21等式性质与不等式性质（七大题型）（讲义）

2．1等式性质与不等式性质目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：用不等式（组）表示不等关系 4题型二：作差法比较两数（式）的大小 5题型三：作商法比较两数（式）的大小 8题型四：利用不等式的性质判断命题真假 11题型五：利用不等式的性质证明不等式 13题型六：利用不等式的性质比较大小 15题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 18

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③．对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，运算性质有：（1）可加法则：（2）可乘法则：（3）可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系【典例11】（2024·高一·全国·课后作业）下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为.故选：C.【典例12】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故选：B.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．【变式11】（2024·高二·陕西渭南·期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若使得该项投资的总收益率是增加的，则，，得.故选：C【变式12】（2024·高一·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是，即.故选：D【变式13】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B.题型二：作差法比较两数（式）的大小【典例21】（2024·高一·全国·随堂练习）若，设，，则M，N的大小关系是．【答案】【解析】因为，，则，且，则，可得，即.故答案为：.【典例22】（2024·高一·上海·随堂练习）比较大小：．【答案】＞【解析】因为，所以.故答案为：>.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤【变式21】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，记，，则M与N的大小关系是．【答案】【解析】因为，且，，所以．故答案为：.【变式22】（2024·高一·上海·假期作业）（1）;

（2）;（3）;

（4）,;（5）【答案】<<<>>【解析】（1）因为,所以;（2）因为,所以;（3）因为,所以;（4）,因为,所以,则;（5）,因为,所以,则.故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.【变式23】（2024·高一·上海·课后作业）设，，，则，，，的大小顺序是．【答案】【解析】方法一：特殊值法

取，，，，则，，，，则．方法二：作差法因为，，，所以，所以，所以．因为，，，所以，，所以，，所以．或，所以．，所以．所以．故答案为：【变式24】（2024·高一·上海·课堂例题）设x是实数，比较与的值的大小.【解析】，，因为，所以，即.【变式25】（2024·高一·上海·课堂例题）已知是实数，(1)求证：，并指出等号成立的条件；(2)求证：如果，那么.【解析】（1）因为，当且仅当，即时，等号成立；（2）因为，则，又（等号不成立），所以，故.题型三：作商法比较两数（式）的大小【典例31】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小.【解析】（方法1）因为，所以.所以.因为，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.【典例32】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小【解析】，，，.【方法技巧与总结】作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．【变式31】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：．【解析】证明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．【变式32】（2024·高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小【解析】,同理，,从而，即>.【变式33】（2024·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设，比较的大小；②设，比较的大小；③设，比较的大小.注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【解析】①，因为，所以，即；.②，.③方法一（作差法），因为，所以，所以，所以...方法二（作商法）因为，所以，所以，所以..题型四：利用不等式的性质判断命题真假【典例41】（2024·高一·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，若，则，但、（因为无意义）、不成立，故ABD错误；由易得C项正确.故选：C.【典例42】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）如果，，那么下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如果，，对于A，，，故A错误；对于B，，即，故B错误；对于C，，即，故C正确；对于D，，即，故D错误.故选：C.【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【变式41】（2024·高二·云南昭通·阶段练习）已知，且，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A，取，则满足，但，故A错误；对B，根据不等式性质，故B正确；对C，取，则，故C错误；对D，取，则，故D错误.故选：B.【变式42】（2024·高一·上海·单元测试）若，，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对A：由，，则，故A正确；对B：取，，则有，故B错误；对C：取，，则有，故C错误；对D：取，，则有，故D错误.故选：A.【变式43】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，由，得，故B正确；对于C，，由，得，所以，故C正确；对于D，由，得，又，所以，故D正确．故选：A．【变式44】（2024·高一·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、，【答案】C【解析】因为、，故，排除BD；因为，所以，，又，所以，故A错误，C正确.故选：C题型五：利用不等式的性质证明不等式【典例51】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：．【解析】证明：（1）因为，所以．又．所以，所以．又因为，所以．（2）因为，要证，只需证明，展开得，即，因为成立，所以成立．【典例52】（2024·高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且.【解析】由于实数a、b、c满足，且，所以，即，，即，综上，且【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有ab>0⇒a>b；ab=0⇒a=b；ab<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．【变式51】（2024·高一·上海·课堂例题）（1）已知，求证：；（2）已知，，，求证：．【解析】（1）由，得，则，又，则，即，不等式两边同乘，得，而，所以．（2）由，，得，即，又，所以．【变式52】（2024·高一·上海·假期作业）（1）已知，，求证：；（2）已知，求证：，其中为正整数.【解析】（1），，由不等式的传递性，得.（2）将（1）结论中的换成，换成，就得到结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到.【变式53】（2024·高一·上海·假期作业）已知，证明：若，则或.【解析】假设且，则，与已知矛盾，所以假设不成立，故x>1或.【变式54】（2024·高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.【解析】证明：因为，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以.【变式55】（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，.(1)证明：；(2)若，证明.【解析】（1）证明:∵，∴.a，b，c不同时为，则，∴；（2）.∵，取等号的条件为，而，∴等号无法取得，即，又，∴，∴.【变式56】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：【解析】（1）因为，作差得，因为，，所以，，所以，即；（2）因为，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.题型六：利用不等式的性质比较大小【典例61】（多选题）（2024·高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，由，得，所以，所以，则A正确；对于B，当时，，则B错误；对于C，由，得，所以，则C正确；对于D，当时，，此时，则D错误.故选：AC【典例62】（多选题）（2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】A选项，不妨令，，此时，A错误；B选项，因为，所以，B正确．C选项，由不等式的性质得，C正确．D选项，当时，，D错误．故选：BC【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则【变式61】（多选题）（2024·高一·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BCD【解析】对于A，若，则，故A错误；对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；对于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正确；对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.故选：BCD【变式62】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，故A项错误，C项正确；，则B项正确；，则D项错误，故选：BC【变式63】（多选题）（2024·高一·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若，则B．若，则C．已知，则D．为互不相等的正数，且，则【答案】ACD【解析】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确；对于B，令，则，，显然，因此B错误；对于C，由，又，，则，即，因此C正确；对于D，由为互不相等的正数，则，又，，即，，即，，又，，即，因此D正确；故选：ACD.【变式64】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确；对于B，若，则，即，故B正确；对于C，若，则，因为当且仅当，所以显然不可能（因为），所以，所以，即，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：ABC.题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典例71】（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是.【答案】【解析】设，其中、，则，解得，所以，，因为，，则，，由不等式的基本性质可得，即.故答案为：.【典例72】（2024·高一·全国·课后作业）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（

）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－