA平行的直线．【变式33】如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD，若∠B＝56°，则∠ADC的大小为度．题型四利用“边角边”直接判定两三角形全等题型四利用“边角边”直接判定两三角形全等【例题4】（2023•官渡区一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AF＝DE，∠A＝∠D，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE．解题技巧提炼两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边．【变式41】（2023•从化区二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，证明：△ABC≌△AED．【变式42】（2023•祥云县模拟）已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC，求证：△ABC≌△DEF．​【变式43】（2023•乾安县四模）已知：如图，BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．【变式44】（2023•宁江区二模）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，求证：△ABC≌△DCE．【变式45】（2023•五华区校级模拟）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：△ABC≌△DEF．题型五判定三角形的全等求线段长题型五判定三角形的全等求线段长【例题5】如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，∠B＝∠C，若BE＝4，则CD＝．解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可证明.【变式51】（2022春•成华区期末）如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，过点A作直线BD的垂线交BC的延长线于点E，若BC＝4，则CE的长为．【变式52】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为cm．【变式53】（2023•青海一模）在△ABC中，D是BC边的中点，若AB＝9，AC＝5，则△ABC的中线AD长的取值范围是（）A．5＜AD＜9 B．4＜AD＜9 C．2＜AD＜14 D．2＜AD＜7题型六判定三角形的全等求角度题型六判定三角形的全等求角度【例题6】如图，已知OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OBC＝（）A．95° B．120° C．50° D．105°解题技巧提炼先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．【变式61】（2022春•福山区期中）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝76°，求∠BAC的度数．【变式62】（2023春•青羊区期末）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．【变式63】（2022秋•湟中区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系题型七利用三角形全等证明两直线的位置关系【例题7】（2022秋•甘井子区校级月考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝CE，试判断AB和DE的关系，并说明理由．解题技巧提炼先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）.【变式71】（2023春•罗湖区校级期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，连接BC，BF，CE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【变式72】（2023春•萍乡期末）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由．【变式73】如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE＝DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．题型八三角形全等的开放探究题题型八三角形全等的开放探究题【例题8】如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEC．解题技巧提炼三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式81】如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．【变式82】如图，AB＝AE，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，应添加一个条件是．【变式83】问题：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，若．求证：△ABC≌△DEF．在①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③BE＝CF这三个条件中选择其中两个，补充在上面的问题中，并完成解答．题型九全等三角形的判定与性质的综合应用题型九全等三角形的判定与性质的综合应用【例题9】（2022春•包头期末）如图，已知点A，C在线段BD两侧，AB＝AD，CB＝CD，线段AC，BD相交A于点O．下列结论：①∠ABC＝∠ADC；②AC⊥BD；③AC平分∠BAD；④OB＝OD．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．解题技巧提炼三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题．【变式91】（2023•禅城区校级一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：△ABD≌△ACE；（2）证明：∠3＝∠1+∠2．【变式92】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF≌△ECF【变式93】（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，AD∥BC．（1）△ADE与△ACB是否全等？说明理由；（2）如果∠B＝30°，∠D＝40°，求∠BAE的度数．【变式94】（202