河北省雄安新区部分高中高三下学期三模考试数学

数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，为单位向量，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数（，为虚数单位），则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．设全集为，定义集合与的运算：且，则（）A． B． C． D．4．已知，，，，则（）A． B． C． D．5．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A．36 B．32 C．28 D．246．小李买了新后了，，，4个APP，已知桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（）A．288种 B．336种 C．384种 D．672种7．已知直线与曲线有三个交点，，，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（）A． B． C． D．8．过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若为的内角平分线，则面积的最大值为（）A． B． C． D．16二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设，是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（）A．，相互独立 B．C． D．10．如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则（）A．该几何体的表面积为B．该几何体为七面体C．二面角的余弦值为D．存在球，使得该多面体的各个顶点都在球面上11．已知函数与，记，其中，且，则（）A．一定为周期函数 B．若，则在上总有零点C．可能为偶函数 D．在区间上的图像过3个定点第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．展开式中的常数项是120，则______．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与在第一象限的交点为，若，，则的离心率为______．14．若对于，，使得不等式恒成立，则整数的最大值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数．（1）若是的一个极值点，求的值；（2）若有两个极值点，，其中，求的取值范围．16．（15分）在四棱锥中，平面底面，．（1）是否一定成立？若是，请证明；若不是，请给出理由；（2）若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射击频数11102424乙的射击频数32103015丙的射击频数24101826假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由；（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由．18．（17分）已知是圆上的动点（点是圆心），定点，线段的中垂线交直线于点．（1）求点的轨迹；（2）设上点（不在轴上）处的切线是，过坐标原点作平行于的直线，交直线，分别于点，，求的取值范围．19．（17分）已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有．设，对于，定义，其中表示数集中最小的数．（1）若，写出，的值；（2）若存在满足，求的最小值；（3）当时，证明：对所有．

参考答案及解析一、选择题1．C 2．A 3．B 4．A5．C 6．D 7．C 8．B二、选择题9．ABD 10．AC 11．ABD三、填空题12．2 13． 14．0四、解答题15．解：（1）易知，又是的一个极值点，所以，即，所以，此时，令，，所以在上单调递增，且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，即符合题意，因此的值为．（2）因为，且有两个极值点，，所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，将问题转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，则，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且当时，，，故作出的图像如图所示：由图像可知满足题意，即，即的取值范围为．16．解：（1）过点作的垂线，交于点，又平面底面，平面底面，平面，所以底面，若，则点与点重合，即底面，所以垂直平面内任意直线，即与无论何种位置关系，都有，所以不一定成立．（2）因为是正三角形，则为的中点，由（1）知底面，又底面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，又是正三棱锥，即为等边三角形，设，则为的中点，作，则底面．以为坐标原点，，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则取．设平面的法向量为，则取．所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．解：（1）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为，甲射击成绩的总环数为，因为，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．（2）根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为，“甲命中10环”的概率可估计为，“乙命中9环”的概率可估计为，“乙命中10环”的概率可估计为，所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为．（3）或（写出其中一个即可）．根据题中数据：（当时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为，在每次射击中，乙击中大于6环的概率为，在每次射击中，丙击中大于6环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足．）当时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为，在每次射击中，乙击中大于7环的概率为，在每次射击中，丙击中大于7环的概率为，由题意可知，，，此时，，，满足．当时，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为，在每次射击中，乙击中大于8环的概率为，在每次射击中，丙击中大于8环的概率为，由题意可知，，，此时，，满足．（当时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为，在每次射击中，乙击中大于9环的概率为，在每次射击中，丙击中大于9环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足．）18．解：（1）由中垂线的性质得，所以，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为，则，，因此曲线的方程为．（2）解法一：因为，设，，，则，．因为的斜率存在，设为，所以直线的方程为，联立可得消去得，①由已知，方程①的判别式，所以，所以，②方程②的判别式，又，即，所以，所以方程②的解为，又，所以，所以直线的方程为，所以．③又直线，④联立③④，消可得，解得，代入得，同理可得，所以，又，所以．解法二：由椭圆的光学性质可知，是的外角平分线（如图标识），即，因为，所以，所以，结合，所以由正弦定理可知，即，从而，因为，所以，由，可知，所以．19．（1）解：由，则，故，，故，，故．（2）解：由题意知，当时，因为，，所以，因为，且，均为正整数，所以或，所以，因为，，是互不相等的正整数，所以必有一项大于2，所以，所以，不合题意，当时，对于数列，有，综上，的最小值为4．（3）证明：因为，所以，