江西省南昌市高三第二次模拟测试数学试题

江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算，代入计算即可.【详解】由题意得，.故选：B.2.设复数满足，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】借助复数的四则运算与模长定义计算即可得.【详解】由题意可得，所以．

故选：B.3.已知集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.【详解】不等式解得，则；不等式解得，则.，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.已知，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.【详解】当时，不等式可化为，所以，可得；当时，不等式可化为，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故选：B.5.在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A.，是异面直线， B.，是相交直线，C.，是异面直线，与不垂直 D.，是相交直线，与不垂直【答案】A【解析】【分析】先用定理判断，是异面直线，再证明与垂直，连接，即可得到平面，取的中点，连接，，从而得到、，即可证明平面，从而得解．【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面外一点与平面内一点直线与平面内不经过点的直线是异面直线．下面证明与垂直：证明：因为平面，平面，所以，因为，分别为的中点，连接，所以，因为，平面，所以平面，如图：取的中点，连接，，因为平面，所以，又因为，所以，因为，所以，又因为为的中点，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以．故选：A．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的和角公式化简得，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.【详解】由已知知：，化简得，令，则，，所以.故选：D7.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可.【详解】由题意可知线段的中点为，且满足，则,故为等腰三角形，又，则为正三角形，根据双曲线定义知，设，则，在中，由余弦定理知，故选：D8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奖杯的总高度为，结合题意，可将其拆解为多段，得到，结合题目所给条件，运用勾股定理计算即可得球的半径，结合球的表面积公式即可得解.【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，由已知侧棱长为的正三棱锥，即，又因为，所以，因为平面，，均与平面垂直，设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，则，又因为奖杯总高度为，设球半径为，球心到圆面的距离为，则，即，如图，易知≌，因为，所以是边长为的等边三角形，设的外接圆半径为，则，则直角中，，即，解得，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助奖杯的总高度为，得到，从而可由题目所给条件逐步计算出球的半径，即可得解.二、选择题:本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性15520女性81220合计231740甲校样本喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性7030100女性4555100合计11585200乙校样本（参考公式及数据:）.0.10.010.0012.7066.63510.828则下列判断中正确的是（）A.样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B.样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C.根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D.根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关【答案】AD【解析】【分析】对AB，根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD，根据独立性检验的性质判断即可.【详解】对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；对C，甲校中，所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；对D，乙校中，所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；故选：AD10.已知，则下列说法中正确的是（）A.在上可能单调递减B.若在上单调递增，则C.是的一个对称中心D.所有的对称中心在同一条直线上【答案】BCD【解析】【分析】对A：计算导数，可得当或时，不恒成立；对B：计算导数，令计算即可得；对C：验证是否成立即可得；对D：可得关于，对称，即可得解.【详解】，则，对A：当时，恒成立，单调递增，当或时，不恒成立，不可能单调递减，综上，在上不可能单调递减，故A错误；对B：若在上单调递增，则恒成立，所以，故B正确；对C：因为，所以关于对称，故C正确；因为，，所以关于，对称，所以所有的对称中心在直线上，故D正确．故选：BCD．11.已知，为上一点，且满足.动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（）A.若，则为线段BC的中点B.当时，的面积为C.点到的距离之和的最大值为5D.的正切值的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对A，利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B，根据余弦定理可得，进而可得，结合三角形面积公式求解即可；对C，先证明，然后根据两点之间线段最短可证明，再给出取等的例子即可；对D，用余弦定理证明，再得到，最后给出一个取等的例子即可.【详解】对A，若，则，从而.再由知.故，这得到所以，从而为线段BC的中点，故A正确；对B，当时，，则，又，故，故，故B错误；对C，由于，故，从而，故.而，故.这表明，即，化简即为.所以，故.由于，故，从而.再由，知.当点在同一条直线上顺次排列，且，，，时，验证知点满足全部条件，且此时有.所以点到的距离之和的最大值为，故C正确；对D，一方面由于，，故，从而.所以，即.所以，所以.由，及，可知.另一方面，如上图所示，考虑一个边长为的正三角形，分别设的中点为，再分别设的中点为.则，，，，，.所以满足全部条件，且此时.综上，的最大值是，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在D选项中，需要先用余弦定理考虑的下界，再相应地推出的上界，进而得到的最大值.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C所对的边分别为，若，则_____________.