微积分-经管类-上册4.4 全微分

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第4章*二、全微分在近似计算中的应用应用第4节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的概念全微分一、全微分的概念

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数同样可证证:因函数在点(x,y)可微,故

必存在,且有得到对x

的偏增量因此有反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微

!即:定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:可知当*二、全微分在近似计算中的应用近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

求此圆柱体例4.计算的近似值.

解:设,则

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