高考数学一轮复习试题阶段滚动检测（二）

阶段滚动检测(二)120分钟150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·郑州模拟)已知i为虚数单位,复数z满足zii=z+1,则|z+1|=()A.2 B.1 C.5 D.2【解析】选A.因为zii=z+1,则z(1i)=1+i,所以z=1+i1-i=故|z+1|=|1i|=12+(-1)2=2.(2023·北京模拟)在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC一定是()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【解析】选D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2b×a2+b2-c22ab⇒a2=a2+b2c2⇒b3.(2023·襄阳模拟)设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是()A.5π B.9π C.16π D.25π【解析】选C.满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示:所以,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(5232)=16π.4.(2024·江西模拟)已知向量a=(log23,sin4π3),b=(log38,m),若a⊥b,则m=(A.23 B.3 C.23 D.32【解析】选C.因为a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin4π3所以log2832m=0,所以m=23【加练备选】(2024·咸阳模拟)已知向量a=(1,1),b=(m,2),若(a+b)∥a,则2a·b=()A.8 B.7 C.7 D.8【解析】选A.由向量a=(1,1),b=(m,2),得a+b=(m+1,1),由(a+b)∥a,得(m+1)+1=0,解得m=2,于是b=(2,2),所以2a·b=2×(22)=8.5.(2024·西安模拟)已知向量a=(1,0),b=(4,m),若|2ab|不超过3,则m的取值范围为()A.[3,3] B.[5,5]C.[3,3] D.[5,5]【解析】选B.由题意知,2ab=(2,m),所以|2ab|=4+m2≤3,得4+m即m2≤5,解得5≤m≤5,即实数m的取值范围为[5,5].6.将函数y=sin(2xφ)的图象沿x轴向右平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值可为(A.π4 B.π4 C.π2 【解析】选B.将函数y=sin(2xφ)的图象沿x轴向右平移π8个单位后得到y=sin[2(xπ8)φ]=sin(2xπ4φ),若此时函数为偶函数的图象,则π4φ=kπ+π2,k∈Z,得φ=kπ3π4,k∈Z,当k=1时,φ7.已知向量a=(1,3),a+b=(1,7),则向量a在向量b方向上的投影向量为()A.(15,25) C.(5,25) D.(15,2【解析】选B.由题知,向量b=a+ba=(1,7)(1,3)=(2,4),所以a·b=2+12=10.又|b|=4+16=25,所以向量a在向量b方向上的投影向量为(1,2).8.(2024·贵州联考)如图,甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区,是该市的标志性建筑之一.甲秀楼上下三层,白石为栏,层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度,选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°,则甲秀楼的高度约为(参考数据:tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)()A.20m B.21m C.22m D.23m【解析】选C.由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,所以∠CBD=127°,又因为CD=11.2m,由正弦定理CDsin∠CBD=可得11.2sin127°=CB又因为∠ACB=72.4°,所以AB=BCtan∠ACB≈7×3.15≈22(m).二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2023·长沙模拟)已知复数z的共轭复数为z,则下列说法正确的是()A.z2=|z|2B.z+z一定是实数C.若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1z2|,则z1·z2=0D.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数【解析】选BD.当复数z=i时,z2=1,|z|2=1,故A错;设z=a+bi(a,b∈R),则z=abi,所以z+z=2a∈R,故B对;设z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R),由|z1+z2|=|z1z2|可得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+b而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2b1b2+(a1b2+b1a2)i=2a1a2+(a1b2+b1a2)i,不一定为0,故C错;设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2b2+2abi为纯虚数.所以a2-b2=02ab≠010.(2024·潍坊模拟)已知向量a=(1,3),b=(x,2),且(a2b)⊥a,则下列选项正确的是()A.a,b能作为平面内所有向量的一组基底B.m<3是a=(1,3)与c=(m,1)夹角是锐角的充要条件C.向量a与向量b的夹角是45°D.向量b在向量a上的投影向量坐标是(1,3)【解析】选AC.因为a=(1,3),b=(x,2),所以a2b=(12x,1),则(a2b)·a=1+2x3=0,解得x=1,所以b=(1,2),可得a,b不共线,故A正确;当a,c平行时,可得1×13×m=0,解得m=13,所以B错误由cos<a,b>=a·b|a||b|因为0°≤<a,b>≤180°,故向量a与向量b的夹角是45°,所以C正确;向量b在向量a上的投影向量为a·b|a|·a|a|=510·(-111.(2024·大连模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB+bsinA=c,a=210,a2+b2c2=absinC,则()A.tanC=2 B.A=πC.b=62 D.△ABC的面积为122【解析】选AC.由余弦定理可得a2+b2c2=2abcosC=absinC,解得tanC=2,故A正确;由acosB+bsinA=c及正弦定理,可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B),化简可得sinBsinA=cosAsinB.因为B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinA=cosA,即tanA=1.因为A∈(0,π),所以A=π4,故B错误因为tanC=2,所以cosC>0且sinC=2cosC,代入sin2C+cos2C=1,可得5cos2C=1,解得cosC=55,sinC=2因为a=210,A=π4,sinC=2所以由正弦定理可得c=asinCsin由a2+b2c2=absinC,可得(210)2+b282=210b×25化简可得b242b24=0,解得b=62或b=22(舍去),故C正确;S△ABC=12bcsinA=12×62×8×22=24,故三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若复数z满足|z|=1,则|z2+(1i)z|(i为虚数单位)的最小值为________.

