河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A=xlog21A.x−1≤x≤14 B.x−2≤x≤142.已知数列an，a1=2，且an+1=A.−1 B.2 C.−2 D.13.已知向量a=4,3,−2，b=2,1,1，则a在向量bA.3,32,32 B.324.已知1sinα2+1cosA.1781 B.−1781 C.795.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，=T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数(算筹不剩余且个位不为0)，则这个两位数不小于50的概率为(

)

A.13 B.12 C.236.若log4x+log4y=2A.22 B.18 C.37.已知抛物线x2=4y，P为直线y=−1上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A,B，则PA⋅PBA.0 B.1 C.−2 D.−18.已知函数fx=x+4x+3lnx在A.a>1 B.13<a<1 C.0≤a<1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足zi=3i−1，则下列说法正确的是A.z的虚部为i

B.z−2i=z

C.若复数z1，z2满足z1=z2=2，且z110.设fx,gx都是定义在R上的奇函数，且fx为单调函数，f1>1，若对任意x∈R有fgxA.g2=0 B.f3<3

C.f11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1上一点，且B1P=2PBA.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条长为223的线段

B.存在点Q，使得D1Q⊥平面A1PD

C.三棱锥Q−A1PD的最大体积为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(3x−1)5=a0+a13.已知点P是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左支上一点F1,F214.若函数f(x)=sin6x+cos6x+38四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)数列an满足：a1=1，(1)证明bn是等比数列，并求a(2)求an的前n项和Sn16.(本小题12分)2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上(含50)2575100合计65135200(1)试根据α=0.05的χ2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(χ2(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．α0.10.050.010.0050.001χ2.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45∘，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC//AD,AD=2,PA=BC=1

(1)证明：平面PAC⊥平面PCD；(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点P到平面ABM的距离．(3)点T是线段CD上的动点，PT上是否存在一点M，使PT⊥平面ABM，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．18.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22，直线l经过点F(1)求C的方程；(2)求弦AB的长(用α表示)；(3)若直线MN也经过点F，且倾斜角比l的倾斜角大π4，求四边形AMBN面积的最小值．19.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=−3时，求函数fx(2)若函数fx有唯一的极值点x①求实数a取值范围；②证明：x02f参考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.A

8.C

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.240

13.514.[1,5+215.解：(1)由题意知an+1=2a即bn+1=2bn，又故bn是首项为2，公比为2故bn=2(2)由于an=2

16.解：(1)零假设H0由2×2列联表中的数据，可得χ2∴χ根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．所以50岁以下和50岁以上(含50)周平均锻炼时长有差异．(2)抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5×40100=2人，不少于4所以X所有可能的取值为1,2,3，所以PX=1=C31所以随机变量X的分布列为：X123P331随机变量X的数学期望E

17.解：(1)由PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥CD，PB与底面ABCD所成角为∠PBA=45所以三角形PAB为等腰直角三角形，AB=AP=1．又由四边形ABCD是直角梯形，BC//AD，可知AB⊥BC，所以▵ABC为等腰直角三角形，而BC=1，故AC=在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AD，垂足为E，则四边形ABCE为正方形，可知AE=BC=CE=1．所以DE=1，在等腰直角三角形CDE中，CD=则有AC2+C又因为PA⊥DC，PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC．所以DC⊥平面PAC.因为DC⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D0,2,0，C(1,1,0)因为T是CD的中点，点M是PT的中点，所以T12,设平面ABM的法向量为n=x,y,z，AB=则n⋅AB取y=4，则z=−6，得平面ABM的一个法向量为n=而AP=0,0,1，所以点P到平面ABM的距离为(3)设AT=λAC+所以Tλ,2−λ,0所以PT=设PM=μPT=μ所以Mμλ,2μ−μλ,1−μ因为A(0,0,0)，B(1,0,0)，所以AB=若PT⊥平面ABM，则当且仅当PT⋅AB此时M0,综上所述，当且仅当T,D重合，此时存在M0,25,4

18.解：(1)由题意知c=1,ca=22,a2−b2=c2,解得a=2，b=1，

所以C的方程为x22+y2=1．

(2)当α≠π2时，设l的方程为y=k(x−1)，k=tanα，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1),x22+y2=1,得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，

其中Δ=8(19.解：(1)由函数fx=2lnx−4当a=−3时，可得f′x则当0<x<1时，f’(x)<0；当所以fx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)所以，当x=1时，函数fx的极小值为f(2)①由(1)可知，分析ℎx可得ℎ(x)在0,+∞上单调递增，且ℎ0当a≥0时，则f′x故函数fx在0,+∞当a<0时，令f′x=0，解得x0则函数fx的单调递增区间为(−1+即此时fx有唯一的极值点x0，且满足综上所述：当a<0时，函数fx有唯一的极值点x②由①可知，函数fx有唯一的极值点x0=−1+故x=2x即等价于lnx0−令Fx可得F′x=1当0<x<1时，构建φx则φ′x由0<x<1，