2024-2025学年山西省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=lg(2−x)},B={x∈N|y=4−xA.{0,1,2} B.{0,1} C.(−2,2) D.(0,2)2.已知a∈R，b∈R，且(2+i)(1−ai)=2+bi，则a+b=(

)A.−1 B.0 C.1 D.23.命题“∃x>0，x2>2xA.∀x≤0，x2≤2x B.∀x>0，x2≤2x

C.4.在平行四边形ABCD中，AP=2PB，则PD=A.23AB+AD B.−235.如果随机变量ξ∼B(n,p)，且E(3ξ)=12,D(ξ)=43，则p=(

)A.14 B.13 C.126.已知x>0，y>0，x+y+2xy=4，则x+y−xy的最小值为(

)A.32 B.2 C.12 7.已知数列{an}满足an+1an+A.165 B.167 C.1698.已知a>0，设函数f(x)=e2x+(2−a)x−lnx−lna，若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，则a的取值范围是A.(0,1e] B.(0,1] C.(0,e]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，则函数f(x)=ax−2a的图象可能是A. B. C. D.10.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)，且f(x)⩽|f(πA.φ=π6

B.f(x)在区间[π2,π]上单调递增

C.若x1，x2为方程f(x)=2的两个解，则|x2−x1|的最小值为11.已知函数f(x)的定义域为R，设g(x)=f(x+2)−1，若g(x)和f′(x+1)均为奇函数，则(

)A.f(2)=1 B.f(x)为奇函数

C.f′(x)的一个周期为4 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将一个底面半径为r(r>0)，高为6r的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为______．13.设0<α<π2，若tanα+tan(π414.设a，b是正实数，若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A，B，点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面BCC1B1为正方形，BC=2，AC=1．

(1)求证：BC16.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点(π3,0)为f(x)的图象的一个对称中心．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)17.(本小题12分)

已知函数f(x)是g(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数，且函数F(x)=f2(x)−f(x2)−f(a)．

(1)若F(4)=−1，f(6)=m，g(n)=3，求a及3mn的值；

(2)若函数18.(本小题12分)

在△ABC中，已知tanA+tanB=3(tanAtanB−1)．

(1)求C；

(2)记G为△ABC的重心，过G的直线分别交边CA，CB于M，N两点，设CM=λCA,CN=μCB．

(i)求1λ+119.(本小题12分)

已知函数f(x)=xln(x+a)．

(1)当a=0时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2(x1<x2).

(i)求参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.D

6.D

7.B

8.D

9.AD

10.AD

11.ACD

12.613.314.4315.解：(1)证明：∵侧面BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C，

∵直三棱柱ABC−A1B1C1，∴AC⊥CC1，

∵AC⊥CC1，AC⊥BC，BC∩CC1=C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，

∴AC⊥平面BB1C1C，

∵AC⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，

∴AC⊥BC1，

∵AC⊥BC1，BC1⊥B1C，AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C，

∴BC1⊥平面AB1C16.解：(1)设f(x)的最小正周期为T，则T2=πω=π2，ω=2，

根据(π3,0)为f(x)的图象的一个对称中心，可得2×π3+φ=kπ(k∈Z)，

所以φ=kπ−2π3(k∈Z)，结合0<φ<π，解得φ=π3，函数表达式为f(x)=sin(2x+π3)；

(2)根据题意，g(x)=f(x−π12)=sin[2(x−π12)+π3]=sin(2x+π6)，

当0≤x≤m时，17.解：(1)函数f(x)是g(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数，则f(x)=logax，

F(x)=(logax)2−2logax−1，

所以F(4)=(loga4)2−2loga4−1=−1，则a=2，

又f(6)=m，g(n)=3，所以m=log26，n=log23，

所以3mn=3log26log23=3log36=6．

(2)令t=logax18.解：(1)因为在△ABC中，tanA+tanB=3(tanAtanB−1)，

所以tanC=tan(π−A−B)=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=3，

又C∈(0,π)，

所以C=π3；

(2)(i)设D为AB的中点，则CD=12CA+12CB，

又因为CG=23CD，

所以CG=13CA+13CB=13λCM+13μCN，

因为M，G，N三点共线，

所以13λ+13μ=1，

所以1λ+1μ=3；

(ii)设19.解：(1)因为当a=0时，f(x)=xlnx，所以f′(x)=1+lnx，

当x∈(1e,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增，

当x∈(0,1e),f′(x)<0,f(x)单调递减，

因此x=1e为f(x)的极小值点，f(1e)=−1e，

因此f(x)的极小值为−1e，无极大值；

(2)(i)f′(x)=ln(x+a)+xx+a=1x+a[(x+a)ln(x+a)+x]，

令g(x)=(x+a)ln(x+a)+x，所以g(x)有两个零点，

那