2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(

)A.充分条件 B.必要条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件2.下列命题正确的是(

)A.若a>b，则a2>b2 B.若a>b，则a>b2

C.若a3.设a∈R，若x1、x2是方程x2+ax+8=0A.|x1|>2，|x2|>2 B.|x14.定义集合运算A−B={x|x∈A且x∉B}；将AΔB=(A−B)∪(B−A)称为集合A与集合B的对称差，

命题甲：A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C)；

命题乙：A∪(BΔC)=(A∪B)Δ(A∪C)．

则下列说法正确的是(

)A.甲乙都是真命题 B.只有甲是真命题 C.只有乙是真命题 D.甲乙都不是真命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={x|21−x∈N,x∈Z}，用列举法表示A=6.已知集合A={y|y=x2−1}，集合B={(x,y)|y=2−|x|}，则A∩B=7.某班有42名同学，参加物理竞赛的有15人，参加化学竞赛的有13人，两科竞赛都不参加的有20人，则两科竞赛都参加的有______人.8.已知集合A={1,3,2−m}，集合B={3,m2}，若B⊆A，则m=9.若集合{1,5}⊂M⊂{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合M的个数是______．10.若不等式(2a−b)x+3a−4b<0的解集是{x|x>1}，则不等式(a−4b)x+2a−3b>0的解集是______．11.已知−1≤a+b≤4，2≤a−b≤3，则3a−2b的取值范围为______．12.记S(A)为集合A中所有元素之和，对于集合M={1,2,3,4,5}，⌀⊂A⊆M，则所有S(A)之和等于______．13.若不等式ax2−bx−c<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式c14.若对任意x∈[1,5]，不等式ax−2≤0恒成立，则实数a的取值范围是______．15.对于非空实数集合A，记A∗={y|∀x∈A,y≤x}，设非空实数集合P满足条件“若x<1，则x∉P”且M⊆P，给出下列命题：

①若全集为实数集R，对于任意非空实数集合A，必有∁RA=A∗；

②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有P∗⊆M∗；

③存在符合题设条件的集合M，P，使得M∗∩P=⌀；

④存在符合题设条件的集合16.已知集合M={x|x∈N,1≤x≤9}，集合A1、A2、A3满足：①每个集合都恰有3个元素；②A1∪A2∪A3三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知集合A={x|x2−12x+20≤0}，B={x|2m<x<3m+4}．

(1)若m=3，求A∪B−；

(2)若A∩B=B18.(本小题16分)

已知集合A={x∈R|0<ax+1≤5}，B={x∈R|−12<x≤2}(a≠0)．

(Ⅰ)若A=B，求出实数a的值；

(Ⅱ)若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数19.(本小题16分)

已知a∈R，关于x的不等式ax2−ax+3>0的解集为R．

(1)求实数a的取值范围；

(2)用反证法证明：三个关于x的方程x2+4ax−4a+3=0，x20.(本小题16分)

已知m∈R，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为x1和x2(x1<x2)，且满足x12+x22=2m2−4x1+x2=m，

(1)21.(本小题16分)

已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(1)若集合A={2,3}，直接写出集合S、T；

(2)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.{−1,0}

6.⌀

7.6

8.−2

9.6

10.(−111.[912.240

13.{x|−114.(−∞,215.②③④

16.60

17.解：(1)因为A={x|x2−12x+20≤0}={x|2≤x≤10}，

当m=3时，B={x|6<x<13}，

则B−={x|x≤6或x≥13}，

所以A∪B−={x|x≤10或x≥13}；

(2)因为A∩B=B，则B⊆A，

当B=⌀时，2m≥3m+4，

解得m≤−4，

当B≠⌀时，由B⊆A可得2m<3m+42m≥23m+4≤10，

解得1≤m≤218.解：(Ⅰ)当a>0时，A=(−1a,4a]，

∴−1a=−124a=2，

解得a=2，

当a<0时，A=[4a,−1a)，显然A≠B，

故A=B时，a=2，

(Ⅱ)命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q⇒A⊂B，

∴0<ax+1≤5，

∴−1<ax≤4，

当a>0时，A=(−1a,4a19.(1)解：当a=0时，不等式ax2−ax+3>0化为3>0，对任意实数x恒成立；

当a≠0时，要使关于x的不等式ax2−ax+3>0的解集为R，

则a>0Δ=a2−12a<0，解得0<a<12．

综上可得，实数a的取值范围是[0,12)；

(2)证明：由(1)知，0<a<，

假设方程：x2+4ax−4a+3=0，x2+(a−1)x+a2=0，x2+2ax−2a=0都没有实数解，

则16a2−4(−4a+3)<0①(a−1)2−4a2<0②16a2+8a<0③20.解：(1)因为x12+x22=2m2−4x1+x2=m，则(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2=2m2−4+2x1x2=m2，

所以x1x2=2−m22，

所以这个一元二次方程为(x−x1)(x−x2)=0，即x2−(x1+x2)x+x1x2=0，

即x2−mx+2−m22=0；

(2)因为(2x1−x2)(3x2−x1)=10x1x2−3(x12+x22)=10(2−m22)−3(2m2−4)=32−11m2≥−1，

可得m2≤3，

因为21.(1)解：当A={2,3}，则S={4,5,6}，T={0,1}．

(2)证明：因为集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，