【答案】2【解析】【分析】先由条件说明存在，再结合正弦定理即可求出.【详解】由知，故存在.再由正弦定理，即可得到.故答案为：.13.一次知识竞赛中，共有五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）.已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，甲抽中的前三题按题型概率不同有四种组合，可用组合数依次计算每种组合的概率，然后根据每种组合中每题是否答对为独立事件，,可依次计算每种组合下全部答对的概率，最后相加即可.【详解】甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合：抽中，剩余一题为三题中的任意一题，且全部答对，则概率为：；抽中，且全部答对，则概率为：；抽中A，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：；抽中B，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：.所以甲前3个题全答对的概率为.故答案为：.14.如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________.【答案】##【解析】【分析】先根据题意得出Q的轨迹是以P为焦点、直线AB为准线的抛物线，进而得出曲线E的方程，然后建立坐标系求出点Q处的切线方程进而求出点N，从而求出，再利用导数工具研究其最值问题即可求解.【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，，所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上，如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即，则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为，所以抛物线在Q点处切线方程为，则令，，所以由题意，且，所以，故对恒成立，所以时单调递减，又当时，，故时，；时，，所以时，单调递增；时，单调递减，所以，则，所以的面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点睛：将求面积转化成求面积是解决面积最值的关键.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且满足.（1）当时，求;（2）若，设，求的通项公式.【答案】（1）100（2）【解析】【分析】（1）由等差数列定义得出为等差数列，由已知求出公差，结合等差数列求和公式即可得解；（2）由定义证明数列是等比数列，由此即可得解.【小问1详解】当时，有，即，所以为等差数列，因为，所以，所以.【小问2详解】由已知，，所以，即，且，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以.16.一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布.（1）生产正常时，从这条生产线生产电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到）（2）根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布.某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）.你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.）【答案】（1）0.093（2）不正常，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据正态分布性质分别求电阻阻值在和在的概率，再结合概率公式求结论，（2）根据原则判断即可.【小问1详解】电阻阻值服从正态分布.所以，.所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为，.因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率；【小问2详解】生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即，记，计算可得，而，即，因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常.17.已知椭圆经过点为椭圆的右顶点，为坐标原点，的面积为.（1）求椭圆的标准方程;（2）过点作直线与椭圆交于A，B，A关于原点的对称点为，若，求直线AB的斜率.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由的面积为，求出，又因为在椭圆上，求解椭圆的方程即可；（2）画图分析，因为为AC的中点，所以，设出直线的方程，联立方程组，利用韦达定理求解即可.【小问1详解】因为的面积为，则有，解得，又因为在椭圆上，则，解得，所以椭圆的标准方程为;【小问2详解】如图：因为为AC的中点，所以，设，设直线的方程，并与椭圆的方程进行联立，可得，消去得，则有，因为，则有，则，即，，即，解得，所以直线AB的斜率为.18.已知且.（1）当时，求证：在上单调递增;（2）设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在上单调递增，即在上恒成立，通过构造函数求最值的方法证明.（2）不等式恒成立，即，通过构造函数研究单调性求最值的方法，求不等式恒成立时实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，令，则，两边取对数得.设，则，所以在单调递增，所以时，即时，，所以时恒成立，即，所以在上单调递增.【小问2详解】法一:，即，两边取对数得:，即.设，则问题即为：当时，恒成立.只需时，.，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.又因为，则，所以时，单调递减，所以时，，所以即.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，，时，，所以的图象与轴有1个交点，设这个交点为，因为，所以；所以当时，，即当时，不等式，所以当不等式在恒成立时，.即实数的取值范围为.法二：，即，两边取对数得：，即设，令得，当时，，单调递减.又因为，所以，在单调递减，由，则在恒成立，即，上式等价于，即，由在单调递减，所以.即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.19.如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为，图一中，点是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点，图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB的同一侧.（1）当时，求的长度；（2）（i）当时，若图二中，点将半圆均分成7等份，求；（ii）证明:.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）过中点作与该斜截圆柱的底面平行的平面圆，利用二面角得到，在俯视图中求出，即得，代入，即得；（2）（i）利用（1