答案:21【解析】因为|z|=1,所以z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心,以1为半径的圆,又因为|z1z2|=|z1||z2|,所以|z2+(1i)z|=|z||z+1i|=|z+1i|=|z(1+i)|的几何意义为圆上的点到P(1,1)的距离,如图,所以|z2+(1i)z|=|z(1+i)|的最小值为|OP|1=(-1)2+13.(2023·镇江模拟)在△ABC中,AB=3AD,点E是CD的中点.若存在实数λ,μ使得=λ+,则λ+μ=__________(请用数字作答).

答案:2【解析】因为E是CD的中点,所以=+=+12=+12()=12(+),因为AB=3AD,所以=13,所以=16+12,所以λ=16,μ=12,即λ+μ=16+1214.(2024·天津模拟)在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,=2,=λ(λ>0),=2,且||=72,则λ=________;·的值为________.

答案:32【解析】因为=2,=λ(λ>0),=2,所以=12(+)=12(12+λ)=14+12λ,又||=72,在△ABC中,∠BAC=120°,|AB|=|AC|=2,所以·=||·||cos∠BAC=2×2×(12)=2,=(14)2+λ4·+(λ2)2=14λ2+λ2=即2λ2λ3=0,解得λ=32或λ=1(舍去故λ的值为32又=+=+λ,=+=+12,·=(+λ)·(+12)=(1+λ2)·12()2λ()2=(1+λ2)(2)24λ=45λ=232,故·的值为232.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2023·长春模拟)已知复数z=(m21)+(m2m2)i,m∈R.(1)若z是纯虚数,求m的值;【解析】(1)若z是纯虚数,则m2所以m=1,则m的值为1;(2)若z在复平面内对应的点在直线xy+1=0上,求m的值;【解析】(2)若z在复平面内对应的点在直线xy+1=0上,则m21(m2m2)+1=0,解得m=2;(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围.【解析】(3)若z在复平面内对应的点在第四象限,则m2所以1<m<2,则m的取值范围为(1,2).16.(15分)(2023·洛阳模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,2).(1)求|ab|;【解析】(1)由题知,a=(1,2),b=(3,2),所以ab=(2,4),所以|ab|=4+16=25.(2)已知|c|=10,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角.【解析】(2)由题知,a=(1,2),|c|=10,(2a+c)⊥c,所以|a|=5,(2a+c)·c=0,所以2a·c+c2=0,所以2|a||c|cos<a,c>+|c|2=0,所以2×5×10×cos<a,c>+10=0,所以cos<a,c>=22因为<a,c>∈0,π,所以向量a与向量c的夹角为17.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)证明:a2b2=bc;【解析】(1)因为sinB+sinC=2sinAcosB,由正弦定理可得b+c=2acosB,再由余弦定理得b+c=2a·a2整理得a2b2=bc.(2)如图,点D在线段AB的延长线上,且|AB|=3,|BD|=1,当点C运动时,探究|CD||CA|是否为定值.【解析】(2)因为∠ABC,∠CBD互补,所以cos∠ABC+cos∠CBD=0,结合余弦定理可得a2+c因为c=|AB|=3,|BD|=1,则a2+9-整理得4a2b2+123|CD|2=0,又a2=b2+bc=b2+3b,则|CD|2=43a213b2+4=43(b2+3b)13b2+4=b2+4b+4=(b+2)2,从而|故|CD||CA|=2为定值.18.(17分)已知向量a=(cos(θ),sin(θ)),b=(cos(π2θ),sin(π2θ(1)求证:a⊥b;【解析】(1)a=(cos(θ),sin(θ)),b=(cos(π2θ),sin(π2θ)⇒a=(cosθ,sinθ),b=(sinθ,cosθ)⇒a·b=cosθsinθsinθcosθ=0,故a⊥b.(2)若存在不为0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=ka+tb,满足x⊥y,试求此时k+t【解析】(2)显然|a|=|b|=cos2θ+sin2θ=1,x⊥y⇒x·y=[a+(t2+3)故可得k|a|2+t(t2+3)|b|2+[tk(t2+3)]a·b=0,即k+t(t2+3)=0⇒k=t(t2+3),所以k+t2t=t2+t+3=(t+12所以当t=12时,k+t19.(17分)(2024·衡阳模拟)在△ABC中,CD为AB边上的高,已知AC+BC=AB+CD.(1)若AB=2CD,求tanC2的值【解析】(1)设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C所对的边,CD=h,则a+b=c+h.在△ABC中,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22由12absinC=12ch,得ab=所以1+cosCsinC=h因为AB=2CD,所以c=2h,于是1+cosCsinC=1+h而tanC2=2sinC2cos(2)若AB=kCD,k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值.【解析】(2)方法一:由(1)知,1+h2c=如图,在△ABC中,过B作AB的垂线EB,且使EB=2h,则CE=CB=a,则AC+CE=a+b≥AE=c2即(c+h)2≥c2+4h2,所以0<hc≤2于是1<1tanC2≤43,令函数y=2x1-x则y=21x-x所以