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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省腾云联盟高三(上)联考数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|116≤2x≤4},A.{x|−4≤x<2} B.{x|−4≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1<x<2}2.若复数z满足(2+i)z−=1−i,则复平面内表示z的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=ax2+(a−3)x+1在区间[−1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是A.[−3,0) B.(−∞,−3] C.[−2,0] D.[−3,0]4.函数f(x)=asinx+bcosx(ω>0)图像的一条对称轴为x=π3,则abA.3 B.−3 C.5.四边形ABCD是边长为4的正方形,点P是正方形内的一点,且满足|AP+BP+CP+A.1+2 B.2−1 C.6.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=4,AB=BC=2,AC=23,则球O的表面积为(
)A.64π3 B.40π3 C.27π47.已知圆C:(x−1)2+y2=1,点M在y=ex上,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A和B,以ABA.π4 B.π2 C.3π48.不等式x1+x2+x3≤12,其中x1,A.560 B.455 C.91 D.55二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知互不相同的20个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的18个样本数据的方差为s12,平均数x1−;去掉的两个数据的方差为s22,平均数x2−;原样本数据的方差为sA.x−=x−1
B.10s2=9s12+s210.已知函数f(x)=|sinx|+3|cosx|,则下列说法正确的是A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[1,2]
C.f(x)关于x=7π6对称 D.f(x)在11.已知定义域为R函数f(x)和g(x),且g(x)是奇函数,对任意x∈R满足2f2(x)=f(2x)+1,2g2(x)=f(2x)−1且f′(x)=g(x)A.2f(x)g(x)=g(2x)
B.f(0)=−12或1
C.f(x)在(−∞,0]上单调递增,在[0,+∞)单调递减
D.x>0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知曲线f(x)=lnx+x2a在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为π3,则13.设F1,F2为双曲线x26−y23=1的两个焦点,点P14.有一直角转弯的走廊(墙面与顶部都封闭),已知走廊的宽度与高度都是3米,现有不能弯折的硬管需要通过走廊,若不计硬管粗细,则可通过的最大极限长度为______米.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=2,∠ABC=π4,四边形ACEF为矩形,平面ACEF⊥平面ABCD,AF=1,点M在线段EF上运动.
(1)当AE⊥DM时,求点M的位置;
(2)在(1)的条件下,求平面MBC与平面16.(本小题15分)
已知函数f(x)=axex(a≠0),其中e为自然对数的底数.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)若a=3,设函数g(x)=2+lnx,当不等式xf(x)+g(x)≤mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立时,求实数17.(本小题15分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sinA,sinB−sinC),n=(c+b,b−a)且m//n.
(1)求角C的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,AB中点为D且c=118.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的233倍,且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,A,B是椭圆左右顶点,过A,B做椭圆的切线,取椭圆上x轴上方任意两点P,Q(P在Q的左侧),并过P,Q两点分别作椭圆的切线交于R点,直线RP交点A的切线于I,直线RQ交点B的切线于J,过R作AB的垂线交I于K.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若R(1,2),直线RP与RQ的斜率分别为19.(本小题17分)
如图:一张3×3的棋盘,横行编号1,2,3:竖排编号a,b,c.一颗棋子目前位于棋盘的(c,1)处,它的移动规则是:每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从(c,1)移动到(a,2)或(b,3).棋子每次移动到不同目的地间的概率均为12.
(1)①列举两次移动后,该棋子所有可能的位置.
②假设棋子两次移动后,最终停留到第1,2,3行时,分别能获得1,2,3分,设得分为X,求X的分布列和数学期望.
(2)现在于棋盘左下角(a,3)处加入一颗棋子,他们运动规则相同,并且每次移动同时行动.移动n次后,两棋子位于同一格的概率为Pn,求P
参考答案1.C
2.A
3.D
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.AB
10.ABD
11.AD
12.1+13.3
14.9
15.解:(1)∵AB=2,BC=AD=2,∠ABC=π4,∴AC=2,
AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,又AF⊥AC,
平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF⊂平面ACEF,
∴AF⊥平面ABCD,
以AB,AC,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图:A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(−2,2,0),E(0,2,1),F(0,0,1),
设M(0,y,1),0≤y≤2.
则AE=(0,2,1),DM=(2,y−2,1),
∵AE⊥DM,∴AE⋅DM=2(y−2)+1=0,解得y=2216.解:(1)易知函数f(x)=axex(a≠0)的定义域为R.
所以f′(x)=a(1−x)ex,
当a>0时,由f′(x)>0,得x<1,由f′(x)<0,得x>1.
所以f(x)的单调增区间为(−∞,1),单调减区间为(1,+∞);
当a<0时,由f′(x)>0,得x>1,由f′(x)<0,得x<1.
所以f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(−∞,1).
(2)将a=3代入,得f(x)=3xex,
因为g(x)=2+lnx,不等式xf(x)+g(x)≤mx+1在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以3x2ex+2+lnx≤mx+1,即m≥3xex+1x+lnxx在x∈(0,+∞)上恒成立,
令ℎ(x)=3xex+1x+lnxx,易知函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞).
所以ℎ′(x)=3ex−3xexe2x−1x2+17.解:(1)因为m=(sinA,sinB−sinC),n=(c+b,b−a)且m//n,
所以(c+b)(sinB−sinC)=(b−a)sinA,
由正弦定理可得(c+b)(b−c)=(b−a)a,
即b2+a2−c2=ab,
由余弦定理可得:cosC=b2+a2−c22ab=12,
又因为C∈(0,π2),
可得C=π3;
(2)因为c=1,
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab=1,
因为2CD=CA+CB,所以4CD218.解:(1)由题意:2a=233⋅2ba+c=3a2=b2+c2,解得a=2b=3c=1,
所以椭圆的标准方程为:x24+y23=1.
(2)设过点R的切线方程为:y−2=k(x−1),即y=kx+(2−k),
联立y=kx+(2−k)x24+y23=1,消去y并整理得:(4k2+3)x2+8k(2−k)x+4(2−k)2−12=0,
由Δ=0=64k2(2−k)2=4(4k2+3)[4(2−k)2−12],
整理得:3k2+4k−1=0,所以k1k2=−13.
(3)证明:设R(x0,y0)(y0>0),RK的延长线交x轴于K点,如图:
19.解:(1)①两次移动的所有路径可能如下:
(c,1)→(a,2)→(c,1);(c,1)→(a,2)→(c,3);(c,1)→(b,3)→(a,1);(c,1)→(b,3)→(c,1),
所以两次移动后,该棋子所有可能的位置有:(a,1),(c,1),(c,3).
②棋子两次移动后,最终停由在(a,1)时,得1分,对应概率为:(12)2=14;
相子两次移动后,最终停留在(c,1)时,得1分,对应概率为:2×(12)2=12;
棋子两次移动后,最终停留在(c,3)时,得x13P31所以E(X)=1×34+3/p>
将棋子可以去的区域用箭头连接起来,若从3可以连接到4或8,记做4−3−8;从8可以连接3或1,
记做3−8−1;然后将它们串联起来;4−3−8−1依次类推,可以串联处环状回路:−4−3−8−1−6−7−2−9−4−,
如下图所示:
则棋子等价于在这个环状回路中运动.
问题(2)可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置,每回合3号、7号棋子有四种运动模式:(顺,顺),(顺,逆),(逆,顺),(逆,逆),发生概率均为14,
为了转化问题,现规定:d=“两棋子之间的最短节点数”,例如:
特别规定两棋子重合时,d=0,并统计四种运动模式下d会如何变化.
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